人教版高中数学《平面向量》全部教案

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第五章平面向量

第一教时

教材：向量

目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已

知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：

一、开场白：课本P93（略）

实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，

问：猫能否追到老鼠？（画图）\

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。AB二、提出课题：平

面向量

1.意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量

注意：1嗷量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大

小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2呱19世纪末到20世纪初，向量就成〃一套优良通性的数学

体系，用以研究空间性质。\/

2.向量的表示方法：B

171何表示法：点一射线（终点）

有向线段一一具有一定方向的线段\A（起点）

有向线段的三要素：起点、方向、长度/।

记作（注意起讫）北

2字母表示法：届"可表示为屋（印刷时用黑体字）C

P95例用1cm表示5nmail（海里）\_______

■A

3.模的概念：向量AB的大小——氏度称为向量的模。

记作：|瓦|模是可以比较大小的

4.两个特殊的向量：

1零向量——长度（模）为0的向量，记作0~。5的方向是任意的。

注意6与0的区别

2学位向量一一长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？

答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

例：AB与B公是否同一向量？

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答：不是同一向量。

例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？

答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

三、向量间的关系：

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：a〃b〃c

规定：6与任一向量平行

2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。/

记作：a=b

规定：0=0

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3.共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，

所以平行向量也叫共线向量。

COBA

OA=aOB=bOC=c

例:(P95)略

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？(11个)

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？(存在)

变式三：与向量共线的向量有哪些？(CB,DO,FE)

四、小结：

五、作业：P96练习习题5.1

第二教时

教材：向量的加法

目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作

几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向

量计算。

过程：

六、复习：向量的定义以及有关概念

强调：f向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。

2°正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何

向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。

七、提出课题：向量是否能进行运算？

5.某人从A到B,再从B按原方向到C,-----------------------------------------

———ABC

则两次的位移和：AB+BC=AC

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6.若上题改为从A到B,再从B按反方向到

则两次的位移和：AB+BC=AC

7.某车从A到B,再从B改变方型C,

则两次的位移和：AB+BC=AC

8.船速为AB,水速为BC,

则两速度和：ABBC=AC

提出课题：向量的加法

三、1.定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）

2.三角形法则：

1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起

2句以推广到n个向量连加

。+—+—

3a0-0a-a

4°不共线向量都可以采用这种法则一一三角形法则

3.例一、已知向量a、b,求作向量a+b

4.加法的交换律和平行四边形法则aB

上题中b+a的结果与a+b是否相同验证结果相同

从而得到：1。向量加法的平行四边形y去啰

20向量加法的交换律：a+b=b+a

9.向量加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

证：如图：使A官a,BC=b,CDc

a

B

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则(a+b)+-c=AC+CD=AD

a+(b+c)=AB+BD=AD

，(a+b)+c=a+(b+c)

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

四、例二(P98—99)略

五、小结：1向量加法的几何法则

2咬换律和结合律

3注意：|%+-b|>ia|+~|b|不一定成立，因为共线向量不然。

六、作业：P99—100练习P102习题5.21—3

第三教时

教材：向量的减法

目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。

过程：

八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法

则向量加法的运算定律：

例：在四边形中，CB--BA'BAC©,//

解：CB痴*8晨一+AD=CD^//

九、提出课题：向量的减法人B

1.用“相反向量”定义向量的减法

10“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作a

2°规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(~a)=a

任一向量与它的相反向量的和是零向量。a+(-a)=0

如果a、b互为相反向量，贝!Ia=-b,b=-a,a+b=0

3°向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。

即：a-b=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2.用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若b+x=a,则x叫做a与b的差，记作ab-

3.求作差向量：已知向量a、b,求作向量

V(a-b)+b=a+(b)+b=a+0=a

作法：在平面内取一点O,ahQ---------a——

作OA=a,AB=b./jZ

贝！IBA=a-bX

即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。

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注意：KAB表示a_b。强调：差向量“箭头”指向被减数

2用"相反向量"定义法作差向量，a_b=a+（.b）

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

----------a-►-----------——4——----------------------►

0--------------A-bBB0-------------------A

十、例题：

例一、（P101例三）已知向量a、b^c、d）求作向量ab、cd。

解：在平面上取一点0,作OA=a,OB=b,OC=c,0D=d,

a

例二、平行四边形中，，用表示向量,

解：由平行四边形法则得:

AC=a+b,DB=AB-AD

变式一当a,b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a|=|b|）

变式二当a,b满足什么条件时，|a+b|=|a_b|?（a,b互相垂直）

变式三a+b与a七可能是相当向量吗？（不可能，对角线方向不同）

H-一、小结：向量减法的定义、作图法|

十二、作业：P102练习

P103习题5.24—8

第四教时

教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课

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目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌

握向量的加法与减法的意义与几何运算。

过程:

十三、复习：

1。向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、

相等向量、共线向量

2询量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律

十四、1.处理《教学与测试》P135-136第64课（略）

2.处理《教学与测试》P137—138第65课

例一、设a表示“向东走3km",b表示“向北走3km”，

则a+b表示向东北走3<2km

解：0B=0A+AB

OB=<32+32=3拒（km）OaA

例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

证：由向量加法法则：口

AB=AO+OB,DC=DO+0C/

由已知：AO=0C,D0=0B

AB=DC即AB与CD平行且相等

AABCD为平行四边形

例三、在正六边形中，若OA=a,OE=b,试用

向量a、b将OB、OC、OD

解：设正六边形中心为P

—+—++—F

贝UOB-OPPB-(0AOE)OA-a+b+a

OC=0P+PC=a+b+a+b

由对称性：OD=b+b+a

3.处理《教学与测试》P139—140第66课（略）

十五、有时间可处理“备用题”：

例一、化简AB+DF'+CD'+BC+FA

解：AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA

士ACGODRFA=ADf)FFA=AFFA±0

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例二、在静水中划船的速度是每分钟40,水流的速度是每分钟20,如果船从

岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进

的方向应该指向何处？

解：如图：船航行的方向是

与河岸垂直方向成30夹角,

即指向河的上游。

十六、作业：上述三课中的练习部分(选)

第五教时

教材：实数与向量的积

目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。

过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、1.引入新课：己知非零向量a作出a+a+aa)=t(--a)+(a)

a.aaa

----►AAA

_OA---------------BC

<-a_a_a一5

<----<---<----

...’N.一M——Q一P

OC=OA+AB+BC=a+a+a=3a

PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)=H3a-

讨论：1。3&与Z方向相同且|3&|=3百|

2。_3或与5方向相反且|-3a|=3|a|

2.从而提出课题：实数与向量的积

实数X与向量6的积，记作：Xa

定义：实数X与向量百的积是一个向量，记作：xa

1Val=RIlaI

2。入>0时入a与z方向相同；入<。时入a与々方向相反；入=。时入云=。

①

3.运算定律：结合律：入(ua)=(Xy)a

②

第一分配律：(x+1i)ax-+Pa

尸a.

第二分配律：X(a-+b)=xa+Ab③

结合律证明:

