2024届广东省汕头市高三上学期期中考数学试题及答案

汕头市2023-2024学年度普通高中毕业班期中调研测试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x2A∣x2B{0x1.已知全集UR，能表示集合与关系的Venn图是（）A.B.CD.(z2z都是纯虚数，则2.已知复数z1与复数（）A.1iB.1C.11D.2tan22.51cos503.设a,b,c，则有（）1tan22A.acbB.abcD.C.cba4.为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学､法律､健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.现抽取10个班级的平均成绩：70717376787881858990，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为（）A.77B.78C.76D.8012BCxAByAC5.已知，点D在线段，的最小值为（）xyA.22B.222C.223D.232-ABC6.图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为h.将容器111ABC底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，11第1页/共7页则h（）A.3B.4C.42D.67.已知函数fxsinx的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（）12x122yf2xyfA.C.B.xyf1yf2x1D.28.设，若函数在）a0,1fxaxa)xa递增，则的取值范围是（5151515151,B.,1C.,1D.A.22222､二多选题：本题共小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.B为两个互斥的事件，且，则（PAPB09.设）PAB0PPAPBA.B.PABPAPBCP(AB)1D.10.已知圆C:(x2)2y21，点是直线l:xy0､PAPB分别与圆C上一动点，过点作直线相PPB切于点，则（）312212A.圆C上恰有一个点到l的距离为B.直线AB恒过定点,第2页/共7页ACBP面积的最小值为2C.的最小值是2D.四边形ABCDBB12，M，NAD,分别为棱的中点，11111.如图，在长方体中，1111则下列结论正确的是（）A.MN//平面11D⊥平面B.3C.异面直线CN和AB所成角的余弦值为3ACD.若P为线段上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值111fxsinxsin2x，则下列结论正确的是（12.对于函数）2A.2π是的一个周期fxB.D.fx在2π上有3个零点334π的最大值为fx在上是增函数fxC.2､三填空题：本题共小题，每小题分，共4520分.第16题第一空分，第二空分.23rrrr的大小关系为__________.413.以下4幅散点图所对应的样本相关系数123第3页/共7页14.高中数学教材含必修类课本2册，选择性必修类课本3册，现从中选择3册，要求两类课本中各至少选一册，则不同的选法共有__________种.（用数字作答）SASAAB,SC2，则直线与15.如图，在三棱锥S中，，若BC__________.所成角的大小是16.三等分角是“古希腊三大几何问题”Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，BAB的三等分点O，DB为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB1BCEACB的交点记为E，连接CE，则．3①双曲线H的离心率为________；π②若ACB，|AC|32，CE交AB于点P，则________．|OP2､四解答题：本题共小题，共670分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤..､的前n项和，已知是公差为SaannNS1的等差数列.17.记为数列nnn第4页/共7页（1）求的通项公式；an11112a11（2）设，证明：a2a2a3anan1ABCD11，若在CDAE上存在点E，使得118.如图，长方体中，AB2，1111AB1D平面.1（1）求的长；AB1DBB1E夹角的余弦值.（2）求平面与平面119.某种疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20%.