专题提优突破六　概率与统计

专题提优突破六概率与统计统计解答题的考查内容包括:概率的运算、随机变量分布列、均值与方差、统计与统计案例、回归方程、独立性检验、概率与统计的综合问题等.通过对近几年高考试题分析,在高考解答题中,概率与回归分析、独立性检验、随机变量及其分布列相结合的综合问题既是考查的热点又是重点,通常设计成包含概率、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别与应用等知识的综合题,以实际应用问题为载体,考查考生应用数学知识和基本方法分析问题和解决问题的能力.近几年,试题位置后移,也凸显了对考查要求的提高和对应用问题的重视.考查方法:树形图、数表分析、统计方法、正难则反、整体代换、反证法、分类、归纳、特殊化.考查思想:用样本估计总体、随机的思想、算法思想、正难则反、数学建模、划归思想、分类思想、数形结合、直观化策略思想,突出考查数据分析能力、计算能力.解题模式:问题的提出→模型的建立→数据的整理和分析→统计与概率知识的应用.解题中要注意:特殊元素和特殊位置优先、抽样的等可能、二项分布和超几何分布的区别.统计概率中的新定义问题新定义问题是近年高考数学命题的热点,新定义问题是指给学生一个从未接触过的新背景、新规定,要求学生在阅读理解的基础上分析解决问题,侧重考查学生的创新意识.解决新定义问题要过“心里关”、“审题关”、“应用关”.新定义问题主要考查以下两种类型:①定义新运算,定义一种新的运算规则,其通常考查学生数学运算等素养;②定义新概念,定义一种新的数学名词,其通常考查学生数学运算、逻辑推理、数学建模等素养.新概念可能定义一种新数、新数组、新方程、新点、新坐标系、新函数等.典例1篮球诞生美国马萨诸塞州的春田学院.1891年,春田学院的体育教师加拿大人詹姆斯奈史密斯博士(JamesNaismith)为了对付冬季寒冷的气温,让学生们能够在室内有限的空间里继续进行有趣的传球训练.现有甲、乙、丙3名同学在某次传球的训练中,球从甲开始,等可能地随机传向另外2人中的1人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲手里的概率为pn,第n次传球之前球在乙手里的概率为qn,显然p1=1,q1=0.(1)求p3+2q3的值;(2)比较p8,q8的大小.训练1中国大力推进生物多样性保护和恢复,完善政策法规,改善生态环境质量,划定生态保护红线,建立国家公园体系,实施长江十年禁渔,不断加大监管和执法力度,积极履行国际公约义务,全社会生物多样性保护意识不断增强,参与度不断提升,生物多样性下降势头得到基本控制,生态系统稳定性明显增强.某兴趣小组在开展昆虫研究时,设计了如下实验:在一个不透明的密封盒子中装有蝴蝶、蜜蜂等多种昆虫共2n(n≥4,n∈N)只.现在盒子上开一小孔,每次只能飞出一只昆虫,且任意一只昆虫都等可能地飞出.(1)若盒子中共有8只昆虫,从中任意飞出2只昆虫时,飞出的恰好有1只是蜜蜂的概率为47①求蜜蜂的只数;②从盒子中任意飞出3只昆虫,记飞出蜜蜂的只数为X,求随机变量X的分布列与期望E(X).(2)若盒子中的昆虫有一半是蝴蝶时,求“从盒子中任意飞出2只昆虫,至少有1只蝴蝶飞出”的概率最大值.与递推数列有关的概率问题纵观近几年的高考真题和模拟题,含数列模型的概率试题是命题者青睐的热点和难点问题,其背景新颖,视角独特,应用性较强,以中档题为主.含数列模型的概率问题主要考查两类题型:①题干给出数列的递推关系或者问题中证明数列为等差或者等比数列,需要通过构造数列来求通项公式,把概率问题转化成一个与自然数n有关的数列问题,借助数列求和、基本不等式求最值或者证明不等式;②题干没有给出数列的递推关系,需要利用全概率公式、正态分布或者概率之间的关系获得数列的递推关系式,然后通过配凑构造等比数列,求出概率中的期望值,进而做出最佳的决策.典例2(2023·江苏盐城中学校考三模)在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.(1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有k(k∈N*)发子弹,甲每次打靶的命中率均为12(2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹,现有一枪支其中有m(m≥1)发为实弹,其余均为空包弹,现规定:每次射击后,都需要在下一次射击之前填充一发空包弹,假设每次射击相互独立且均随机,在进行n(n∈N)次射击后,记弹巢中空包弹的发数为Xn,①当k∈N*时,请直接写出数学期望E(Xn)与E(Xn1)的关系;②求出E(Xn)关于n的表达式.训练2绿色已成为当今世界主题,绿色动力已成为时代的驱动力,绿色能源是未来新能源行业的主导.某汽车公司顺应时代潮流,最新研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行分析,得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)根据大量的汽车测试数据,可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ,σ2),经计算第(1)问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数x作为μ的近似值,用样本标准差s作为σ的估计值.①现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程恰好在200km到350km之间的概率;②从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆,设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在200km到350km之间的数量为Y,求E(Y).(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,客户可根据抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在方格图上行进,若遥控车最终停在“胜利大本营”,则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是12,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格,客户每掷一次硬币,遥控车向前移动一次,若掷出正面,遥控车向前移动一格(从k到k+1),若掷出反面,遥控车向前移动两格(从k到k+2),直到遥控车移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时,游戏结束.设遥控车移到第n格的概率为Pn(n=1,2,…,50),其中P0=1,试说明{PnPn1参考数据:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μσ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973.与导数有关的概率问题新高考对概率统计的考查更加关注数学的应用性,函数模型下的概率问题备受关注,而概率统计知识和导数进行综合更是高考的热点,此类问题往往运用函数思想,借助函数的单调性,求解概率最大(最小)或均值最大(最小),再根据题目要求进行决策.考题往往有两种类型:①将与概率有关的问题(尤其是最值问题)转化为函数问题,再利用导数知识解决;②以决策判断的开放性问题来巧妙设置,从数学角度进行科学创新与判断,为决策或判断提供理论支持.典例3我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产,设试产该款芯片的次品率为p(0<p<1),且各个芯片的生产互不影响.(1)试产该款芯片共有两道工序,且互不影响,其次品率依次为p1=133,p2=1①求p;②现对该款试产的芯片进行自动智能检测,自动智能检测为次品(注:合格品不会被误检成次品)的芯片会被自动淘汰,然后再进行人工抽检.已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%,求人工抽检时,抽检的一个芯片是合格品的概率.视p为概率,记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m(n>m)个次品的概率为f(p),求证:f(p)在p=mn训练3学习强国中有两项竞赛答题活动,一项为“双人对战”,另一项为“四人赛”.活动规则如下:一天内参与“双人对战”活动,仅首局比赛可获得积分,获胜得2分,失败得1分;一天内参与“四人赛”活动,仅前两局比赛可获得积分,首局获胜得3分,次局获胜得