第十一章-数字电路概貌与逻辑代数

第十一章数字电路概貌与逻辑代数11.1数字信号与数字电路11.2数制与编码11.3基本逻辑关系及实现11.4逻辑代数基础模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号。uu模拟信号波形数字信号波形tt对模拟信号进行传输、放大处理的电子线路称为模拟电路。对数字信号进行传输、运算处理的电子线路称为数字电路。第一节数字信号与数字电路一、模拟信号与数字信号数字电路处理的数字信号是指随时间不连续变化和突变的电信号，它是一种脉冲信号，这种信号具有脉动和冲击的含义。矩形波脉冲信号是一种典型的数字信号，如图11-1所示。

理想的数字信号——矩形脉冲波高电平低电平用0表示用1表示（1）工作信号是二进制的数字信号，在时间上和数值上是离散的（不连续），反映在电路上就是低电平和高电平两种状态（即0和1两个逻辑值）。（2）在数字电路中，研究的主要问题是电路的逻辑功能，即输入信号的状态和输出信号的状态之间的关系。（3）数字电路中的三极管主要工作在截止区和饱和区。（4）电路的抗干扰能力强、精度高。（5）便于信息长期存储、使用方便。（6）保密性好，使得宝贵的信息资源不易被窃取。（7）通用性强，采用标准的数字逻辑部件和可编程逻辑器件（PLD）可以设计各种各样的应用数字系统。二、数字电路的特点一、二进制数码为：0、1；基数是2。运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。二进制数的位权展开式：如：(101.01)2＝1×22＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2＝(5.25)10加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法规则：0.0=0，0.1=0，1.0=0，1.1=1运算规则各数位的权是２的幂二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。第二节数制与编码一个n位二进数制正整数可以表示为数码为：0～7；基数是8。运算规律：逢八进一，即：7＋1＝10。八进制数的位权展开式：如：(207.04)8＝2×82＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4×8－2＝(135.0625)101、八进制各数位的权是8的幂二、其它非十进制数2、十六进制数码为：0～9、A～F；基数是16。运算规律：逢十六进一，即：F＋1＝10。十六进制数的权展开式：如：(D8.A)16＝13×161＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10各数位的权是16的幂十进制数二进制数八进制数十六进制数十进制数二进制数八进制数十六进制数012345678910111200000001001000110100010101100111100010011010101111000123456710111213140123456789ABC131415161718192011011110111110000100011001010011101001516172021222324DEF101112131432641271282552561000001000000111111110000000111111111000000004010017720037740020407F80FF100表1-1不同数制对照表三、不同进制数之间的转换（一）二进制数与十进制数之间的转换1、二进制数转换为十进制数二进制数转换成十进制数按位权展开求和即成。例如：[110101]2=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20 =32+16+4+1=[53]102、十进制数转换为二进制数采用的方法—基数（2）连除法、连乘法原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。整数部分采用基数连除法，小数部分采用基数连乘法。转换后再合并。整数部分采用基数连除法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。小数部分采用基数连乘法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。所以：(44.375)10＝(101100.011)2采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。除2取余法乘2取整法（1）二进制数转换为八进制数：将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。1、二进制数与八进制数的相互转换1101010.01000＝(152.2)8（2）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进制数表示。 =(011111100.010110)2(374.26)8（二）二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换2、二进制数与十六进制数的相互转换111010100.0110000＝(1D6.6)16=(101011110100.01110110)2(AF4.76)16

二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。不够4位补零，则每组二进制数便是一位十六进制数。例：(111010100.011)2→(

?

)16例：(AF4.76)16→(?)2

用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。

用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的二进制数称为代码。

数字系统只能识别0和1，怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢？用编码可以解决此问题。

用四位二进制数组成一组代码，来表示0～9十个数字，就称为二--十进制编码（Binary-Coded-Decimal二进制编码的十进制数，简称

BCD码）。四位二进制代码有24=16种状态组成，从中取出十种组合表示0～9十个数字可以有多种方式，因此二--十进制码有多种。这些代码统称为二--十进制码。

四、二－十进制编码D3D2D1D023222120BCD码对应的十进制数8421码2421码5421码余3码0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

.0123456789.103245678901234987650123456789表11-2几种常见的BCD码第三节基本逻辑关系及实现数字电路主要讨论电路的输出与输入之间的逻辑关系，这种关系是指条件与结果的一种因果关系，构成某一结果的几个条件进行的是一种称作逻辑运算的特殊运算，与普通代数的算术运算既有相似之处，又存在着本质上的差别。数字电路的输出和输入，一般都用高、低电平来表示，高、低电平可用逻辑状态1和0表示，这种1和0只是表示两种可以区别的不同状态，而没有数值大小的含义。一、基本逻辑运算逻辑代数是按照一定规律进行运算的代数，虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但二者的含义是完全不同的。逻辑代数中变量的取值只有0和1，而没有其它值。在逻辑代数中，有逻辑与、逻辑或、逻辑非三种基本运算。运算构成变量之间的函数关系，这是一种逻辑函数，描述它的形式可以是函数关系式、语句、表格或一种专门的图形符号。（一）与逻辑（与运算）

