人教版九年级数学下册第08讲 锐角三角函数的定义 教案讲义及练习

第8讲

锐角三角函数的定义

概述

适用学科初中数学适用年级初三

适用区域新人教版课时时长（分钟）120

知识点1.当锐角A的度数确定时，它所在的直角三角形中任意两边的比都有唯

一确定的值

2.正弦、余弦、正切的定义

3.锐角三角函数的定义

4.特殊角三角函数的值

教学目标1.了解正弦，余弦，正切这三个锐角三角函数的定义，能准确地用直角三

角形两边的比表示这些函数

2.掌握特殊角的三角函数值，会用三角函数解决三角形中的边角问题，会

用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求角度的大小

3.体验数形结合思想在解决问题中的广泛应用，感受学习数学的乐趣和成

功的喜悦.

教学重点1.当锐角A的度数确定时，它所在的直角三角形中任意两边的比都有唯一

确定的值

2.正弦、余弦、正切的定义

3.特殊角三角函数的值

教学难点锐角三角函数的定义

【教学建议】

锐角三角函数既是相似三角形及函数的继续，也是学习三角函数的基础，锐角三角函数

的定义，这是中考的热点.在近几年的中考中，主要考查已知直南三角形的两边长求锐角的

三角函数值，题目较简单，题型主要有选择题和填空题.

【知识导图】

正弦、余弦、正切的定义

锐角三角函数的定义

特殊角三角函数的值

教学过程

一、导入

大家思考：小红在上坡的过程中，下列哪些量是变量和常量？（坡角、上升高度、所走

路程）

她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走的路程的比值变化吗？

二、复习预习

带着这个问题走进我们今天学习的内容---锐角三角函数，前面我们学过在直角三角形中,

知道任意两条边，通过勾股定理可以求出第三条边，

例如：已知在肋乙钻C中，NC=90°,BC=12,AC=5,求边AB的长.

利用勾股定理：8c2+AC?=4笈可得：AB=13

那么知道一角一边能求出其他的边和角吗？

_三、知识讲解-

一考点1当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比、

L都有唯一确定得值,

1.任意画一个锐角A的一边上任取一点B,自点B向另一边作垂线，垂足为C,从而得到一个

Rt^ABC,如图RtAABC中的三条边每两边构成一个比，一共可得到如下六个比：

BCACABACABBC

AB'A5，5C，5C，AC'AC

2.在锐角A的AB边上再取

星一占ni自点4向另一边作垂线，垂脑G，从而得到另一佃"4GMM4G

为MD,

B©AC,AB】AC,ABiB.C,

，，----，-----，----，-----

中的三条边也构成如下六个比，AB'AB'BCBCAGAG那么有两个直角三

角形所得的对应比有怎样关系呢？

所以点Bi是在AB边上任取得，所以前面的操作具有普遍性

所以当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定得值.

考点2正弦、余弦和正切的定义

由知识点1可知，当锐角A的度数固定时，NA的对边与斜边的比是一个固定值，NA的邻

边与斜边的比也是一个固定值，NA的对边与邻边的比也是一个固定值.

J

在比‘设NC=90ZA,NB,NC的对边分别为a,b)c>如图所示：

乙4的对边_a

(1)我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作sinA,即sinA=斜边c

NA的邻边一

(2)我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记作cosA,即cosA=斜边c

我们把锐危4的对边与邻边的比叫做64的正切，记作tanA,即tanA=幺£蹩=q

(3)乙4的邻边b

知识拓展：(1)正弦、余弦和正切都是一个比，没有单位.

(2)正弦值，余弦值和正切值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关.

(3)sinA^cosA>tanA是整体符号,不能写成sin'A、coseA、taneA.

(4)当用三个字母表示角时，角的符号N不能省略，如sin/ABC.

(5)sin2A表示⑸加”而不能写成sinA1

(6)三角函数还可以表示成sin夕、cos。、tanP

(7)在RtlABC中，NC=90°sinA=cosB,sinB=cos/1

(8)在Rt^ABC中，NC=90°,sin?A+cos2A=1

(9)在Rt^ABC中，NC=90°,tanA・tan5=l

sinA

tanA=-------

(10)在Rt^ABC中，NC=90°,cosA

考点3锐角三角函数的定义

锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做NA的锐角三角函数.

(1)三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角

函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化.

