平面与平面垂直的性质教学课件

第2课时平面与平面垂直的性质

囱阑图圃园图(教师独具内容)

课程标准：1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了

解空间中平面与平面的垂直关系.2.归纳出平面与平面垂直的性质定理.

教学重点：探究、发现平面与平面垂直的性质定理.

教学难点：平面与平面垂直的性质定理、判定定理的综合应用.

核心素养：1.通过从教材的实例中归纳出平面与平面垂直的性质定理的过程

培养数学抽象素养.2.通过利用平面与平面垂直的性质定理解决与垂直相关的问

题提升逻辑推理素养.

'新知［

平面与平面垂直的其他性质与结论

(1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的

直线在第一个平面内.即4Ga,AWb,bLBObUa.

(2)如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平

面.即aj,£,丫〃g丫1a.

(3)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在

另一个平面内.即a±.J3,bl.P=>b//a或8Ua.

(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平

面，即aCB=l,£_!_/今/_L7.

(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即aj,£,aCB=l,£J,/,

Y=m,/_!_a,YAa=〃=>/_!_必,mVn,

'±i评价自测i

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平

面.()

(2)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线

在第一个平面内.()

(3)平面a_L平面£,平面£JL平面丫，则平面a_L平面y.()

2.做一做

⑴在四棱柱W一48《〃中，已知平面/4CCL平面四⑦，且AB=BC,AD

=CD,则劭与CG()

A.平行B.共面

C.垂直D.不垂直

(2)如图所示，平面平面£,an£=/,点平面a,ABL1,垂足

为8,8平面J3,若/8=3,BC=4,贝Ij/C=.

核心素养,形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一平面与平面垂直性质定理的应用

例1如下图所示，尸是四边形力时所在平面外的一点，四边形ABCD是/DAB

=60°且边长为a的菱形.侧面处〃为正三角形，其所在平面垂直于底面/比ZZ

(1)若G为力〃边的中点，求证：8£L平面乃1〃；

(2)求证：ADVPB.

[跟踪训练1]如图，在三棱锥V-ABC^,平面附员L平面ABC,AVAB

为等边三角形，ACJL8C且AC=BC=也,0,"分别为力6,阳的中点.

(1)求证：历〃平面〃T；

(2)求证：平面,欣％」平面勿民

(3)求三棱锥，一力回的体积.

题型二线面垂直与面面垂直的综合应用

例2如图，在四棱锥产一4比7?中，底面48⑦是/“区=60°且边长为a的

菱形，侧面阳〃为正三角形，且其所在平面垂直于底面4Mz

⑴求证：AD工PB；

(2)若后为a'边的中点，则能否在棱上找到一点凡使平面㈤」平面勿？

并证明你的结论.

［跟踪训练2］如图，A,B,C,〃为空间四点，在△/比中，AB=2,AC=

BC=木,等边三角形加应以48为轴转动.

(1)当平面/庞，平面48。时，求必；

(2)当△/如转动时，是否总有48工CD?证明你的结论.

随堂水平一达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO

1.若a_L£,aC8=1,煎PGa,KI,则下列命题中正确的为()

①过点P垂直于1的平面垂直于£；

②过点尸垂直于1的直线垂直于£；

③过点夕垂直于a的直线平行于£；

④过点尸垂直于B的直线在a内.

A.①③B.②④

C.①②④D.①③④

2.已知直线加，〃和平面a,£,若a工B,aCB=m,nUa,要使〃J_

£,则应增加的条件是（）

A.m//n

C.n//a7?±a

3.（多选）如图，四边形/灰力中，AD//BC,AD=AB,N85=45°,ZBAD=

90°,将劭沿物折起，使平面平面纪9,构成几何体力一8徵，则在几

何体口中，下列结论正确的是（）

A.切，平面力劭

B.平面/〃入平面劭。

C.平面平面BDC

D.平面力比比平面4加

4.如图，在三棱锥/一力比'内，侧面用CL底面/8C,且/为C=90°,PA=\,

AB=2,则阳=

如图所示，在三棱锥。一4%中，E,尸分别为4C,旗边的中点.