为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10个病人服用，试验方案为：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.p，求经试验认定该药无效的概率（1）如果新药有效，把治愈率提高到了0.001，参考数据：1C11022C21024C31026C410262201）8p（2）根据（1）中值的大小解释试验方案是否合理.､交于点，且E20.在凸四边形ABCD中，对角线ACBDBEED,AE2EC,ABAD22.（1）若（2）若EC1，求的余弦值；πBC的长.，求边4x22y23B,4，上下顶点分别为.过点E，且斜ab0)的离心率为､21.设椭圆ab23､CDklx率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于G两点.第5页/共7页GCDE（1）若k，求的值；（2）是否存在实数，使得直线kAC平行于直线？证明你的结论.22.已知函数f(x)aex(aR)，g(x)x2．（1）若f(x)的图像在点（1，f（13，3y=xf（x）的单调区间；（2）当a>0时，曲线f（x）与曲线g（x）存在唯一的公切线，求实数a的值．第6页/共7页汕头市2023-2024学年度普通高中毕业班期中调研测试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x2Ax2B{0x1.已知全集UR，能表示集合与关系的Venn图是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式，结合集合的交运算即可判断.Axx21x2【详解】因为，又B{0x，所以所以AB{0x，ABA，AIBB，AB，根据选项的Venn图可知选项D符合.故选：D.2.已知复数z1与复数(z2z都是纯虚数，则（）A.1iB.1C.11D.【答案】D【解析】【分析】设zabi，由题意列出方程组，求解即可.zabi【详解】解：设，z1(abiz12a1bi2a+1)2b2ba8i则，，第1页/共22页a10b0a1b2,解得由题意可得，2b2a1ba1800z1i.所以故选：D.3.设a2tan22.51cos50,b,c，则有（）1tan22A.acbC.cba【答案】C【解析】B.abcD.【分析】根据二倍角公式化简，然后根据正弦函数的单调性比较大小.2tan22.5atan451，b2sin13cos13sin，【详解】1tan22.5225112sin21cos50csin25，22ysinx在0x90时单调递增，所以sin25sin26sin901，即cba.因为故选：C.4.为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学､法律､健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.现抽取10个班级的平均成绩：70717376787881858990，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为（A.77）B.78C.76D.80【答案】A【解析】【分析】由第p百分位数计算公式可得答案.【详解】因共10个数据，则i10404，故该组数据的第40百分位数为从小到大排列第4个00数据与第5个数据的平均数，即故选：A.2第2页/共22页12BCxAByAC5.已知，点D在线段，的最小值为（）xyA.22B.222C.223D.232【答案】C【解析】【分析】由平面向量共线定理的推论得到xy1，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.BC【详解】，点D在线段故存在，使得BDBC，即，即ADAC1AB，y,x1因为向量xAByAC，所以，可得xy1，y0x0，，由基本不等式得1212y2xy2xxy1232223，xyxyxyxy当且仅当y故选：C．2x，即y22,x21时等号成立.-ABC，现往内灌进一些水，设水深为h.将容器116.图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器1ABC底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，11则h（）A.3B.4C.42D.6【答案】B【解析】【分析】利用两个几何体中的装水的体积相等，列出方程，即可求解.VSh，【详解】在图1中的几何体中，水的体积为1△ABC第3页/共22页1VV2VSABC6S64SABCABC111在图2的几何体中，水的体积为，ABCABCCABC3111111VVSh4Sh4，解得.因为，可得12故选：B.7.已知函数fxsinx的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（）12x122yf2xyfA.C.B.D.xyf1yf2x12【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的变换即可得答案.112【详解】解：由题意可知，图2中的图象是将图1中的图象纵坐标不变，横坐标先缩短，再向右平移2个单位得到的.