第02讲子集全集补集（三大题型归纳易错分层练）

第02讲子集、全集、补集【苏教版2019必修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01子集与真子集 3题型02补集 5题型03由集合间的关系求参数范围 7易错归纳 10分层练习 11夯实基础 11能力提升 14创新拓展 18一、子集与真子集子集真子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集记法A⊆B或B⊇AA⫋B或BA读法集合A包含于集合B或集合B包含集合AA真包含于B或B真包含A图示性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C；(3)若A⊆B且B⊆A，则A＝B；(4)规定∅⊆A(1)对于集合A，B，C，若A⫋B且B⫋C，则A⫋C；(2)若A≠∅，则∅⫋A注意点：(1)“A是B的子集”的含义：集合A的任意一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B.(2)在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(3)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}．二、补集1．补集定义文字语言设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集符号语言∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}图形语言性质(1)A⊆S，∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)＝A；(3)∁SS＝∅，∁S∅＝S2.全集如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U.注意点：(1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的．(2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合．题型01子集与真子集【解题策略】(1)判断集合关系的方法①观察法：一一列举观察．②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．③数形结合法：利用数轴或Venn图．(2)求有限集的子集的两个关注点①要注意两个特殊的子集：∅和它本身．②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏【典例分析】【例1】已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．[解]由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．【变式演练】【变式1】（2324高一上·湖南株洲·期末）集合的子集个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】求出集合的子集即可判断个数.【详解】因为，所以集合有共4个子集.故选：D【变式2】判断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}．[解](1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故AB.【变式3】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．[解]∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．题型02补集【解题策略】(1)求补集的方法①列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．②由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合．(2)利用补集求参数应注意两点①与集合的补集运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．【典例分析】【例2】(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________.【答案】(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}【解析】(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．【变式演练】【变式1】设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<－2}，则∁UM等于()A．{x|－2≤x≤2}B．{x|－2<x<2}C．{x|x<－2，或x>2}D．{x|x≤－2，或x≥2}【答案】A【解析】如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}．【变式2】（多选）（2324高一上·山东泰安·期中）已知全集，其中，则可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据集合元素的性质及补集的概念求解即可得答案.【详解】已知全集，其中，当时，当时，当时，故选：AC.【变式3】（2324高一上·广东茂名·期中）设全集，，则.【答案】【分析】根据补集的定义即可求解.【详解】因为，，所以.故答案为：.题型03由集合间的关系求参数范围【解题策略】利用集合关系求参数的关注点(1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值．(2)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．【典例分析】【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．[思路点拨]eq\x(B＝{x|m＋1≤x≤2m－1})eq\o(→,\s\up11(分B＝∅和B≠∅),\s\do4(结合数轴))eq\x(列不等式组)→eq\x(求m的取值范围)[解](1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.(2)当B≠∅时，如图所示．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解这两个不等式组，得2≤m≤3.综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．【变式演练】【变式1】（2324高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合.(1)若，求的取值范围.(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用空集的定义即可得解；（2）利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况即可得解.【详解】（1）因为，，所以中没有元素，即，所以的取值范围为.（2）因为，，由（1）知，当时，，此时满足；当时，则；所以的取值范围为.【变式2】．（2324高一上·上海·期末）已知集合.(1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合；(2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围.【答案】(1)或，或(2)【分析】（1）考虑和且两种情况.（2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况.【详解】（1）时，解得符合题意；时令解得，此时，解得符合题意，故或，或（2）若至少有两个子集，则至少有一个元素.由（1）知或时符合题意.由题意可知时若也符合题意.即解得且.综上【变式3】．（2324高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合.(1)若，存在集合使得为的真子集且为的真子集，求这样的集合；(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得；（2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可．【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以.又，故.由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集，用列举法可得这样的集合共有6个，分别为.（2）当时，是的一个子集，此时对于方程，有，所以.当时，因为，所以当时，，即，此时，因为，所以不是的子集；同理当时，，，也不是的子集；当时，，，也不是的子集.综上，满足条件的的取值范围是.易错点01混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错1.(多选)如下四个结论中，正确的有()A．∅⊆∅B．0∈∅C．{0}∅D．{0}＝∅【解析】空集是自身的子集，A正确；0不是空集中的元素，B错误；空集是任何非空集合的真子集，C正确；{0}是含一个元素0的集合，不是空集，D错误．故答案为AC。易错点02忽视对空集的讨论而致错2.设集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A．{a|1≤a≤3}B．{a|a≥3}C．{a|a≥1}D．{a|1<a<3}【解析】因为B⊆A，所以当B＝∅时，符合题意，则有2a>a＋3，即a>3；当B≠∅时，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a≤a＋3，,2a≥2，,a＋3≤6，))解得1≤a≤3.综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}，故选C.易错点03忽略端点的取值情况而致错3．[江苏扬州中学2022高一月考]已知集合M＝{x|2x＋1<3}，N＝{x|x<a}，若N⊆M，则实数a的取值范围为()A．{a|a≥1}B．{a|a≥2}C．{a|a≤1}D．{a|a<1}【解析】∵集合M＝{x|2x＋1<3}＝{x|x<1}，且N⊆M，∴a≤1.故选C.【夯实基础】一、单选题1．（2324高一上·山西阳泉·期末）设是小于的正整数，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得，进而求得.【详解】依题意，，而，所以.故选：B2．（2324高一上·河南商丘·期末）已知集合，，若，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．1或2【答案】C【分析】根据，可得或，从而可求解.【详解】由得或，即或，当时，；当时，，都符合题意，故C正确.故选：C.3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据集合间的基本关系，利用集合中的元素个数即可求得满足条件的集合的个数.【详解】由题意知中必有元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个，所以集合的个数等价于集合的非空子集的个数，即，故选：C.4．（2324高一上·河南开封·期末）集合的真子集的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】A【分析】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数.【详解】，共有两个元素，故其真子集的个数为.故选：A.二、多选题5．（2324高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案.【详解】因为，即有，所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D．故选：AC.6．（2324高一上·广东惠州·阶段练习）下列选项中正确的有（