（1）求证：，印〃平面为8；

（2）若平面为d平面46G且为=尸＜7,N/a‘=90°.求证：平面物U平面

精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级e》学考水平合格练

一、选择题

1.设a,£,7是三个不重合的平面，明〃是两条不重合的直线，下列判

断正确的是（）

A.若a_L£,Bly,则a〃丫B.若aj_£,/〃£,则/zd_a

C.若m//a,n//a,则m//nD.若ml.a,〃_La,则m//n

2.已知平面。，平面£,aCB=n,直线JUa,直线〃u£,则下列说

法正确的个数是（）

①若ILn,则7±£；②若1//n,则1//£；③若mVn,则zz?±a.

A.0B.1

C.2D.3

3.设a—1一£是直二面角，直线au平面a,直线bu平面£,a,b与

直线/都不垂直，那么（）

A.a与6可能垂直，但不可能平行

B.a与，可能垂直，也可能平行

C.a与6不可能垂直，但可能平行

D.a与6不可能垂直，也不可能平行

4.如图，点尸为四边形外一点，平面为〃1平面力比7?,PA=PD,E为

4?的中点，则下列结论不一定成立的是（）

A.PELAC

B.PELBC

C.平面以此平面/阅9

D.平面侬工平面必〃

5.（多选）如图，边长为2a的正三角形4回的中线4/与中位线应相交于点

G.已知△/'或是△/股绕龙旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是（）

A'

A.动点/在平面/8C上的射影在线段［/上

B.三棱锥4'一曲的体积有最大值

C.恒有平面A,册1平面BCED

D.异面直线/'£与劭不可能互相垂直

二、填空题

6.已知直二面角a一1一8,点、ARa,/CL/,点。为垂足，BQB,BDX.1,

点〃为垂足.若AB=2,AC=BD=\,则切的长为.

7.空间四边形力8（小中，平面/皮人平面腼，ABAD=^°,且则

与平面腼所成的角是.

8.如图，平行四边形/及刀中，ABLBD,沿物将△/被折起，使平面/被，

平面功9,连接丸;，则在四面体/一时的四个面中，互相垂直的平面的对数为

三、解答题

9.如图，在三棱锥/一比7?中，ABVAD,BCLBD,平面/皮〃_平面时，点反

F（E与A,〃不重合）分别在棱/〃，物上，且牙文力〃

求证：⑴牙〃平面46。；

（2UD-LAC.

10.如图，四棱锥。一48（小中，△必〃为正三角形，AB//CD,AB=2CD,/BAD

=90°,PALCD,E,尸分别为棱加，力的中点.

p

(1)求证：平面为6,平面切完1；

⑵若4>=2,直线房与平面必。所成的角为45°,求四棱锥尸一力腼的体

,学考水平等级练

1.如图所示，平面a_L平面£,a,BRB,48与两平面a,£所成

JTJI

的角分别为丁和不过46分别作两平面交线的垂线，垂足分别为©,B',则

46

AB：A'B'等于()

B.3:

D.4：3

2.如图所示，已知两个正方形/时和〃◎尸不在同一平面内，MN分别为

AB,加的中点.若CD=2,平面阳线L平面比跖，则线段肺的长等于.

3.在四面体S—/a'中，ABLBC,AB=BC=\j2,SA=SC=2,平面分仪平

面胡C,则该四面体外接球的表面积为一.

4.平面图形/防4GC如图1所示，其中比GC是矩形.BC=2,防=4,AB

=4。=蛆，.现将该平面图形分别沿a1和5G折叠，使△/比与^

45G所在平面都与平面的GC垂直，再分别连接44，48,4C,得到如图2所示

的空间图形，根据此空间图形解答下列问题.

图2

(1)证明：AA.LBC-,

⑵求明的长.

5.在直角梯形/颇中，ZD=ZBAD=9Q°,(如图所示)，

将△4。。沿然折起，将〃翻到D',记平面/缪'为a,平面ABC为£,平面比少

为Y.

(1)若二面角。一/。一£为直二面角，求二面角尸一比、一了的大小;

(2)若二面角。一力。一£为60°,求三棱锥)一力比'的体积.

第2课时平面与平面垂直的性质

囱留医圃园国(教师独具内容)

课程标准：1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了

解空间中平面与平面的垂直关系.2.归纳出平面与平面垂直的性质定理.

教学重点：探究、发现平面与平面垂直的性质定理.