所以对应的解析式为故选：D.yf2x1.a0,1fxaxa)在递增，则的取值范围是（xa8.设，若函数）5151515151,B.,1C.,1D.A.22222【答案】B【解析】1aaxaa)【分析】把函数在递增利用导数转化为在上恒成立，利用指数fxaa)1，解对数不等式即可得解.函数单调性得第4页/共22页【详解】因为函数fxaxa)x在递增，所以x)xa)0在上恒成立，fxaaa1aaxaa)则a)xaa)xa，即在上恒成立，1aax1aa0aa)由函数y单调递增得1，a0,1，所以a11,2，所以a0又，aa110a1a10a1a51a1，所以即，解得251a所以的取值范围是,1.2故选：B､二多选题：本题共小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.B为两个互斥的事件，且，则（PAPB09.设）PAB0PPAPBA.B.PABPAPBC.P(AB)1D.【答案】AD【解析】【分析】根据互斥事件的含义及概率计算公式逐项判定即可.BPAPB为两个互斥的事件，且，0【详解】因为所以因为AB,即PAB0，故正确，B错误；AB为两个互斥的事件，不一定为对立事件，所以,B也不一定为对立事件，故P(AB)不一定为1，故C错误；B，故正确，PABPAPB因为为两个互斥的事件，所以D故选：AD.10.已知圆C:(x2)2y21，点是直线l:xy0､PAPB分别与圆C上一动点，过点作直线相PP第5页/共22页B切于点，则（）312212A.圆C上恰有一个点到l的距离为B.直线AB恒过定点,ACBP面积的最小值为2C.的最小值是2D.四边形【答案】BC【解析】【分析】利用圆心到直线的距离求解选项AB用弦长公式求解选项C；利用切线长公式求解选项D.【详解】圆心C(2,0)，半径r1，2对A，圆心C(2,0)到直线l:xy0所以圆上的点到直线l距离得最小值为的距离为d2，2121，2121圆上的点到直线l距离得最大值为，212所以圆C上恰有两个点到l的距离为，A错误；Pt,t),B都在以对B，设，由题意可知，为直径的圆上，t222t2t2)t22又C(2,0)，所以为直径的圆的方程为xy，24x2yt2xtyt0，2整理得，第6页/共22页(x2)2y12联立可得，2y2t2xtyt0x(2t)xty3t0，即为直线AB的方程，2x3t(xy2)0即令2x30321231x,yAB,，B正确；，解得，所以直线恒过定点xy202231,对C，因为直线AB恒过定点，2231,与圆心C(2,0)当定点的连线垂直于AB时，22圆心C(2,0)到直线AB的距离最大，则最小，31,与圆心C(2,0)2定点之间的距离为1，222AB2r2122，C正确；所以ACBPPACAPA,对D，四边形的面积为PC2r2PC1，2根据切线长公式可得，PAPCPCd2，当最小时，最小，ACBP面积的最小值为1，D错误；所以最小值为1，即四边形故选:BC.ABCDABBB12BC，M，NAD,的分别为棱中点，11111.如图，在长方体则下列结论正确的是（中，1111）A.MN//平面1第7页/共22页1D⊥平面B.3C.异面直线CN和AB所成角的余弦值为3ACD.若P为线段上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值11【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定定理，利用空间平面向量的数量积运算性质、夹角公式逐一判断即可.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则1，A4,0,C2,0,0,D4,0,A0,4,4,B0,0,4,C2,0,4,D4111M1,4,4,N0,4,2，2,0,4NMBC2NM，对于A，因为11//1平面，1所以，又平面，1MN//A所以平面，故正确；1，2,4,2CN，BD4CM，对于B：1mCM0.x4y4z0.mx,y,z设平面的法向量为，则即2x4y2z0.mCN0.因为BD与33x，y.所以平面m2，令z1，则的一个法向量为2132m1D⊥平面不成立，故B错误；不平行，所以第8页/共22页，，CN2,4,2AB对于C：CNCN,166设异面直线CN和AB所成的角为，则，3CN41644故C错误；，APAC2,4,00,1对于D，设111CPCAAP2,44,4，所以11mCP2232d.不是又平面的一个法向量为m所以点P到平面的距离m292定值.故D正确.故选：AD12fxsinxsin2x12.