2.1等式与不等式的性质（第2课时）（八大题型提分练）

2.1等式与不等式的性质（第2课时）题型1：由已知条件判断所给不等式是否正确1．若，则下列不等式中不成立的是（

）A．； B．；C．； D．．【答案】B【分析】根据不等式的性质判断四个选项的正误即可得正确选项.【解析】对于选项A：若，则，故选项A正确；对于选项B：，因为，所以，即，所以，故选项B不正确；对于选项C：若，则，故选项C正确；对于选项D：若，则，故选项D正确，故选：B2．对于实数a、b、c，有下列命题：①若a＞b，则；②若a＞b，则；③若a＜b＜0，则；④若a＜b＜0，则；⑤若a＜b＜0，则；⑥若，则ac＜bd.其中，假命题的序号为.（写出所有满足要求的命题序号）【答案】①②④⑤⑥【分析】根据不等式的性质，结合作差法，逐一验证，可得答案.【解析】对于①，当时，，故①错误；对于②，当时，不等式无意义，当时，由，可得，故②错误；对于③，由，则，，即，故③正确；对于④，由，根据不等式的倒数性质，则，故④错误；对于⑤，，由，则，即，，所以，故⑤错误；对于⑥，由，根据不等式的性质，可得，故⑥错误.故答案为：①②④⑤⑥.3．如果a､b､，那么下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】B【分析】根据不等式的性质判断即可．【解析】解：对于A，若,不成立，错误对于B，因为在分母位置，即，两边同乘，得到，正确对于C，，满足，无意义，错误对于D，，满足若，，不成立，错误故选：B4．下列各式中，不能判断其符号的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用配方法可判断AB；利用绝对值的定义可判断C，利用特值法可判断D.【解析】，故A正确；，故B正确；当时，；当时，，故C正确；当时，；当时，；当时，，则的值可正，可负，也可能为0，故D错误.故选：D.题型2：由不等式的性质比较数（式）的大小5．已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由不等式的基本性质可得答案.【解析】由，有，可得.故选：C6．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由得，结合即可求解.【解析】由题意知：，又，则，显然异号，又，所以.故选：B.7．若a是实数，，，则P，Q的大小关系是（

）A． B．C． D．由a的取值确定【答案】A【分析】由题可得，，进而比较与即可.【解析】显然P，Q都是正数，又，，若a是负数，则，，所以；若a是非负数，则，，所以．综上所述，．故选：A．8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】举反例，取，可判断,取可判断B；根据不等式性质可判断D.【解析】取，满足，但，A错误；当，若，则，B错误；取，满足，但，C错误；若，则，故，所以，故D正确，故选:D.题型3：用不等式表示不等关系9．下列说法正确的为（

）A．与2的和是非负数，可表示为“”B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”C．的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且且”D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度可表示为“7℃13℃”【答案】C【分析】ABD选项，利用不等式表达不等关系均有错误，C选项为正确表达.【解析】对于A，应表示为“”，对于B，应表示为“”，对于D，应表示为“7℃13℃”，故A，B，D错误．故选：C．10．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据工资预算以及工人工资列出不等式.【解析】依题意，请工人满足的关系式是，即.故选：D11．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：．（不用化简）【答案】【分析】设这个学生答对了x道题，则答错（201x）道题，根据得分=5×答对题目数1×答错题目数结合得分在80以上，即可得出关于x的一元一次不等式．【解析】这个学生至少答对x题，则答错（201x）道题，由得分规则成绩不低于80分，即．故答案为：12．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组：．【答案】【分析】由第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板可得．【解析】解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以故答案为：题型4：作差法比较代数式的大小13．如果，，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过观察三个数的特征可知最大，再利用作差法判断即可得出结果.【解析】由选项可知，仅需要比较三个数的大小，显然，，所以最大，由可得，，所以，即可得.故选：D14．设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法即得.【解析】因为恒成立，所以．故选：A.15．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；通过作差法，，确定符号，排除C选项；通过作差法，，确定符号，排除A选项；【解析】由，且，故；由且，故；且，故.所以，故选：B.16．设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（

