2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第4章 图形的相似（压轴题专练）（原卷版）（北师大版）

第4章图形的相似（压轴题专练）题型01：相似三角形的解答证明题1．在中，为边上一点．

(1)如图1，若，求证：．(2)若为的中点，，①如图2，若，，求的长；②如图3，若，，直接写出的长．2．已知：在中，，点E是的中点，F是直线上一点，连接，将沿着折叠，点C的对应点为D，连接．

(1)如图1，若点D在线段上，求证：；(2)如图2，与交于点M，连接，若，求证：点M是的中点；(3)如图3，点F在延长线上，与交于点M，交于点N，若，，求．3．在中，，在中，，且．

(1)如图1，当时，连接，请直接写出线段和线段的数量关系；(2)当时，绕点C逆时针旋转到如图2的位置，时，试猜想线段三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)当时，绕点C逆时针旋转到如图3的位置，时，请直接写出线段三条线段之间的数量关系．4．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图、图、图中，、是的中线，于点，像这样的三角形均称为“中垂三角形”．

【特例探究】(1)如图，当，时，______，______；如图，当，时，______，______；【归纳证明】(2)请你观察（）中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你的结论．【拓展证明】(3)如图，在中，，，、、分别是边、、的中点，连结并延长至，使得，连结，当于点时，求的长．题型02：相似三角形在特殊平行四边形中的应用5．已知四边形是菱形，，．

(1)如图1，P是上一点，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，若，①求的长；②求的长；(2)如图2，M是的中点，连接，过点M作交的延长线于点N，点Q在上，连接，分别过点B，N作直线的垂线，垂足分别为G，H，若，求的长；(3)如图3，J为上一点，L为上一点，，分别过点J，L作，的平行线，两条直线交于点K，将四边形绕点B顺时针旋转，如图4，直线交直线于点R，求的值及的度数．6．（1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：；（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．（3）拓展：如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交于点，求的长．

7．综合与实践

(1)【操作发现】如图，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角；(2)【拓展探究】如图，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点．度；若，求线段的长；(3)【迁移应用】如图，在矩形，点，分别在边，上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，，请直接写出线段的长．8．在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作BF⊥AC于点G，交直线于点F．

(1)当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．如图1，则线段与之间的数量关系是，位置关系是；(2)如图2，若点E在线段上，以点F为直角顶点在矩形的外部作直角三角形，且，连接．判断线段与之间的数量关系与位置关系，并证明；(3)如图3，若点E在线段的延长线上，F在线段的延长线上，且，，M是中点，连接，，求的值．题型03：相似三角形与平面直角坐标系9．如图1，在平面直角坐标系中，直线过点，，与轴交于点．点，分别为线段，上的一点（不含端点），且．

(1)求和的值；(2)当与中的一个角相等时，求线段的长；(3)如图2，连接交于点，将点绕点逆时针旋转至点，若点到轴的距离恰好等于的长，求的面积．10．如图1，已知直线交x轴于，交y轴于B．

(1)直接写出k的值为_________；B点坐标为_________；(2)如图2，过点的直线与交于点P，点Q为射线上一动点，若点Q到直线的距离为，求点Q的横坐标t的值；(3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求点N坐标．11．如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上．如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点．

(1)当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程）(2)若点，①求的长；②连接对角线交直线于点，求的长；(3)如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接．将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式．12．如图所示，直线与轴相交于点，与y轴相交于点B，将沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C．(1)求点C的坐标；(2)设点P为线段上的一个动点，点P与点A、C不重合，连接，以点P为端点作射线交于点M，使，①求证：；②是否存在点P使为直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型04：动点问题13．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．

【初步感知】(1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．14．某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边中，，点在射线上运动，连接，以为一边在右侧作等边．

(1)【问题发现】如图（1），当点在线段上运动时不与点重合,连接则线段与的数量关系是___________；直线与的位置关系是___________；(2)【拓展延伸】如图（2），当点在线段的延长线上运动时，直线相交于点，请探究的面积与的面积之间的数量关系；(3)【问题解决】当点在射线上运动时点不与点重合，直线相交于点，若的面积是，请求出线段的长．15．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．根据以上操作，请直接写出图1中线段与线段的关系．

(2)迁移探究小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出线段与的关系，并说明理由．

(3)拓展应用如图3，已知正方形纸片的边长为2，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______，点的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）

题型05：动态几何16．综合与实践综合与实践课上，数学老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展教学活动．【操作判断】

如图①，在矩形中，，点M，P分别在边，上（均不与端点重合）且，以和为邻边作矩形，连接，．（1）如图②，当时，与的数量关系为，与的数量关系为．【迁移探究】（2）如图③，当时，天天先将矩形绕点A顺时针旋转，再连接，则CN与之间的数量关系是．【拓展应用】（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，求线段的长．17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别取的中点，连接，已知．

(1)求证：．(2)求的面积．(3)将沿翻折，使得落在点处，连接．若点在轴正半轴上（异于点），点在轴上，要使得以点，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；若不存在，试说明理由．18．如图1，中，，，点在内部，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．

(1)直接写出线段与的关系为________；(2)如图2，连接，当，，三点共线时，作于点交于点，求的值；(3)在（2）的条件下，设与交于点，若，直接写出的值．（用含的式子表示）题型06：最值、定值问题19．在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．

(1)如图1，当点落在的延长线上时，求的长；(2)如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；(3)如图3，连接，，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．20．（1）特殊发现：如图1，正方形与正方形的顶B重合，、分别在、边上，连接，则有：①______；②直线与直线所夹的锐角等于______度；（2）理解运用将图1中的正方形绕点B逆时针旋转，连接、，①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过边的中点O，，直接写出的长等于______；（3）拓展延伸如图4，点P是正方形的边上一动点（不与A、B重合），连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由．

21．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】(1)如图，在正