教学难点：平面与平面垂直的性质定理、判定定理的综合应用.

核心素养：1.通过从教材的实例中归纳出平面与平面垂直的性质定理的过程

培养数学抽象素养.2.通过利用平面与平面垂直的性质定理解决与垂直相关的问

题提升逻辑推理素养.

'新知I拓展

平面与平面垂直的其他性质与结论

(1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的

直线在第一个平面内.即aJ_£,a,AGb,b,gbua.

(2)如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平

面.即2，Y"Y：a.

(3)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在

另一个平面内.即aJ_£,bl.£=48〃a或bua.

(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平

面，即aC\B=l,aJ_y,

(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即a±J3,aCB=l,Bly,

£Cy=m,/_La,7na=n〉l工m,/_L〃,11.n.

±1评价自测

1.判一判(正确的打“〃'，错误的打“X”)

(1)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平

面.()

(2)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线

在第一个平面内.()

(3)平面a_L平面£,平面平面Y，则平面平面Y.()

答案⑴X(2)V(3)X

2.做一做

⑴在四棱柱/腼-4AG〃中，已知平面平面4犯9,J3.AB=BC,AD

=CD,贝I」劭与CG()

A.平行B.共面

C.垂直D.不垂直

(2)如图所示，平面平面£,an£=/,点平面a,ABVI,垂足

为B,CW平面£,若［3=3,BC=4,则/仁

答案(l)C(2)5

核心素养.形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一平面与平面垂直性质定理的应用

例1如下图所示，尸是四边形/阅9所在平面外的一点，四边形ABCD是NDAB

=60°且边长为a的菱形.侧面处〃为正三角形，其所在平面垂直于底面48az

(1)若。为A9边的中点，求证：8G_L平面为以

(2)求证：ADA.PB.

［证明］⑴如图，连接尸G,BD,

,/四边形48(小是菱形且N%3=60°,

劭是正三角形，

〈G为/〃的中点，C.BGLAD.

又平面为。_L平面力比Z>,且平面处〃C平面/比。=/〃，BGU平面ABCD,

.•.6G，平面PAD.

⑵由⑴可知况工［〃，•••△力〃为正三角形，G为/〃的中点，C.PGLAD.

又PGCBG=G,平面如G,：.ADVPB.

金版点睛

应用平面与平面垂直的性质定理证明线面垂直应注意的问题

(1)证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用

面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用

面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面垂

直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.

(2)在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，在善于运用转

化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件.

[跟踪训练1]如图，在三棱锥―。中，平面附6,平面/8G△勿8为

等边三角形，AC工BC且AC=BC=/,0,M分别为4B,阳的中点.

(1)求证：历〃平面断汇；

(2)求证：平面肌CL平面幽民

(3)求三棱锥力8。的体积.

解(1)证明："分别为/反内的中点，

二OM//VB.

'：烟平面MOC,OMU平面MOC,

：.历〃平面MOC.

⑵证明："：AC=BC,。为48的中点，J.OCLAB.

又平面勿回L平面/8G且平面勿8n平面0CU平面48C,OCL

平面VAB.

,：OCU平面MOC,；.平面MOC,平面VAB.

(3)在等腰直角中，AC=BC=y/2,

：.AB=2,OC=l,...义山=晋/4=/.

平面VAB,

1

/三校徘C-VAB—~^OC•

••y三校推l'-ABC~V

3-

题型二线面垂直与面面垂直的综合应用

例2如图，在四棱锥夕一/凡力中，底面48口是/%片=60°且边长为a的

菱形，侧面处〃为正三角形，且其所在平面垂直于底面48czz

⑴求证：ADLPB-,

⑵若£为8。边的中点，则能否在棱上找到一点反使平面比7U平面ABCffl

并证明你的结论.

［解］(D证明：设G为49的中点，连接尸G,BG,如图.

•••△乃。为正三角形，

C.PGLAD.

在菱形465中，N的6=60°,G为4〃的中点，：.BGLAD.

又BGCPG=G,：.ADL平面PGB.

♦阳u平面产四，J.ADLPB.

(2)当产为％的中点时，满足平面比反1平面/比。

证明如下：

在△阳。中，FE//PB.

在菱形力腼中，GB//DE.