）A．B．集合与集合非空子集的个数相同C．空集是非空集合的真子集D．若，，则【答案】CD【分析】根据集合间的基本关系及子集的个数求法一一判定即可.【详解】对于A，因为2是质数，但2不是奇数，所以A错误；对于B，集合有两个元素，其非空子集的个数为个，集合有一个元素，其非空子集个数为个，所以B错误；对于C，因为空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集，所以C正确；对于D，因为，所以，所以D正确.故选：CD三、填空题7．（2023高一·全国·专题练习）设，，，则；．【答案】【分析】应用集合的补运算求集合即可.【详解】由，，，，．故答案为：，.8．（2324高一上·河北·阶段练习）是廊坊人}是河北人}.（填，，，，）【答案】【分析】根据集合的描述，判断集合间的包含关系，即可确定答案.【详解】由于廊坊人也是河北人，但河北人不一定是廊坊人，所以是廊坊人}是河北人}.故答案为：9．（2324高一上·新疆·期中）已知集合M满足，则满足条件的集合M的个数是.【答案】8【分析】由包含关系分类讨论，一一列举即可求解.【详解】由题意可得集合M中至少含0，2这2个元素，至多含0，1，2，3，5这5个元素.若集合M中含2个元素，则集合M为；若集合M中含3个元素，则集合M为，，；若集合M中含4个元素，则集合M为，，；若集合M中含5个元素，则集合M为.故满足条件的集合M有8个.故答案为：8【能力提升】一、单选题1．（2324高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合之间的关系可直接得到答案.【详解】因为集合，，若，则，故选：A.2．（2324高一上·浙江杭州·期中）若集合，下列关系式中成立的为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用元素与集合、集合与集合的关系判断即可.【详解】显然，A错误；，B错误，D正确；，C错误.故选：D3．（2324高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集的个数为（

）A．5 B．15 C．31 D．32【答案】C【分析】根据题意，写出集合，根据集合所包含的元素个数，得到其真子集的个数.【详解】由，，所以，集合中含有5个元素，所以集合的真子集个数为个.故选：C.4．（2324高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（

）.A．2 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数.【详解】当时，，满足，当时，，因为，所以或，得或，综上，实数取值的集合为，所以实数取值集合的真子集的个数为，故选：C二、多选题5．（2324高一上·山西太原·阶段练习）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据子集和真子集的概念进行求解.【详解】因为⫋，故或或，ABC正确，D错误.故选：ABC6．（2324高一上·广东珠海·阶段练习）给出下列四个结论，其中正确的有（

）A．B．若，则C．集合是无限集D．集合的子集共有4个【答案】BC【分析】根据已知条件，结合集合的关系、子集的定义等性质和概念，即可求解.【详解】对于A，集合间不应有属于和不属于的关系，故A错误；对于B，若为整数，则一定为整数，故B正确；对于C，有理数有无数个，则集合是无限集，故C正确；对于D，，即其子集的个数为个，故D错误；故选：BC.三、填空题7．（2324高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设全集，，则．【答案】【分析】根据补集的定义即可得出答案．【详解】由题可知，，则，故答案为：．8．（2324高一上·上海杨浦·阶段练习）以下六个关系式中正确的编号是①；②；③；④；⑤；⑥【答案】①③⑤【分析】根据元素和集合、集合与集合的关系判断即可.【详解】对于①：空集是任何集合的子集，故，故①正确；②，故②错误；③，故③正确；④或，故④错误；⑤，故⑤正确；⑥空集是任何集合的子集，故，故⑥错误；故答案为：①③⑤9．（2021高一下·广东佛山·竞赛）设集合，的所有子集构成的集合记为集合，则集合的非空真子集一共有个.【答案】14【分析】集合中的元素是的所有子集构成的，解题时不要漏掉空集和本身.【详解】因为集合，共个元素，所以集合的非空真子集的个数为.故答案是：.【创新拓展】一、单选题1．（2324高一上·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据一元一次不等式的解法化简集合A，根据二次函数值域求解集合B，然后利用集合关系列不等式求解.【详解】集合，集合，因为，所以，解得.故选：A.2．（2324高一上