对于函数，则下列结论正确的是（）A.2π是的一个周期fxB.D.fx在2π上有3个零点334π的最大值为fx在上是增函数fxC.2【答案】ABC【解析】fx0【分析】对于AB，令求导，fxCD，对令fx0，判断单调性即可.121fx2πsinx2πsin2x2πsinxsin2xfx，【详解】对于A，因为2所以2π是的一个周期，A正确；fx12fxsinxx2πsinxsinxx0，sin2x0对于B，当，时，即sinxx)0，即sinx0或1x0，解得x0或xπ或x2π，所以在2上有3个零点，故B正确；fx对于C，由A可知，只需考虑求在2π上的最大值即可.fx1fxsinxsin2xsinxsinxx，2第9页/共22页则fxx22xsinx22xx1，1令fx0，求得cosx或x1，2π35π312xx,2πx1，此时f(x)0所以当或时，，π5π33,,2π则f(x)在上单调递增，π5π3312x,1xf(x)0，但不恒为0，当时，，此时π5π,则f(x)在上单调递减，33π则当x时，函数f(x)取得最大值，3π3π1sinsin2π33334f，C正确；为32324π对于D，由C可知，在fx上不是增函数，D错误.2故选：ABC､三填空题：本题共小题，每小题分，共4520分.第16题第一空分，第二空分.23rrrr的大小关系为__________.413.以下4幅散点图所对应的样本相关系数123rrrr1【答案】【解析】243【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可；第10页/共22页rrrr0【详解】根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，1234又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即|r|与|r|比较大，|r||r|比较小，4与123rrrr.1所以243rrrr1故答案为：24314.高中数学教材含必修类课本2册，选择性必修类课本3册，现从中选择3册，要求两类课本中各至少选一册，则不同的选法共有__________种.（用数字作答）【答案】9【解析】【分析】根据选取的必修类课本数量分类即可.C12C236【详解】第一类，只选取一册必修类课本的选法有种；C221C3种.3第二类，两册必修类课本都选的选法有639综上，满足条件的选法共有种.故答案为：9SASAAB,SC2，则直线与15.如图，在三棱锥S中，，若BC__________.所成角的大小是π【答案】【解析】3SA1SCSABC与2π所成角的大小是.32【详解】根据题意可得SCSA，又，22222所以可得SCSAABBCSAABBC2SAAB2BCAB2SABC第11页/共22页111002SA4，12SA即可知设直线，BC所成的角为与，SA121，又π，则cos112SAπ所以.3π故答案为：316.三等分角是“古希腊三大几何问题”Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，BAB的三等分点O，DB为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB1BCEACB的交点记为E，连接CE，则．3①双曲线H的离心率为________；π②若ACB，|AC|32，CE交AB于点P，则|OP________．2【答案】【解析】①.2②.7331ACCPsinACPBCCPsinBCPAPBP2c2a【分析】①根据图形关系确定即可求解；利用面积之比，12333，再根据求解.进而可求出a,c,c2a，【详解】①由题可得所以c2所以双曲线H的离心率为；a第12页/共22页π②，因为ACB，且32，218186所以,1ππBCEACBACP,BCP,，所以又因为33613ACCPsinACPBCCPsinBCPAPBP22所以，1212AP3BP所以因为所以,ABAPBP(3BP6333，,解得733,故答案为:2;733.､四解答题：本题共小题，共670分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤..､的前n项和，已知是公差为的等差数列.SaannNS117.记为数列nnn（1）求的通项公式；an11112a11（2）设，证明：a2a2a3anan1a(2na【答案】（1）n1（2）证明见解析【解析】Snn2a1n2S(n2a11）根据题意，得到，得到时，，两式相减可得n1n(2na的通项公式an，进而求得数列.11111a(2na()（2）由（1）知，求得，结合裂项法求和，即可求解.n1nn122n12n1【小问1详解】解：由可得S是公差为a的等差数列，1nS=S(naS(nSnSSna，12，即n11111n当n2时，S(na，12n1第13页/共22页SSn21(n1a21(2naan(2na两式相减可得，即，1nn11当n1时，aS12，适合上式，111所以数列的通项公式a(2naa.nn1【小问2详解】a(2na解：由（1）知，1n11111a11a2n1n()，当时，，则nn1(2nn22n12n111111111111)()()，所以因为所以223nn123352n12n122n1111120)，所以，2n122n11111.a2a2a3anan12ABCD11，若在CDAE上存在点E，使得118.