2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）第01讲 二次根式的概念与性质（4个知识点+5类题型）-八年级数学下册同步学与练（浙教版）（解析版）

第01讲二次根式的概念与性质（4个知识点+5类题型）课程标准学习目标1.二次根式的概念；2.二次根式有无意义的条件；3.二次根式的性质与化简；1.掌握二次根式的概念；2.掌握二次根式有无意义的条件；3、掌握二次根式的性质与化简；知识点01.二次根式的定义形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.【即学即练1】1、（2023秋•云岩区月考）下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、当x＜0时，二次根式无意义，故选项A一定是二次根式，选项A不符合题意；B、是二次根式，故选项B符合题意；C、当x+2＜0时，此时二次根式无意义，故选项C不一定是二次根式，选项C不符合题意；D、﹣2＜0，二次根式无意义，故选项D一定不是二次根式，选项D不符合题意；故选：B．【即学即练2】2、（2023春•宜城市期末）在式子，，，x+y中，二次根式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：在式子，，，x+y中，二次根式有，，共有2个，故选：B．知识点02.二次根式有无意义的条件：

（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【即学即练3】3、（2023•大理州二模）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≥5 C．x≥﹣5 D．x≤5【答案】B【解答】解：∵x﹣5≥0，∴x≥5．故选：B．【即学即练4】4、（2023秋•宁安市期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠0 D．x＞0且x≠2【答案】A【解答】解：由题意得：3x≥0且x﹣2≠0，解得：x≥0且x≠2知识点03.二次根式的性质：（1），（双重非负性）．（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．应用：在实数范围内分解因式：（3）（4）=·（a≥0，b≥0）（5）=（a≥0，b>0）【即学即练5】5、（2023春•无棣县期末）下列等式正确的是（）A．＝﹣2 B．＝±9 C．＝﹣2 D．＝﹣5【答案】C【解答】解：CA、＝2，故A不符合题意；B、＝9，故B不符合题意；C、＝﹣2，故C符合题意；D、无意义，故D不符合题意；故选：C．【即学即练6】6、（2023春•新市区校级期末）下列各式中，正确的是（）A． B．﹣ C． D．【答案】B【解答】解：∵＝|﹣3|＝3，∴A选项的结论不正确；∵﹣＝﹣3，∴B选项的结论正确；∵＝|﹣3|＝3，∴C选项的结论不正确；∵＝3，∴D选项的结论不正确，故选：B．知识点04.二次根式的化简：（1）二次根式化简的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．（2）最简二次根式的条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【即学即练7】7、（2023秋•石鼓区期末）若a＜0，则化简|a﹣3|﹣的结果为（）A．3﹣2a B．3 C．﹣3 D．2a﹣3【答案】B【解答】解：∵a＜0，∴a﹣3＜0，∴|a﹣3|﹣＝3﹣a﹣（﹣a）＝3﹣a+a＝3，故选：B．【即学即练8】8、（2023春•广阳区校级期末）当1＜a＜2时，代数式+的值是（）A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a【答案】A【解答】解：∵1＜a＜2，∴a﹣2＜0，a﹣1＞0，∴原式＝|a﹣2|+|a﹣1|＝2﹣a+a﹣1＝1．故选：A．题型01求二次根式的值1．（2023下·八年级课时练习）当时，二次根式的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】将代入计算即可得．【详解】解：当时，，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．2．（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（）A．2 B．±2 C．4 D．±4【答案】A【分析】将x取值代入二次根式求值即可．【详解】解：当x＝1时，原式＝，故选：A．【点睛】本题考查二次根式的计算，注意算术平方根开出来是正数，这一点是本题关键．3、（2023下·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）当时，二次根式的值为．【答案】1【分析】直接将代入进行计算即可．【详解】解：当时，，故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单．4．（2023下·浙江·八年级专题练习）当时，二次根式的值为．【答案】1【分析】直接把代入，进而求出答案．【详解】解：当时，二次根式．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式的求值，直接代入x的值是解题关键．5．（2023上·浙江宁波·七年级校考期中）当a＝2，b＝1.5时，求下列代数式的值．（1）a2+2ab+b2（2）+ab+1．【答案】（1）12.25；（2）7；【分析】（1）把a，b的值代入算式计算即可求出值；（2）把a，b的值代入算式计算即可求出值．【详解】解：（1）当a＝2，b＝1.5时，原式＝22+2×2×1.5+1.52＝12.25；（2）当a＝2，b＝1.5时，原式＝+2×1.5+1＝7．【点睛】本题考查代数式求值、二次根式和平方运算，熟练掌握二次根式和平方的运算是解本题的关键．题型02求二次根式中的参数1．（2023下·八年级单元测试）已知是正整数，则实数n的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程．【详解】解：由题意是正整数所以，且n为整数，∴，解得，∴实数n最大值取，故选：B【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键．2．（2023下·山东聊城·八年级统考期末）已知是整数，则正整数n的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【详解】解：，且是整数，∴是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答3．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知有理数满足，则的值是.【答案】【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∵a，b为有理数，∴，解得，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键．