(2)由定义可知，0<sinAvl,0<cosA<LtanA>0.令y=sinA,y=cosA,y=tanA,则函数中自变量的取

值范围均为0°<NA<90°函数的增减性分别为：

①丫二允|^在自变量的取值范围内，y随NA的增大而增大

②y=cosA在自变量的取值范围内，y随NA的增大而减小

③y=tanA在自变量的取值范围内，y随NA的增大而增大.

知识拓展：

(1)锐角的三个三角函数都是比，当锐角不变时，该角的正弦值，余弦值，正切值也不变.

(2)锐角的三角函数值与角的两边的长短无关.

(3)当锐角A所在的三角形不是直角三角形时，可适当地作辅助线，构造出直角三角形,

从而求出sinA、cosA>tanA.

.考点4特殊角的三角函数值

特殊角的三角函数值主要是指3045°,60°这三个角的三角函数值，如下表:

函数60°

锐角30°45°

j_V2V3

正弦sina

2TT

V3V2j_

余弦cosa

~T~T2

V3

正切tanaiV3

T

知识拓展：（1）结合图形：如图及其中的数据和三角函数的定义来计算特殊角的三角函数

值，从而记住结果.

（2）对于其他相关角的三角函数值，往往用定义求解，如15°，22.5°,75°,36°等.

（3）等边三角形，等腰直角三角形，及与3045,6°角相联系的其他三角形问题，常常

要用特殊角的三角函数值解答.

:四、例题精析'

类型一当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有

唯一确定得值

如图，点A为Na边上的任意一点，作ACLBC于点C,CD_LAB于点D,下列用线段比表示

cosa的值，错误的是（）

CD

D.AC

【解析】解:VAC±BC,CD1AB,

Za+ZBCD=ZACD+ZBCD,

AZa=ZACD,

BDBCDC

cosa=cosZACD=BC=AB=AC,

只有选项c错误，符合题意.

故选：C.

【总结与反思】利用垂直的定义以及互余的定义得出Na=/ACD,进而利用锐角三角函数

关系得出答案.

类型二正弦、余弦和正切的定义

在Rtz^ABC中，ZC=90°,若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（）

1返

A.3B.3C.4D.272

【解析】解：设BC=x,则AB=3x,

由勾股定理得，AC=2A/1X,

AC2&X

tanB=BC=x=2**/^,

故选：D.

【总结与反思】设BC=x,则AB=3x,由勾股定理求出AC,根据三角函数的概念求出tanB.

类型三锐角三角函数的定义

如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是（)

A.sinA=13B.cosA=13C.tanA=12D.tanB=5

【解析】解：VZACB=90°,AB=13,BC=12,

2222

...ACJAB-BCJ13-12=5,

BC12

A、sinA=AB=13,故本选项正确；

AC5

B、COSA=AB=13,故本选项错误.

BC12

C、tanA=AC=5,故本选项错误；

AC5

D、tanB=BC=12,故本选项错误；

故选A.

【总结与反思】先利用勾股定理求出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别

进行计算，再利用排除法求解即可.

类型四特殊角的三角函数值

例题4

在4ABC中，若角A,B满足|cosA-2|+（1-tanB）2=0,则NC的大小是（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

【解析】解：由题意得，cosA=2,tanB=l,

则/A=30°,/B=45°,

则/C=180°-30°-45°=105°.

故选D.

2/3

【总结与反思】根据非负数的性质得出cosA=2,tanB=l,求出NA和NB的度数，继而可

求得/C的度数.

1.三角函数sin30°、cosl6°、cos43°之间的大小关系是（）

A.cos43°>cosl60>sin30°B.cosl6°>sin300>cos430

C.cos16°>cos43°>sin30°D.cos43°>sin300>cosl60

2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,3）,那么cosa的值是（）

2A2A

A.4B.3C.5D.5

3.如图，在aABC中，ADXBC,垂足为点D,若AC=6J2ZC=45°,tanZABC=3,则BD等

于（）

A

4.在AABC中，ZC=90°，AC=4,BC=2,求NB的余弦值.

答案与解析

1.【答案】C.

【解析】解：•.,sin30°=cos60°,

又16°<43°<60°,余弦值随着角的增大而减小，

cos16°>cos43°>sin30°.

故选：C.

2.【答案】D.

-----------_4

【解析】由勾股定理得0A=432+42=5,所以cosa=E".故选D.