如果入=0,u=0,a=0至少有一个成立，则①式成立

如果入0,u0,aJ有：xu.)|=|X||ua_|=|x||y||a|

***I(a

1(a|=|xP||a|=lIIMIIa|

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/.|x(ua)|=|(xiT)a|

如果入、u同号，则①式两端向量的方向都与a"同向；

如果A、u异号，则①式两端向量的方向都与a反向。

从而X(iTa)=(入Ga

第一分配律证明：

如果入=0,u=0,-a,=0至少有一个成立，则②式显然成立

-

如果X0Wa

当O,

时

则

号

同

和

X同

人UaU

、-

向.a

，

|(X+M)a|=|X+Ma|=(1入l+IWIa|

I入一+/月入"l+lg=l入||-|+|uII-1=(111+1P|)I-I

aaaaa-aa

,人、口同号工®两边回量方向都与a同向

即：|(X+u)a|=|Xa+ua|

当入、u异号，当人〉口时②两边向量的方向都与xa

同向当入vu时②两边向量的方向都与口a同向

还可证：|(入+N)a|=|入a+ua|

.••②式成立

第二分配律证明：

如果a=0,b=0中至少有一个成立，或入=0,入=1则③式显然成立

当a。.,且入f，入h时

7b工0*0,1

1国人>0且入，时在平面内任取一点O,

—--—►-—►--

作OA=aAB=bOAi=XaAiBi

*_—._-

贝（IOB=a+bOBi=Xa+Xb

由作法知：AB//AiBi看OAB/OA1B1|AB|=A|AIBI|

.PA|

>••1=|At^i|=人工△OABs匕OA1B1

|OA||AB|

.R-

|0B|

因此，0,B,B1在同一直线上，|0Bi|=|入0B|0B1与AOB方向也

相同

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A（a+b）=Aa+Ab

当AvO时可类似证明：入（a+b）=入

/.③式成立

4.例一（见P104）略

三、向量共线的充要条件（向量共线定理）

1.若有向量或（公.。）、b,实数入，使6=入a则由实数与向量积的定义

知：5与6为共线向量

若白与b共线（至6）且|b|：|a]=u,则当W与b同向时b=uW

当三与6反向时6=_u&

从而得：向量b-与非零向量a关线的充要条件是：有且只有一个非零实数

X

使b=入a

2.例二（P104-105略）

三、小结：

四、作业：课本P105练习P107-108习题5.31、2

第六教时

教材：平面向量基本定理

目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；

或一个向量分解为两个向量。

过程：一、复习：1.向量的加法运算（平行四边形法则）。

2.实数与向量的积3.向量共线定理

二、由平行四边形想到：

1.是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？

2.对于平面上两个不共线向量晶，1是不是平面上的所有向量都可以用它们

来表示？

——提出课题：平面向量基本定理

三、新授：1.（P105-106）ei\&是不共线向量，二是平面内任一向量

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0A=6i0M=入10C=3=0M+ON=入1ei+入2©2

OB=02ON=入2e2

得平面向量基本定理：如果缶，豆是同一平面内的两个不共线向量，那么

对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数人“入2使2=储61

A.202

注意几个问题：1。舌、晟必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组

基底

2°这个定理也叫共面向量定理

3。1，入2是被a；£,上布一确定的数量

2.例一(P106例三)已知向量ei,e2求作向量-2.5e1+3e2o

CB

作法：1°取点0,作0A=2.5ei0B=3e：1y

62/A

e[*

匚2°作OACB,0C即为所求上一

例二、(P106例4)如图A■.a.一0.=_,，

CDABADb

用A,b表示MA,MB,筋和记

CJ解：在

AB。。办DJC

AaB

DB=AB—AD=a-b

7771A€^=1(a-+tT)=1-1

2222

~1--1--1a1"~=1Ae-==1a-+1J

bD

MB=-DB=-(a-b)=---MC---b

2222222

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111

MD=—MB=—DB=—aH—b

222

例三、已知口ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,

求证：OA+0B+OC+0D^=46E

证：,..E是对角线AC和BD的交点

・・・AE=EC=GE

BE=ED=-DE

在AOAE中OA+AE=OE

同理：OB+BE=OEOC+CE=OEOD+DE=OE

以上各式相加，得：OA+OB+OC+OD=4OE

例四、(P107例五)如图,一，一不共线，_=t一(t_R)用—,一表示一

OAOBAPABOAOBOP

解：AP=tAB

=OA+t(OB-OA)

=OA+tOB-tOA

=(1+)OA+tOB

四、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表

示为两个不共线向量的线性组合。

五、作业：课本P107练习P108习题5.33-7

第七教时

教材：5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-14467、68课

目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定

理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

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过程：一、复习：1.实数与向量的积(强调：“模”与“方向”两点)

2.三个运算定律(结合律，第一分配律，

第二分配律)

3.向量共线的充要条件

4.平面向量的基本定理(定理的本身及其实

质)

二、处理《教学与测试》

1.当入wz时，验证：A(a+b)=Aa+Xb

9-----

证：当入=0时，左边=0(a+b)=0右边=0?a+0?b=0分配律成立

当人为正整数时，令入=n,则有：

n(a+b)=(a+b)+(a+b)+­,•+(a+b)

=a+a+…+a+b+b+b+…+b=na+nb

即人为正整数时，分配律成立

当为负整数时，令人=『(n为正整数)，有

n(a+b)=n[(b)]=n[(-a)+(b)]=n(-aJ+n(-b)=-na+(-nb)—n

a-nb

分配律仍成立

综上所述，当人为整数时，Ma：b)=Aa+Xb恒晟立。

2.如图，在△ABC中，AB】a：BC=bAD为边BC的中线，G为4

ABC的重心，求向量AG

解一：：A百2a:BC^b则BD三三？b

.2__22.