如图，长方体中，AB2，1111AB1D平面.1（1）求的长；AB1DBB1E夹角的余弦值.（2）求平面与平面18131【答案】（1）2）.239【解析】AEa即可求出的值；a1）建立空间坐标系，设，令11BB1E的法向量，计算nnAE（2）求出平面和的夹角即可得出二面角的大小.11）以D为原点，以DA，，为轴建立空间直角坐标系D，如图所示：1第14页/共22页aE(0a，，0)0)B1(0，，，，设，则，，0，，A1，0，，，2，010)AE(1a，，，(0，2，，DB，2，，1111QAE^平面D，111AEAB2a10a，即，解得，11212.AE(112为平面AB1D的法向量，1（2）由（1）可知，，132(1，，0)，(0，，0，1z00，即32BB1En(xyz)1设平面的法向量为，，，则，0xy0y2可得n(3，2，，0)令An481339.n1AE，32AEn111381339AB1DBB1E平面与平面夹角的余弦值为.1义）指作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定mncos,n；再代入公式（其中,n分别是两个mn平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）19.某种疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20%.为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10个病人服用，试验方案为：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.第15页/共22页p，求经试验认定该药无效的概率（1）如果新药有效，把治愈率提高到了0.001，参考数据：1C11022C21024C31026C410262201）8p（2）根据（1）中值的大小解释试验方案是否合理.p0.006【答案】19.20.试验方案合理【解析】1）先分析新药无效的情况：10中0人或1人或2人或3人或4人痊愈，由此求解出无效的概率；（2）结合（1）该药无效的概率分析试验方案的合理性得解.【小问1详解】XB0.8，设通过试验痊愈的人数为变量X，则所以经试验认定该药无效的概率为：pPX5PX0PX1PX2PXPX3400.210.290.820.280.823C0.270.834C0.260.84CCCC0.20.21C4C4243441234C22242681C1C2C3C4622010.006.5【小问2详解】由题意，新药是有效的，由（1）得经试验认定该药无效的概率为试验方案合理.p0.006，概率很小是小概率事件，故､交于点，且BEED,AE2EC,ABAD22.20.在凸四边形ABCD中，对角线ACBDE（1）若EC1，求的余弦值；第16页/共22页π（2）若【答案】（1），求边BC的长.424（2）2【解析】x△与△1BD42后在△中由余弦定理求解；π（2）在△中由正弦定理得sinADB1，从而求得，进一步利用直角三角形的性质得2510，cosBEC【小问1详解】，在中由余弦定理求解即可.5EC1，所以AE2ECAC3，设，x因为22222x42AD222x22在△中，由余弦定理得中，由余弦定理得，2AD82x22x222x2222ED2AE2x24在△，ADB2ADED42x42xx22x42所以，解得x22，所以BD42，22x42x22422242AB2AD2BD22；4在△中，由余弦定理得BAD2ABAD2422【小问2详解】在△中，由正弦定理得，sinsin4ππsinsinsin1，又ADB为三角形的内角，所以所以，2242所以BDAD22，2，且AEAD2ED210，51102所以ECAE，又，52第17页/共22页在中，由余弦定理得BC2BE2EC22BEECcosBEC5102552102222BC.，所以221.设椭圆k5x22y223B,4，上下顶点分别为.过点E，且斜ab0)的离心率为､ab3xG率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于l､CD两点.GCDEk，求的值；（1）若（2）是否存在实数，使得直线kAC平行于直线？证明你的结论.6【答案】（1）3（2）不存在实数，使得直线kAC平行于直线，证明见解析.【解析】1）由题意，列出基本量方程组，进而求出椭圆方程，设，，Dx,y22Cx,y11直线l方程为y1CDCD的中点即为EGk的中点，列方程即可求出的值；x3x（2）据题意，若AC//,则AC//，进而得到，由（2）得126k2kxxx3x2x11129k3122，即可得出答案.，即2k222k29xxx3x31212112k2【小问1详解】c3ea326ab4根据题意，，解得，b24a2b2c2x2y21，所以椭圆的方程为64k0k