中考数学二轮复习几何模型归纳讲练专题20 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（原卷版）

专题20.相似三角形重要模型--母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；4）共边模型条件:如图1，在四边形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结论：SKIPIF1<0；例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的周长比是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．例4．（2023·湖南·统考中考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0上的高．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．

例5．（2023.浙江中考模拟）如图，在SKIPIF1<0ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，SKIPIF1<0是等腰直角SKIPIF1<0斜边SKIPIF1<0的中线，以点SKIPIF1<0为顶点的SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0旋转，角的两边分别与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延长线相交，交点分别为点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)如图1，若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(2)如图2，若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(3)如图2，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．例7．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．（2）如图2，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．（3）如图3，四边形SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0的半径为2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积．例8．（2022春·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】（1）如图1，在四边形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；【尝试应用】（2）如图2，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0延长线上，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长；

【拓展提高】（3）如图3，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，连结SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．课后专项训练1.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，ADAB=12，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为SA．116 B．15 C．14 2．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．分别以点SKIPIF1<0为圆心，大于SKIPIF1<0的长为半径画弧，两弧相交于点SKIPIF1<0，作直线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0长为半径画弧，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0．则下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0点，下列关系中不正确的是（

）

A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为圆心，以SKIPIF1<0为半径作弧交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，再分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆心，以大于SKIPIF1<0的长为半径作弧，两弧相交于点SKIPIF1<0，作射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．以下结论不正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．（2023·云南临沧·统考三模）如图，在SKIPIF1<0中，D是SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积比为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，以点SKIPIF1<0为圆心，任意长为半径作弧，分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；分别以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆心，大于SKIPIF1<0的长为半径作弧，两弧交于点SKIPIF1<0；作射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为．7．（2020·山西·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为．8．（2022·河北邢台·校考二模）如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上一点，则点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的最短距离为______．如图2，连接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的长为______．9．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是正五边形SKIPIF1<0的对角线，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0．下列结论：①SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0；

③四边形SKIPIF1<0是菱形；

④SKIPIF1<0其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

10．（2020·广东广州·统考中考真题）如图，正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交对角线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为．11．（2021·四川南充·中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，D为BC上一点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为________．12．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．13．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别在边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若___________，则SKIPIF1<0．请从①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．14．（2023·湖南·统考中考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0上的高．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．

15．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为SKIPIF1<0的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现：如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）操作发现：将SKIPIF1<0折叠，使边SKIPIF1<0落在边SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0的对应点是点SKIPIF1<0，折痕交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0______（用含SKIPIF1<0的式子表示）；（2）进一步探究发现：SKIPIF1<0，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：SKIPIF1<0；拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的SKIPIF1<0是黄金三角形．如图2，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求这个菱形较长对角线的长．16．（2023·广东·九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足SKIPIF1<0，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是SKIPIF1<0的边AB的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试判断点D是不是SKIPIF1<0的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点D是SKIPIF1<0的“理想点”，求CD的长．17．（2022·江西·统考中考真题）如图，四边形SKIPIF1<0为菱形，点E在SKIPIF1<0的延长线上，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的长．18．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知，点D在SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0．(1)如图1，若SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0；(2)如图2，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求线段SKIPIF1<0的长；(3)如图3，M、N分别是SKIPIF1<0SKIPIF1<0上的两点，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点P，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，直接写出SKIPIF1<0的值______．

19．（2022·湖南长沙·校考三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上的中线，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似，那么称SKIPIF1<0为关于边SKIPIF1<0的“华益美三角”．

(1)如图2，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为关于边SKIPIF1<0的“华益美三角”；(2)如图3，已知SKIPIF1<0为关于边SKIPIF1<0的“华益美三角”，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0为直径的⊙SKIPIF1<0恰好经过点SKIPIF1<0．①求证：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切；②若SKIPIF1<0的直径为SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长；(3)已知SKIPIF1<0为关于边SKIPIF1<0的“华益美三角”，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．20．（2022·浙江台州·统考一模）已知在▱ABCD，AB＝2SKIPIF1<0，BC＝10，∠B＝60°，E是边BC上的动点，以AE为一边作▱AEFG，且使得直线FG经过点D．（1）如图1，EF与AD相交于H，若H是EF的中点．①求证：GF＝DF；②若GF⊥CD，求GD的长；（2）如图2，设AE＝x，AG＝y，当点E在边BC上移动时，始终保持∠AEF＝45°，①求y关于x的函数关系式，并求函数y的取值范围；②连接ED，当△AED是直角三角形时，求DF的值．21．（2023·山西临汾·统考二模）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当SKIPIF1<0时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当SKIPIF1<0时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：证法1：如图1，作SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．

SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0证法2：如图2，延长SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，……

任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）．(2)请补全证法2剩余的部分．22．（2022·安徽·校联考三模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．（1）如图1，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．（2）如图2，过SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0