4．（2023上·河北邢台·八年级统考期末）若是二次根式，则a的取值范围是；若是正整数，则正整数a的最小值是．【答案】3【分析】根据二次根式被开方数有意义的条件求出a的取值范围，利用正整数的意义得到a的最小值．【详解】解：∵是二次根式，∴300a≥0，解得a≥0；∵是正整数，且300a=100×3a，∴整数a的最小值是3，故答案为，3．【点睛】此题考查了二次根式被开方数有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．5．（2023下·福建福州·七年级统考期中）阅读材料并解决下列问题：已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值．解：∵5﹣﹣a即5﹣∴2b﹣a＝5，﹣a＝解得：a＝﹣（1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝，b＝．（2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根．【答案】（1）4，1；（2）±【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可．（2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根．【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴b=1，a-b=3，∴a=4；（2），∴，∴，解得：，∴xy=21，∴xy的平方根为±．【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．题型03二次根式有意义的条件1．（2023下·浙江绍兴·八年级校联考期中）如果有意义，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件得到得到答案．【详解】解：如果有意义，故，解得，故选D．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．2．（2023下·浙江衢州·八年级期中）代数式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．一切实数【答案】C【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵代数式有意义，∴，∴且，故选C．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．3．（2023下·浙江·八年级开学考试）若，为实数，且，则的值为．【答案】【分析】本题考查了二次根式的非负性，利用被开方数是非负数得出，是解题的关键．【详解】解：由题意得：，，解得：，，，，故答案为：．4．（2023下·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）代数式的值等于．【答案】10【分析】根据被开方数为非负数可求出，再代入计算即可．【详解】解：∵，，∴，∴原式．故答案为：10．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．根据被开方数为非负数求出是解题关键．5．（2023下·浙江·八年级专题练习）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)0【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，列出不等式组，即可求解；（2）由（1）得，推出，再根据非负数的性质列式计算即可求解．【详解】（1）解：依题意有，即，∴，解得；（2）解：由（1）得，则，∴，解得，则．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，非负数的性质，关键是能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．题型04利用二次根式的性质化简1．（2023上·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）若，则x的值不能是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握是解本题的关键；由二次根式的性质可得，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴A符合题意，B，C，D不符合题意；故选A2．（2024·全国·八年级假期作业）先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式；乙的解答为：原式，在两人的解法中（）A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定【答案】B【分析】本题考查二次根式运算，先判断的正负，再根据化简，最后将代入计算即可．【详解】当时，，，∴乙计算正确．观察甲的解答可知，甲在化简二次根式时出现错误，结果不正确，故选B．3．（2023上·四川达州·八年级校考期中）若，那么的结果是【答案】/【分析】本题考查二次根式的性质，根据字母的取值范围，得到式子的符号，根据二次根式的非负性，进行化简计算即可．【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：．4．（2023上·重庆·八年级重庆市凤鸣山中学校考期中）已知：，化简：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意化简二次根式，即可求解．【详解】解：∵，∴，故答案为：．5．（2023下·八年级单元测试）计算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)9(4)【分析】(1)首先把带分数化为假分数，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果；(2)首先根据二次根式的性质化简，再进行有理数的减法运算，即可求得结果；(3)首先根据平方差公式进行运算，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果；(4)首先进行有理数的减法运算，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查了利用利用二次根式的性质化简运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．题型05复合二次根式的化简1．（2023下·河北石家庄·八年级统考阶段练习）下面的推导中开始出错的步骤是（