3.【答案】A.

【解析】解：VAC=6V2,ZC=45°,

返

.•.AD=AC»sin45°=672X2=6,

tan/ABC=3,

AD

?.BD=3,

AD

.\BD=3=2,

故选：A.

4.【答案】5.

【解析】解：如图,

在RtZkABC中,：BC=2、AC=4,

AB=VAC2+BC2=V22+42=2V5,

BC2V5

则cosB=瓦=2旄=T.

1.a为锐角，若sina+cosa=V2,贝ijsina-cosa的值为()

1工返

A.2B.±2c.2D.0

1

2.已知锐角a满足cosa=2,则锐角a的度数是度.

3.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB:AD=2:3,那么

tanZEFC值是.

4.如图，AB为。。的直径，弦CDJ_AB于点H,过点B作。。的切线与AD的延长线交于F.

(1)求证:ZABC=ZF

3

(2)若sinO?,DF=6,求。0的半径.

答案与解析

1.【答案】D.

【解析】解：Vsina+cosa=y/"29

(sina+cosa)2=2,

即sin2a+cos2a+2sinacosa=2.

又,•'sin2a+cos2a=1,

.*.2sinacosa=1.

(sina-cosa)-sin2a+cos'a-2sinacosa=1-2sinacosa=1-1=0.

Asina-cosa=0.故选：D.

2.【答案】60.

1

【解析】解：由锐角。满足cosa=5,则锐角。的度数是60度，故答案为：60.

V5

3.【答案】5.

【解析】VAB：AD=2：3,

.•.设AB=2k,AD=3k,

.•.AF=AD=3k=BC,CD=AB=2k,

VZB=90°,

...BF=-A存=45k,

.\CF=BC-BF=(3-5k,

VEF=DE,DE+CE=CD

r.EF=2k-CE,

,.(ZC=90°,

EF2=CF2+CE2

即：(2k-CE)2=(3-^5)2k2+CE2,

3A/5-5,

-------------k

；.CE=2,

CE_y[5

：.tanZEFC=CF2.

4.【答案】(1)；BF为。0的切线，.•.ABLBF于点B.

CD±AB,AZABF=ZAHD=90°.

.♦.CD〃BF.AZADC=ZF.

XVZABC=ZADC,/ABC=/F.

(2)如图，连接BD.

；AB为。0的直径，ZADB=90°.

由(1)ZABF=90°,AZA=ZDBF.

又：NA=/C,.\ZC=ZDBF.

3

sinC=sin/DBF=-

在Rt△DBF中，5,DF=6,；.BD=8.

.八.“3i4020

sinC=sinA=—AB=——

在Rt/XABD中，5,3.二。。的半径为3.

A

【解析】(1)一方面由切线的性质和平行的性质得到/ADC=NF四边形2另一方面由圆周

角定理得/ABC=/ADC,从而证得NABC=/F.

(2)连接BD,根据直径所对的圆周角为直角得到NADB=90°,根据切线的性质得到N

3

sinC=sinNDBF=-

ABF=90°,利用锐角三角函数定义，在RtADBF中，由5,DF=6求得

348=竺

sinC=sinA=一

BD=8；在Rtz^ABD中，由5求得3,即可得到。。的半径.

1.若锐角x满足tan'x-(A/3+1)tanx+V3=0,则x=

_4

2.在RtZXABC中，ZACB=90°，AC=3,tanB=3,求AB的值.

3.计算

亚sin450+V3tan300

(I)cos60°+2

(2)vsin2600-2sin600+1-11-tan60°|

答案与解析

1.【答案】45°或600.

【解析】解：Vtan2x-(Vs+l)tanx+V3=0,

(tanx-1)(tanx-V3)=0,

tanx=1或F,

当tanx=l时，x=45°；

当tanxu1'/^时，x=60°.

故x=45°或60°.

15

2.【答案】4.

_4

【解析】解：在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=3,tanB=3,

AC

tanB=BC,

3

ACT_9

BC=tanB=3=4,

贝ijABNACBCVT.

工返返立

【解析】解：（1）原式=彳+万x-r+加x-T

=2+2+1

六、课堂小结

1.知识结构及要点小结

锐角三角函数：

①锐角三角函数的定义：锐角A的正弦，余弦，正切都叫NA的锐角三角函数.

