1.1.1空间向量及其线性运算（一）课件高二上学期数学人教A版选择性

1.1.1空间向量及其线性运算（一）教学目标1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算．(重点)通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法来解决.在“立体几何初步”中

，我们用综合几何方法研究空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系？问题1

阅读章引言部分，思考：能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题？追问1

你能举几个空间向量的例子吗？追问2

你能类比平面向量及其运算的研究过程，说说本章我们将学习那些内容，用到那些研究方法.我们要注意利用类比的方法进行研究，研究内容主要有：空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示；体会推广的合理性和严谨性；利用空间向量表示空间中的几何元素并解决位置、度量等几何问题.问题2请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示.平面空间概念表示看大小看方向既看大小又看方向问题2请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示.平面空间概念在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量；平面向量的大小叫做长度或模.表示看大小看方向既看大小又看方向问题2请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示.平面空间概念在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量；平面向量的大小叫做长度或模.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量；空间向量的大小叫做长度或模.表示看大小看方向既看大小又看方向问题2请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示.平面空间概念在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量；平面向量的大小叫做长度或模.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量；空间向量的大小叫做长度或模.表示印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.看大小看方向既看大小又看方向问题2请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示.平面空间概念在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量；平面向量的大小叫做长度或模.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量；空间向量的大小叫做长度或模.表示印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.看大小看方向既看大小又看方向问题2请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示.平面空间概念在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量；平面向量的大小叫做长度或模.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量；空间向量的大小叫做长度或模.表示印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.看大小有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合.模为1的向量叫做单位向量.看方向既看大小又看方向问题2请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示.平面空间概念在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量；平面向量的大小叫做长度或模.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量；空间向量的大小叫做长度或模.表示印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.看大小有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合.模为1的向量叫做单位向量.有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合.模为1的向量叫做单位向量.看方向既看大小又看方向问题2请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示.平面空间概念在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量；平面向量的大小叫做长度或模.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量；空间向量的大小叫做长度或模.表示印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.看大小有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合.模为1的向量叫做单位向量.有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合.模为1的向量叫做单位向量.看方向表示平面向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行.既看大小又看方向问题2请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示.平面空间概念在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量；平面向量的大小叫做长度或模.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量；空间向量的大小叫做长度或模.表示印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.看大小有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合.模为1的向量叫做单位向量.有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合.模为1的向量叫做单位向量.看方向表示平面向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行.表示若干空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行.既看大小又看方向问题2请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示.平面空间概念在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量；平面向量的大小叫做长度或模.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量；空间向量的大小叫做长度或模.表示印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.看大小有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合.模为1的向量叫做单位向量.有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合.模为1的向量叫做单位向量.看方向表示平面向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行.表示若干空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行.既看大小又看方向与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.方向相同且模相等的向量叫做相等向量.问题2请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示.平面空间概念在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量；平面向量的大小叫做长度或模.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量；空间向量的大小叫做长度或模.表示印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.印刷体用表示；手写用,,表示；几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B.看大小有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合.模为1的向量叫做单位向量.有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合.模为1的向量叫做单位向量.看方向表示平面向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行.表示若干空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行.既看大小又看方向与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.方向相同且模相等的向量叫做相等向量.与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.方向相同且模相等的向量叫做相等向量.追问

从空间向量的相等概念出发，你对共线向量，平行向量有什么认识？任给两个向量，它们一定共面吗，为什么？第一，空间向量是自由的，可以将他们在空间中进行平移第二，因为向量可以平移，所以共线向量和平行向量本质相同第三，空间任意两个向量，都可以平移到同一个平面内任意两个向量一定共面.第四，涉及空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用问题3数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法以及数乘运算的定义吗？平面空间加法三角形法则：首尾相接平行四边形法则：起点重合减法数乘问题3数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法以及数乘运算的定义吗？平面空间加法三角形法则：首尾相接平行四边形法则：起点重合三角形法则：首尾相接平行四边形法则：起点重合减法数乘问题3数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法以及数乘运算的定义吗？平面空间加法三角形法则：首尾相接平行四边形法则：起点重合三角形法则：首尾相接平行四边形法则：起点重合减法三角形法则：起点重合数乘问题3数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法以及数乘运算的定义吗？平面空间加法三角形法则：首尾相接平行四边形法则：起点重合三角形法则：首尾相接平行四边形法则：起点重合减法三角形法则：起点重合三角形法则：起点重合数乘问题3数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法以及数乘运算的定义吗？平面空间加法三角形法则：首尾相接平行四边形法则：起点重合三角形法则：首尾相接平行四边形法则：起点重合减法三角形法则：起点重合三角形法则：起点重合数乘当时，与方向相同，且当时，与方向相反，且当时，为零向量问题3数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法以及数乘运算的定义吗？追问

向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗？向量的线性运算的结果，与向量起点的选择无关平面空间加法三角形法则：首尾相接平行四边形法则：起点重合三角形法则：首尾相接平行四边形法则：起点重合减法三角形法则：起点重合三角形法则：起点重合数乘当时，与方向相同，且当时，与方向相反，且当时，为零向量当时，与方向相同，且当时，与方向相反，且当时，为零向量

例1

(1)下列关于空间向量的说法中正确的是A.单位向量都相等B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反D.相等向量其方向必相同√A中，单位向量长度相等，方向不确定；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量不能比较大小.(2)(多选)下列命题为真命题的是A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝bB.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝pD.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c√√A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行.跟踪训练1

(多选)下列说法错误的是A.任意两个空间向量的模能比较大小B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等√√√对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，两个向量不相等，它们的模可以相等.例2

(1)(多选)如图，在长方体ABCD

－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为

的是√√√跟踪训练2

如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.例3

(1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是A.m(a－b)＝ma－mb B.(m－n)a＝ma－naC.若ma＝mb，则a＝b D.若ma＝na，则m＝n√√m(a－b)＝ma－mb，A对；(m－n)a＝ma－na，B对；若m＝0，则a，b不一定相等，C错；若a＝0，则