1.1.2集合的基本关系（5知识点7题型巩固训练）（原卷版）

1.1.2集合的基本关系课程标准学习目标1.理解子集、真子集概念以及集合相等。2.掌握用数学符号语言以及V图语言表示集合间的基本关系。3.能够区分集合间的包含关系与元素与集合的属于关系。1.对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解；2.集合的子集的辨析和应用；3.对给出的集合能写出其子集和真子集；有集合元素个数求子集个数；4.在理解集合间关系的过程中，运用数轴和venn图解决子集及真子集问题，提高学生分析问题和解决问题的能力；5.通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义。知识点1子集1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.2.记法：A⊆B（或B⊇A）.3.读法：A包含于B（或"B包含A"）.4.如果A不是B的子集，记作A⊈B（或B⊉A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.5.性质：A⊆A；∅⊆A.6.图形表示：【即学即练1】（2023·江苏·高一假期作业）设集合M=1,2,3，N=A．N∈M BC．N⊇M D【即学即练2】（2023·全国·高一假期作业）下列各式：①1⊆0,1,2，②1∈0,1,2，③0,1,2⊆0,1,2，④∅⊆0,1,2A．1 B．2C．3 D．4【即学即练3】（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=0,1,2,3，则含有元素0的A的子集个数是（A．2 B．4C．6 D．8知识点2真子集1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.2.记法：A⫋B（或BA）.3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）.4.性质：对于集合A，B，C，①如果A⊆B,B⫋C,则A⫋C=2\*GB3②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C；5.图形表示：6.如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．【即学即练4】（2024秋·江苏盐城·高一统考期中）若集合，，则集合A与B的关系是（）A．B．C．D．不确定【即学即练5】（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（）A．32B．31C．16D．15知识点3空集1、定义：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，规定：空集是任何集合的子集．在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：（1）空集只有一个子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．2、0，{0}，∅，{∅}的关系∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅中不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}【即学即练6】（2024秋·湖北咸宁·高一校考阶段练习）给出下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若，则．其中正确的说法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个知识点4Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系【即学即练7】（2024·河南新乡·高一统考阶段练习）下列表示集合M=x∈Z2x∈Z和A． B．C． D．知识点5集合的相等与子集的关系1.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等2.图形表示：3.如果A⊆B，且B⊆A则A=B.4.如果A=B则A⊆B且B⊆A.【即学即练8】已知集合A={a,b,1},B=A．1 B．12 C．-1 D．1易错点忽略空集的特殊性致误示例：设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a的取值集合．【题型1：集合间关系的判断】例1.（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）若集合，，则集合A与B的关系是（）A．B．C．D．不确定变式1.（2024·北京·高三专题练习）已知集合，，则（

）A．⫋ B． C． D．变式2.（2024·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（

）A．， B．，C． D．⫋变式3.（2024·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（

）A． B． C． D．变式4.（2023秋·高一课时练习）已知集合，，则M与P的关系为（）A．M＝PB．MPC．P⊆MD．MP变式5.（2024秋·江西南昌·高一校联考期中）若P=yy=xA．P=Q B．P⊆Q C．变式6.【多选】（2024·高一单元测试）集合，，则下列关系错误的是（

）A． B．C． D．变式7.(2023秋·高一课时练习）若集合，，，则的关系是（）A．B．C．D．【方法技巧与总结】判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．【题型2：确定集合的子集、真子集】例2．（2023秋·海南儋州·高一校考期中）写出集合的所有子集和它的真子集.变式1.．（2023秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列集合中，可以为集合的真子集的是（

）A． B． C． D．变式2.．（2023秋·高一校考课时练习）若，则.变式3.．（2024·高一课时练习）已知集合且，则（

）A． B． C． D．变式4.．（2023秋·山东日照·高一校考阶段练习）设，．(1)写出集合A的所有子集；(2)若B为非空集合，求a的值．【方法技巧与总结】对集合子集、真子集概念的认识：(1)真子集的概念也可以叙述为：若集合A⊆B，存在元素x满足x∈B且xA，则称集合A是集合B的真子集．(2)集合A是集合B的真子集，需要满足以下两个条件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x满足x∈B，且xA.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之不成立．(3)空集是任意非空集合的真子集，这里强调的是“非空”两字，解题时不能丢掉空集这一特例．(4)任意集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集没有真子集．一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.【题型3：子集、真子集个数问题】（一）求子集、真子集个数例3．（2023春·浙江衢州·高一统考期末）已知集合，则集合的子集有（

）A．7个 B．6个 C．4个 D．3个变式1.（2024秋·湖北·高一校联考）集合的子集的个数是（）A．16B．8C．7D．4变式2.（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（）A．4B．8C．15D．16变式3.．（2024·高一单元测试）已知非空集合，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有个．变式4.（2023秋·高一课时练习）已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（

）A．11 B．12 C．15 D．16变式5．（2023秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，则集合的真子集个数为（

）A．8 B．7 C．6 D．5变式6．（2024·河南开封·统考三模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（

）A．3 B．4 C．7 D．8变式7．（2023秋·高一课时练习）设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．15变式8．（2023秋·高一课时练习）若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合，则其“2元子集”的个数为（