）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【答案】C【分析】利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.【解析】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故选：C.17．在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖，再添加m克糖（，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用作差法比较.【解析】因为向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜，所以糖水的浓度，再添加m克糖，即浓度，将糖水变甜．则，因为，，所以，故选：B18．比较下列各题中两个代数式值的大小：(1)与；(2)与．【答案】(1)(2)【分析】利用作差法得出大小关系.【解析】（1）因为，所以，当且仅当时，取等号.即（2）因为，所以，当且仅当时，取等号.故.题型5：作商法比较代数式的大小19．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定【答案】C【分析】应用作商法比较的大小关系即可.【解析】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C.20．如果，，那么，，从小到大的顺序是【答案】【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；同理，所以。综上：故答案为：【点睛】此题考查比较大小，一般可以考虑作差，作商等方法进行比较，属于简单题目。21．，则的大小关系为．【答案】≥【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果.【解析】因为，则由所以故答案为：题型6：由不等式的性质证明不等式22．用综合法证明:如果，那么【答案】证明见解析【分析】根据综合法的要求执因索果，逐步推导证明即可.【解析】证明:，即显然，即.23．证明下列不等式：(1)已知，求证(2)已知，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．【解析】（1）证明：，，，，又因为，即，所以.（2）证明：，，；又，，；.24．已知，，，求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据不等式的性质证明即可；（2）结合（1）和不等式的性质求解.【解析】（1）证明：因为，，所以所以；（2）证明：由（1）得，又，所以.25．设，，，，，证明：．【答案】证明见解析【分析】根据题意证明，进而通分，结合已知条件即可证明.【解析】证明：因为，所以．又，所以，所以．因为，，，所以．26．阅读材料：（1）若，且，则有（2）若，则有．请依据以上材料解答问题：已知a，b，c是三角形的三边，求证：．【答案】证明见解析.【分析】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答.【解析】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料（1）知，，同理，，由材料（2）得：，所以原不等式成立.题型7：由不等式的性质确定取值范围27．实数、满足，.(1)求实数、的取值范围；(2)求的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，根据不等式的性质计算可得；（2）求出，再利用不等式的性质得解.【解析】（1）解：由，，则，所以，所以，即，即实数的取值范围为．因为，由，所以，所以，所以，∴，即实数的取值范围为．（2）解：设，则，解得，∴，∵，．∴，，∴，即的取值范围为．28．已知，，求的取值范围．【答案】【分析】令，解得、，则，再根据不等式的性质计算可得.【解析】解：令，解得，∴，∵，∴①，∵，∴②，①②，得，∴．题型8：用反证法证明不等式29．（1）设，用反证法证明：若，则或．（2）设，比较与的值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【分析】（1）利用反证法证明即可；（2）用作差法判断即可【解析】（1）假设且，则，与已知条件矛盾，所以假设不成立，即或．（2），当时，，当时，，当时，．30．（1）已知实数，满足，求证：.（2）若实数，为正数，且满足，用反证法证明：和中至少有一个成立.【答案】证明见解析【分析】（1）利用作差法比较大小即可证明；（2）利用反证法结合不等式性质证明即可.【解析】（1），因为，所以，所以；（2）假设结论不成立，即有且，由已知，实数，为正数，所以有且，故，所以，与已知矛盾，假设不成立，所以有和中至少有一个成立.一、填空题1．已知，则的取值范围是．【答案】【分析】将改写成的形式，利用不等式性质即可求得其范围为.【解析】可令，即，解得，所以，又，所以，即，可得；所以的取值范围是.故答案为：2．设，则中等号成立的充要条件是．【答案】且.【分析】利用充分、必要性的定义判断题设不等式等号成立的充要条件即可.【解析】由题设，，∴要使等号成立，则且，当且时，有，即成立.综上，且是中等号成立的充要条件.故答案为：且.3．已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是.【答案】112【分析】先将不等式变形为，然后根据求出的范围，进而验证即可.【解析】由得，，即.又由整数k的唯一性知，，解得，而时，，，满足的整数k只有97，故符合.故答案为：.4．对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】借助换元法，令，则原不等式可化为，化简可得，又表示点到的距离，表示点到的距离，，即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于，结合，数形结合即可得解.【解析】恒成立，恒成立，令且，，且恒成立，，，又表示点到的距离，表示点到的距离，，即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于，当最小时，即且，此时，又，可取，故实数的取值范围为.故答案为：.5．已知三角形的三边长分别为，有以下个命题：①以为边长的三角形一定存在；②以为边长的三角形一定存在；③以为边长的三角形一定存在；④以为边长的三角形一定存在，其中正确的命题有（填写所有正确命题的序号）.【答案】①③④【分析】设，再利用构成三角形的条件及不等式的性质，逐一对各个选项分析判断，即可求出结果.【解析】不妨设，对于选项①，因为，所以，又，所以选项①正确，对于选项②，若，满足条件，但，不构成三角形，所以选项②错误；对于选项③，由假设易知，由，所以选项③正确，对于选项④，因为，，，所以选项④正确，故答案为：①③④.6．已知，且，则的取值范围是.【答案】【分析】设，利用待定系数法求出的值，再由不等式的性质计算和的范围，即可得的范围，再两边同时除以即可求解.【解析】由可得：，令，整理可得：，所以，解得：，所以，将两边同时乘以，可得，①将两边同时乘以，可得，②两式相加可得：，即，因为，所以，所以的取值范围是，故答案为：.二、单选题7．记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得，，所以，即，解不等式即可得到答案.【解析】因为，所以，，所以，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故选：A8．某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公路，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.