与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：开关A，B串联控制灯泡YＹ＝ＡＢＣ…两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：Ｙ＝ＡＢA、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯不亮。A接通、B断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：功能表实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：Ｙ＝ＡＢ真值表逻辑符号（二）或逻辑（或运算）

或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：

开关A，B并联控制灯泡YＹ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：Ｙ＝Ａ+ＢA、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯亮。A接通、B断开，灯亮。A、B都接通，灯亮。实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：Y=A+B真值表功能表逻辑符号（三）非逻辑（非运算）

非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：Ｙ＝Ａ开关A控制灯泡Y实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：Y=AA断开，灯亮。A接通，灯灭。真值表功能表逻辑符号二、复合逻辑运算（关系）（一）与非运算：逻辑表达式为：（二）或非运算：逻辑表达式为：（三）异或运算：逻辑表达式为：（四）与或非运算：逻辑表达式为：第四节逻辑代数基础逻辑代数是英国数学家布尔（Bool）1854年创立的一个数学分支，故也称为布尔代数。由于逻辑代数最早用于开关和继电器网络的分析、化简，故又称为开关代数。逻辑代数是研究数字电路的数学工具，它为数字电路的分析与设计提供理论基础。而逻辑代数的核心，是逻辑函数的化简问题。一、逻辑代数的基本定理和公式（一）基本定理和公式根据逻辑与、或、非三种基本运算法则，可以推导出一些基本定律，这些定律有些与普通代数有相似之处，有一些则是逻辑代数自身特殊的规律。运算法则1、变量与常量的关系分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。公式（11-12）公式（11-11）公式（11-13）2、与普通代数相似的定律利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明公式（11-14）公式（11-15）公式（11-16）A+BC=（A+B)(A+C)的真值表ABCBC000001010011100110101111A+BCA+BA+C(A+B)(A+C)00010001000111110000011111111111100111113、逻辑代数中的特殊定律公式（11-17）公式（11-18）公式（11-19）证明摩根定理AB

001111010011100011110000（二）常用公式利用基本公式可以推导出一些常用公式，这些公式可以帮助我们去化简逻辑函数。分配率A+BC=(A+B)(A+C)互补率A+A=10-1率A·1=1互补率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1二、逻辑函数的化简在数字电路中，往往要根据实际问题进行逻辑设计，根据设计得出的逻辑函数用电路去实现之。因此，只有最简的逻辑函数才能使得电路最简。一个逻辑函数可以有不同的表达形式，选择哪种形式应根据拥有的门电路类型确定。例如：与－或表达式或－与表达式

与非－与非表达式

或非－或非表达式

与－或－非表达式

1、并项法利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。运用摩根定律运用分配律运用分配律（一）逻辑函数的公式化简法2、吸收法

如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。运用摩根定律１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的变量。

如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。3、配项法１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。４、消去冗余项法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，将冗余项ＢＣ消去。【例11-1】化简解：（二）逻辑函数的卡诺图化简法

逻辑函数的公式化简法需要对基本公式和常用公式都非常熟悉，并且具备一定的技巧。即使如此，在化简过程中，也难于得到一个最简的最后结果。逻辑函数的另外一种化简方法，则较好地解决了这个问题。20世纪50年代美国工程师Karnaugh提出的卡诺图为逻辑函数的化简提供了便捷。

1、卡诺图卡诺图是逻辑变量的最小项的方块图。所谓逻辑变量的最小项是一种特殊的与项。

（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。

3个变量A、B、C可组成8个最小项：

（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。

3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：（3）最小项的性质：①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。③全部最小项的和必为1。ABCABC②任意两个不同的最小项的乘积必为0。(4)逻辑函数的最小项表达式

任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式

对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC来配项展开成最小项表达式。

如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm1＝ABC将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。2、逻辑函数的卡诺图表示法

逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。

将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。

如果两个最小项只有一个变量因子不同，则称这两个最小项在逻辑上相邻，按照格雷码的顺序排列的最小项逻辑相邻。逻辑相邻逻辑相邻逻辑不相邻

(1)卡诺图的基本形式卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）。每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的两个相邻最小项可以合并消去一个变量逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并（2）逻辑函数在卡诺图中的表示

（a）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。

（b）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（