）A．6 B．8 C．9 D．10变式9.（2023秋·高一校考课时练习）已知，则符合条件的集合的个数是（

）A．3 B．4 C．6 D．8变式10.（2024秋·云南保山·高一校联考）满足的集合的个数为（）A．B．C．D．变式11．（2024·全国·高三对口高考）若集合A满足⫋，则集合A所有可能的情形有（

）A．3种 B．5种 C．7种 D．9种⫋变式12.（2024·全国·高一专题练习）已知集合M满足⫋则集合M的个数为．变式13.（2023秋·高一课时练习）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为，满足条件⫋B的集合C的个数为．⫋【方法技巧与总结】1.求集合子集、真子集个数的三个步骤2.集合子集、真子集个数的有关结论若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.（二）根据集合的子集、真子集个数求参数例4．（2023秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是.变式1.．（2023秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知集合的子集只有两个，则实数的值为．变式2．（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是．（说明：写出满足条件的一个实数m的值）变式3．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）集合．(1)若是，求实数的取值范围(2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由．【题型4：判断两个集合是否相等】例5.（2023·全国·高一专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（）A．B．C．D．变式1.（2023秋·高一课时练习）下列集合中表示同一集合的是（）A．，B．，C．，D．，变式2.（2023·全国·高一专题练习）下列与集合表示同一集合的是（）A．B．C．D．变式3.（2023秋·山西运城·高一校考）下面关于集合的表示正确的序号是.①；②；③；④.【题型5：根据集合相等关系求参数】例6.（2024·江苏·高一假期作业）由三个数a，，1组成的集合与由，，0组成的集合相等，求的值．变式1.（2024秋·山东济宁·高一月考）已知，，若，则（）A．0B．1C．D．变式2.（2024·高一课时练习）设，且，求实数x，y的值．变式3.（2024·江苏·高一假期作业）已知集合，若，求实数q的值．变式4.（2023秋·湖北恩施·高一巴东一中校考阶段练习）已知集合，集合.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值；（3）是否存在实数，使.变式5.（2024秋·四川·高一眉山第一中学校考）（多选）若集合，则的值可能为（）A．B．C．0D．【题型6：空集性质及其应用】例7．（2024·全国·高一假期作业）下列集合中为的是（

）A． B．C． D．变式1.【多选】（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列关系中表述正确的是（

）A． B． C． D．变式2.（2023·全国·高一专题练习）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（）A．3B．4C．5D．6变式3.（2023秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合为空集，则实数的取值范围是.变式4.（2023秋·高一校考课时练习）已知空集，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．变式5.（2024·高一课时练习）若集合，则实数a的取值范围．变式6.（2023秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为．【题型7：根据集合的包含关系求参数】例8：（2023秋·辽宁大连·高三第二十高级中学校考开学考试）已知集合，，，则实数m的值为（）A．－1B．0C．1D．2变式1.（2023秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）若集合，，且，求实数m的值.变式2.（2023秋·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.变式3.（2024·高一课时练习）已知集合，，若，求a的取值范围．变式4.（2023秋·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）设集合.(1)当时，求的非空真子集的个数；(2)若，求的取值范围.变式5.（2024·全国·高一假期作业）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.变式6.（2024·全国·高一假期作业）已知集合.(1)若，则实数a的值是多少?(2)若，则实数a的取值范围是多少?(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?变式7.（2023秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知集合，，(1)若，求实数的取值范围；(2)若⫋，求实数的取值范围.【方法技巧与总结】根据集合的包含关系求参数(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．一、单选题1．（2024·四川成都·三模）已知集合，则（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·天津·期末）若集合，，则集合B的真子集个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2324高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（

）个．A．2 B．4 C．8 D．16二、多选题5．（2024高一上·全国·专题练习）关于下图说法正确的是（

）A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素B．集合A、B、U中有相同的元素C．集合U中有元素不在集合B中D．集合A、B、U中的元素相同6．（2223高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的有（

）A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A，C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则7．（2324高一上·浙江·阶段练习）已知，集合与集合相等，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．8．（2223高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的有（

）A． B． C． D．9．（2324高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则或D．若，则或或10．（2324高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（

）A． B．0 C．1 D．三、填空题11．（2324高二下·安徽·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为．12．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为.四、解答题13．（2223高一·全国·课堂例题）指出下列各组集合之间的关系：(1)，；(2)，；(3)，．14．（2425高一上·上海·假期作业）确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：(1)A={为12的正约数}与；(2)与{为4的正整数倍}.15．（2022高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集．16．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，，若BA，求实数m的取值范围.17．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合．(1)若，为常数，求实数m的取值范围．(2)若，为常数，求实数m的取值范围．(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．18．（2324高一上·云南昆明·期末）已知集合．(1)若，求实数m的取值范围；(2)若AB，求实数m的取值范围．19．（2324高一上·广东佛山·期末）设集合(1)若，试判断集合与的关系；(2)若，求的值组成的集合．20．（2324高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根.(1)若，求出实数的值；(2)若，求实数的取值范围.21．（2324高一上·上海嘉定·期中）已知集合(1)若