又甩'U平面DEF,"u平面DEF,EFCDE=E,

加u平面尸6氏G8U平面PGB,PBCGB=B,

二平面比F〃平面PGB.

由(1)得用_L平面ABCD,而尸GU平面PGB,

平面尸6AL平面ABCD,

二平面比FJ_平面ABCD.

金版点睛

(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤

立的，而是相互关联的.它们之间的转化关系如下：

线线垂直I结鬻基髻理vI线面垂直1面面垂直

।主三苦三1线面垂直定义1M叫苦而।性质定理1..叫叫关月J

(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要

抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的

对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一

些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.

［跟踪训练2］如图，A,B,C,〃为空间四点，在△力比'中，AB=2,AC=BC

=y［2,等边三角形4施以48为轴转动.

⑴当平面业厉，平面力8。时，求切；

(2)当△力的转动时，是否总有46,5？证明你的结论.

解⑴如图，取4?的中点色连接DE,CE,因为是等边三角形，所

以DELAB.

当平面助反L平面力比1时，

因为平面/%C平面ABC=AB,

所以DEL平面ABC,又必3平面ABC,

所以DELCE.

由已知可得DE=y^>,EC=1.

在Rt△庞。中，CD=7泥+EC=2.

⑵当△力/力以48为轴转动时，总有四_L6ZZ

证明：①当〃在平面力比'内时，因为4C=a；AD=BD,

所以C,〃都在线段4?的垂直平分线上，即48,3

②当。不在平面/8C内时，由⑴知应：

又因为4C=8G所以48,四

又因为四为相交直线，所以4?，平面切£

由切u平面CDE,得/6，切.

综上所述，总有48,必

随堂水平达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO

1.若a_L£,aCB=l,点、PGa,mi,则下列命题中正确的为（）

①过点尸垂直于/的平面垂直于£;

②过点尸垂直于1的直线垂直于£；

③过点。垂直于a的直线平行于8；

④过点P垂直于J3的直线在a内.

A.①③B.②④

C.①②④D.①③④

答案D

解析当过点尸垂直于/的直线不在r内时，该直线与£不垂直，故②不

正确；①③④正确.

2.已知直线加，〃和平面a,£,若a_L£,acB=m,nU.a,要使

£,则应增加的条件是（）

A.m//nB.nLm

C.n//aD.nA.a

答案B

解析根据平面与平面垂直的性质定理判断.已知直线例〃和平面a,£,

若aJ,6,aCB=m,nUa,应增加条件〃_L加，才能使〃_L£.

3.（多选）如图，四边形4?切中，AD//BC,AD=AB,/8（a=45°,4BAD=

90°,将△/切沿曲折起，使平面力施，平面比〃构成几何体/一比〃则在几

何体4—6口中，下列结论正确的是()

A.切，平面/阿

B.平面49CJ_平面BDC

C.平面力比11.平面BDC

D.平面入平面4%

答案AD

解析由已知得物，CDLBD,又平面/被1平面以N,...切，平面/被

从而CDLAB,故48,平面ADC.又平面/比；.•.平面/比上平面ADC.故选AD.

4.如图，在三棱锥尸一四。内，侧面为C_L底面48C,且/为C=90°,必=1,

AB=2,则母=.

答案乖

解析因为侧面切入底面/8G交线为Z^4(7=90°(即RLL/。，所以

阳，平面/8C,所以为_L/8,所以PB=7P#+A#=71+4=木.

5.如图所示，在三棱锥〃一/8。中，E,F分别为4C,回边的中点.

(1)求证：，斯〃平面切公

(2)若平面为此平面力比；且为=尸。，N/6C=90°.求证：平面两，平面

PBC.

证明⑴•••£,产分别为ZGa1边的中点，.•.牙'〃46.

又网平面用8,18U平面为8,.•.储〃平面必笈

（2）'：PA=PC,6为47的中点，：.PELAC.

又平面为C_L平面ABC,PEu平面PAC,

，胆L平面：.PELBC.

又F为BC的中点、，：.EF〃AB.

,：ZABC=90a,：.ABVBC,：.BCLEF.

•:EFCPE=E,工式工平面网：

,/BCU平面PBC,：.平面PEFL平面PBC.