）因为，①，②所以.③所以.④A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根据算术平方根的非负性即可判断．【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等，∴第②步推导错误．故选B．【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键．2．（2023上·上海宝山·八年级统考期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：∵有意义，∴∴，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．3．（2023上·广东佛山·八年级佛山市实验学校校考阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为．【答案】/【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：；故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用．4．（2023下·湖北恩施·八年级统考期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式”．【答案】/【分析】仿照题意进行求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键．5．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）阅读材料：小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．(3)化简：．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解；（2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解；（3），据此即可求解．【详解】（1）解：∵∴．故答案为：．（2）解：∵∴，由（1）中结论可知：，∴，∵m、n均为正整数，∴或，当时，；当时，；∴a的值为或．（3）解：，∴．【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键．A夯实基础1．（2023下·广西南宁·八年级统考期末）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，∴的取值范围是．故选：B2．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）使式子有意义的实数的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】A【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．直接利用二次根式有意义的条件以及结合分式有意义的条件得出答案．【详解】解：使式子有意义，则，且，解得：．故选：A．3．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如果二次根式有意义，则a的取值范围是．【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握“二次根式有意义的条件：．”是解题的关键．【详解】解：由题意得，解得：；故答案：．4．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期中）已知x、y为实数，且．则的平方根．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，平方根定义，解题关键是根据二次根式有意义的条件求出，．【详解】解：∵，∴，解得：，∴，∴，36的平方根为，故答案为：．5．（2023上·浙江·八年级专题练习）求下列函数的自变量x的取值范围：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)全体实数(2)全体实数(3)(4)(5)且【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，列式计算即可得解．【详解】（1）自变量x的取值范围是全体实数；（2）自变量x的取值范围是全体实数；（3）依题意有，解得；（4）依题意有，解得；（5）依题意有且，解得且．【点睛】本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．6．（2023上·江苏·八年级专题练习）（1）已知的平方根是的平方根是，求的平方根；（2）若都是实数，且，求的立方根．【答案】（1）；（2）3【分析】（1）由的平方根是的平方根是，列方程组，再解方程组，求解，从而可得答案；（2）先根据二次根式有意义的条件求解，再求解，再求解的立方根即可．【详解】解：由题意可知：，，，的平方根是，即的平方根为．解：由题意可知：，，，，的立方根是3，即的立方根是3．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，平方根，算术平方根，立方根的含义，二次根式有意义的条件，掌握以上基础知识是解题的关键．B能力提升1．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）函数中，自变量x的取值范围为（

）．A． B． C．且 D．【答案】A【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数、分式有意义的条件是分母不为零成为解题的关键．【详解】解：∵，∴，解得：．故选A．2．（2023上·四川达州·九年级校考阶段练习）若则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次根式的性质，进行求解即可．掌握：，是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，故选B．3．（2023上·陕西西安·八年级西安市航天中学校考阶段练习）已知，则的平方根等于．【答案】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式组，解不等式组，求出x的值，从而求出y值，再代入根据平方根的定义解答即可．【详解】解：由题意，得，解得：，∴∴的平方根故答案为：．4．（2023上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：化简：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的性质及化简绝对值，判定绝对值符号里面的代数式正负是解题关键．【详解】解：由数轴可知：，∴，∴故答案为：5．（2023上·四川遂宁·八年级四川省遂宁市第二中学校校考阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值．，且，当时，有最小值．请根据上述方法，解答下列问题：(1)若，则的值是___________．(2)求证：无论取何值都有意义；(3)若代数式的最小值为2，求的值【答案】(1)(2)证明过程见解答(3)的值为【分析】本题考查了完全平方公式的应用；（1）把右边化简，求出和的值，进而可求出的值；（2）把被