②特殊角的三角函数值

③同角，互为余角的三角函数关系；sin2?l+cos2B=l

sin(90°-ZA)=cosA,cos(90-ZA)=sinA

tan(90—ZA)=1

④锐角三角函数值的变化情况及取值范围：正弦(正切)值随角度增大而增大，余弦值随

角度增大而减小

0<sinA<l,0<cosA<l,tanA>0(0°<a<90)

2.解题方法及技巧小结

(1)当锐角A所在的三角形不是直角三角形时，可适当地作辅助线，转化为直角三角

形，从而求出该锐角的三角函数值

(2)化简含有三角函数的绝对值，要根据三角函数的增减性来化简.

,七、课后作业

1.如图，AABC的顶点是正方形网格的格点，则tanA的值为

3,

2.在△ABC中，/C=90°,COSA=5,则tanA等于

3.如图，△ABC内接于。0,AD为。。的直径，交BC于点E,若DE=2,0E=3,则tanLtanB=

()

A.2B.3C.4D.5

1

4.计算：2cos45°-tan60°+sin30°-|-2|.

答案与解析

1.【答案】

【解析】解：连接CD.贝l」CD=&,AD=2A/2,

CDV21_

贝ijtanA=AD=2=2.

_4

2.【答案】3".

3,

【解析】解：,；cosA=5知，设b=3x,贝!|c=5x,根据a'+bJc*得a=4x.

a4x4

tanA=b=3x=3.

3.【答案】C.

【解析】解：连接BD、CD,由圆周角定理可知NB=/ADC,ZC=ZADB,

AABE^ACDE,AACE^ABDE,

AB_BEAEAC_CEAE

.-.CD^DE=CE,BD^DE=BE,

由AD为直径可知NDBA=/DCA=90°,

VDE=2,0E=3,

.*.A0=0D=0E+ED=5,AE=8,

ABrAC^BErCEABpACAEpCEAE_8

tanC*tanB=tanZADB,tanZADC=BDCDDEDE=CDBD=CEDE=DE=2=4.

4.【答案】V2-V3.

返11

【解析】解：原式=2*三-遮+5-5

=V2-V3.

_4

1.△ABC中，ZC=90°,tanA=3,则sinA+cosA二

2.如图，在Rt^ABC中，ZA=90°,AD1BC,垂足为D.给出下列四个结论：①sina=sinB；

②sinB=sinC；③sinB=cosC；④sina=cosB.其中正确的结论有.

A

3.计算：sin30°-2cos450+3tanJ600.

4.如图，在四边形ABCD中，ZB=ZD=90°,ZC=60°，BC=4,CD=3,求AB的长.

答案与解析

7_

1.【答案】亏.

【解析】解：如图

B

C------------------Af

BC_4

VtanA=AC=3,

・,•设AB=5x,则BC=4x,AC=3x,

BCAC4x1

则有：sinA+cosA=AB+AB=5x+5x=5,

7_

故答案为：5.

2.【答案】①②③④.

【解析】解：・・・NA=90°,AD±BC,

・・・NQ+NB=90°,NB+NB=90°,NB+NC=90°,

AZa=ZB,Z0=ZC,

Asina=sinB,故①正确;

sin3=sinC,故②正确；

ACAC

・・,在RtZ\ABC中sinB=BC,cosC=BC,

sinB=cosC,故③正确；

Vsina=sinB,cosZB=cosC,

Asina=cosZB,故④正确；

故答案为①②③④.

3.【答案】L

1V2V21

【解析】解：原式=2-vx~r+巨x（V3）2

=2-2+3x3

=1.

4.【答案】解：如图，延长BA、CD交于点E.

VZB=90°,ZC=60°,BC=4,

AZE=30°，CE=8,BE=4g.

VCD=3,ADE=5.

3匹=」=迪

cosEcos30°3

273

AAB=BE-AE=4^-3=3

【解析】延长BA、CD交于点E,构成两个含30度角的直角三角形：aEAB,AEAD,应用锐

角三角函数定义和特殊角的三角函数值求解即可.

1.如图，△ABC中AB=AC=4,ZC=72°,D是AB中点，点E在AC上，DE1AB,则cosA的值

娓-1疾一］遥+1遍+1

A.2B.4C.4D.2

2.计算：(sin30°)'X(sin60°-cos45°)-v(l-tan60°

1_

3.如图，在△ABC中，ZC=150q,AC