课后课时精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级，?学考水平合格练

一、选择题

1.设a,£,7是三个不重合的平面，加，〃是两条不重合的直线，下列判

断正确的是（）

A.若£_L则。〃/B.若必〃£,则加，a

C.若m//a,n//a,则m//nD.若ml.a,〃_La,则m//n

答案D

解析对于A,两个平面垂直于同一个平面，这两个平面还可能相交，故A

错误；对于B,直线加还可能在平面。内或平行于平面a或与平面。斜交，故

B错误；对于C,直线例〃还可能相交或异面，故C错误；D是线面垂直的性质

定理，故D正确.

2.已知平面a_L平面£,aC£=〃，直线/ua,直线/u£,则下列说

法正确的个数是（）

①若/_!_〃，则/J_f；②若/〃〃，则/〃£；③若/_!_〃，则

A.0B.1

C.2D.3

答案D

解析由线面平行的判定定理知②正确；由面面垂直的性质定理知①③正确.

3.设a—£是直二面角，直线aU平面a,直线,u平面£,a,力与

直线/都不垂直，那么（）

A.a与8可能垂直，但不可能平行

B.a与8可能垂直，也可能平行

C.a与6不可能垂直，但可能平行

D.a与6不可能垂直，也不可能平行

答案C

解析当a〃1,6〃/时，a〃b.老a:b,可在a上任取点4过点/在。内

作/的垂线c,如图，则。，万，所以c_L8.因为anc=4,所以6J,a,所以6

±7,这与已知矛盾.所以a与6不可能垂直.

4.如图，点。为四边形48⑺外一点,平面为〃1平面ABCD,PA=PD,E为

/〃的中点，则下列结论不一定成立的是（）

A.PELAC

B.PELBC

C.平面阳64平面/腼

D.平面必&L平面PAD

答案D

解析因为必=勿，6为/〃的中点，所以如1/〃又平面/〃，平面力比A

平面为。C平面四切=助，所以阳1平面48口，所以/_L/C,PELBC,所以A,

B结论一定成立.又隹1U平面4%,所以平面加£1平面力比〃所以C结论一定

成立.若平面期&L平面PAD,则4?，平面PBE,必有ADVBE,此关系不一定成

立，故选D.

5.（多选）如图，边长为2a的正三角形/a1的中线/产与中位线应相交于点

G.已知△/'9是劭绕龙旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是（）

A.动点/'在平面力回上的射影在线段46上

B.三棱锥，一圆的体积有最大值

C.恒有平面/'见平面比或

D.异面直线4'6与劭不可能互相垂直

答案ABC

解析在正三角形46。中，力产为中线，龙为中位线，所以DE//BC,

所以圾1©G,DEIGF,又*Gn/=G,所以庞_L平面，GF.又DEu平面BCED,

所以平面/甑L平面8（彻，故C正确.过力'作〃HLAF,垂足为点〃，则力'H

u平面/6人，又平面力'皿平面犯必，平面46FA平面比或=/凡所以"H

_L平面/8C,故A正确.三棱锥/一砌的底面△砌的面积是定值，高是点小

到平面圆的距离.易证当/HL平面曲时距离（即高）最大，三棱锥/'-FED

的体积最大，故B正确.易那BD"EF,所以N//是异面直线/E与BD所成

的角.因为正三角形力a'的边长为2a,所以"E=a,储'=a.而0。'F<AF,所

以小月的长度的取值范围是（0,ma）,当/时，A'彦+即="F,

所以N/'1=90°,此时直线4'6与物互相垂直，故D错误.故选ABC.

二、填空题

6.已知直二面角a—1—B,前AGa,ACVI,点。为垂足，BGB,BDY1,

点〃为垂足.若48=2,AC=BD=1,则①的长为.

答案72

解析如图，连接式:•.•二面角。一/—£为直二面角，ACUa,且/。］_乙

an0=1,：.AC1,£.又BCUB,：.ACLBC,:.BG=AE-AG=3.又BDLCD,：.

7.空间四边形被切中，平面相以平面版，/BAD=90°,且46=力〃，则

/〃与平面8缪所成的角是.

答案45°

解析如图，过点［作4刃_劭于点。，•.•平面/皮江平面比〃平面力劭n平

面BCD=BD,；"0上平面BC。,则N/M即为助与平面8（4所成的角.•:乙BAD=

90°,AB=AD,：.ZADO=45°.与平面戊刀所成的角为45°.

8.如图，平行四边形力腼中，ABLBD,沿初将△/劭折起，使平面/皮

平面比〃连接47,则在四面体/一题的四个面中，互相垂直的平面的对数为

答案

解析因为平面/应LL平面比》,平面/劭n平面3aA加，ABLBD,所以48

，平面BCD.所以平面力"L平面BCD,因为在折叠前ABLBD,AB//CD,所以切，

8〃折叠后仍有缪_L8〃，又因为平面四勿_平面8口，所以⑦!.平面所以平

面/勿1平面/M共3对.

三、解答题

9.如图，在三棱锥力一8缪中，ABVAD,BCLBD,平面/8OL平面8微点反

F（E与A,〃不重合）分别在棱A9,BD上,且皮」力〃

求证：⑴)〃平面/8C；

(^)ADLAC.

证明(1)在平面力劭内，因为EFLAD,

所以EF//AB.

又因为方平面/比；/8U平面力比；

所以〃〃平面4比：

(2)因为平面/应让平面BCD,

平面ABDC平面BCD=BD,

BCU平面BCD,BCLBD,所以比工平面/四

因为4〃u平面/施，所以比

又AB上AD,BCCAB=B,

"u平面48G8CU平面48G

所以平面ABC.

又因为4X平面/8C,所以ADVAC.

10.如图，四棱锥尸一48口中，△为〃为正三角形，AB//CD,AB=2CD,ABAD

=90°,PALCD,E,尸分别为棱加，处的中点.

(1)求证：平面为6,平面环ZC

(2)若4?=2,直线尸C与平面阳〃所成的角为45°,求四棱锥P一/腼的体

积.

解(1)证明：•••△/〃为正三角形，尸为棱刃的中点，.•.为，〃汽

又PA工CD,CDCDF=D,...为_L平面跖定，

又为U平面阳氏,平面用6,平面后叨C

(2)'：AB//CD,PA工CD,：.PALAB.

又AB上AD,PAHAD=A,."3,平面用〃

.•.切上平面PAD,

...NG叨为直线房与平面必〃所成的角，

即N<W=45°,：.CD=PD=AD=2.

又AB=2CD,：.AB=4,

•••S直角梯形腑（CZ?+M=|X2X（2+4）=6.

又48,平面为〃，/8U平面口，

平面为。_L平面ABCD.

过尸作POLAD,垂足为0,则AU平面力比ZZ

•.•△必〃为正三角形，:.PO=*AD=gx2=小,

y四枝锥/」回〃=jxPOXs直角梯形73X6=2^3.

B级«学考水平等级练

1.如图所示，平面平面£,a,BRB,46与两平面aB所成

的角分别为争哈过48分别作两平面交线的垂线,垂足分别为八8,,则

AB：A'B'等于（）

答案A

解析如图，连接您，"B,由已知得，平面B,ZABA'=4-BB'

6

JI、耳、也

_L平面a,ABAB'=1.设48=a,则物'=2a,BB'=2a,在低△物'B，

中，A'B'=|a,：.AB：A'B'=2：1.

R

ZP_____/

2.如图所示，已知两个正方形/腼和〃◎尸不在同一平面内，MN分别为

AB,加的中点.若勿=2,平面4式刃_平面比跖，则线段，胧的长等于.

答案玳

解析取切的中点G,连接,布，阳因为四边形/a〃DCEF为正方形,且边

长为2,所以修工切，如=2,阳=41因为平面48cz小平面〃烟；所以航7，平

面&XF,可得加LAG所以MN=\MG+NG=#.

3.在四面体S一力比'中，ABX.BC,AB=BC=y)2,SA=SC=2,平面S1CL平

面区1G则该四面体外接球的表面积为.

解析因为他L8aAB=BC=R所以力£2,因为弘=S3=2,所以△必。

为等边三角形，又平面弘CL平面以C,取“'的中点〃，则点。是△力优的外心，

连接SD,则57小平面ABC,则球心。在SD上,设四面体S—46。的外接球的半径

为r,则有二十审=1=m，解得「=芈.故该四面体外接球的表面积为牛.

OO

4.平面图形/防4