;AD=AB+BD=a+Tb而AG--AD

23

—•2-1-

・•・AG=-a+-b

33

解二：过G作BC的平行线，交

AB、AC于E、F

△AEF-△ABC

—2—_

AE=-AB=_2a

33

BbDC

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22

一-b

=C=-

EF3

-B3

EG=_EF=_b

23

Jb

•*.AG=AE+EG=__a*+

33

.£中，设对角线AC=S试用自5表示屈，BC

3ABCD=a,

I1-

解~,：AO=Oc*=_a-BO=BD=b

222

1.1-

JAB=AO+OB=ACrBQ=^—a-----b

22

BC=BO+OC=OC+BO=la+J6

22

解二：设AB=x,BC=y

x=j(a_b)

贝ijAB+BC^AC~x+y=a

2

ADAB-BDx-y=b

y=l(a+b)

2

1讪［a；b)

即：AB=(a---b)

22

设后,最是两个不共线向量,

4.已知AB=2ei+ke2,CB=ei+3e2,

CD=2ere2,若三点A,B,D共线，求k的值。

解：BD=CD—CB=(2ei-02)fei+3e2)=ei-4e2

YA,B,D共线AB,BD共线存在X使AB=ABD

j2=九

即入(

2ei+ke2=4e2)(k=-奉.*.k=-8

5.如图，己知梯形ABCD中，AB〃CD且AB=2CD,M,N分别是DC,AB

中点，设AD=a；AB=b,试以口b为基底表示DC,BC,MN

s__1一1

解：DC=/B=b

22

连ND贝！|DC』=ND

N

A

MB

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BC=ND*=AD^-AhT=aT-lb

2

又

—►1-.1-

DM=-BC=b-

24

MN=DN-DM=CB-DM=-BC-DM

-1-1-1--

=（-a+-b）-b=-b-a

244

6.1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳

与水平线分别成30,=60角，问两细绳各受到多大的力？

解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90°

|OP|=1(kg)NPQP=6dNp20P=36

...I.[I.91

OP=|OPicos6b=i一=0.5(kg)

2

一2一。3(kg)

2

即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kg

三、作业：《教学与测试》67、68课练习

第八教时

教材:向量的坐标表示与坐标运算

目的:要求学生理解平面向量的坐标的概念,较熟练地掌握平面向量的坐标运算。

过程:一、复习：1.复习向量相等的概念

向量

OA=BC

2.平面向量的基本定理（基底）a=人

1ei+入2e2

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不

共线向量的线性组合。

二、平面向量的坐标表示

1.在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数（坐标）来表示

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问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？

取x轴、y轴上两个单位向量i,j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj,

如：a=OA=(2,2)i=(1,

b=OB=(2,—1)

c=OC=(1,-5)

j=(0.0)

2.注意：1晦一平面向量的坐标表示是唯一的；

2般A(x1,yi)B(x2,y2)则AB=(X2-XI,yz-yi)

30两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。

3.例一：(P109)略

三、平面向量的坐标运算

.问题：。已知-求一,的坐标

11a(xi,yi)b(X2,工2)a+bb

20a知a(x,y)和实数x,求Aa的坐标

2.解：a+b=(xii+yij)+(x2i+y2j)=(x1+X2)i+(yi+y2)j

即：a-1212

+b=(x+x,y+y)

同理：a_i_2i_2

b=(xx,yy)

3.结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的

坐标。

用减法法则：

AB=OBDA=(X2,2_1,

=(X2-xi,y2-yi)

4.实数与向量积的坐标运算：已知a=(x,y)实数x

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则入&=入(xi+yj)=Xxi+X/j

A.a=(XX,Xy)

结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

四、例二(P110例二)

例三(P111例三)

例四(P145例一)已知三个力H(3,4),同(2,-5),弓(X,y)的合力

Fi+F2+F3=0

求目的坐标。

解:由题设Fi+F2+F3=0得:(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0)

即：产Sx=0x=~5/.H(-5,1)

.干ey=0、y=1

例五、已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(4,3),C(3,4),求点D的坐

标使这四点构成平行四边形四个顶点。

解：当平行四边形为ABCD时，

仿例三得：Di=(2,2)

当平行四边形为ACDB时，

仿例三得：D2=(4,6)

当平行四边形为DACB时，

仿上得：D3

=(-6,0)

五、小结：1.向量的坐标概念

六、作业：P112练习1—3习题5.41—6

第九教时

教材：向量平行的坐标表示

目的：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且

能用它解决向量平行(共线)的有关问题。

过程：一、复习：1.向量的坐标表示(强调基底不共线，《教学与测试》P145例

三)

2.平面向量典坐标运算法则

练习：1.若M(3,-2)N(-5,-1)且MP1MN,求P点的坐标;

2

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解：设P(x,y)则(x-3,y+2)=_(一8,1)=卜4,j_)

22

|X-2L_4，X=_1占4…/13.

1,3..P点坐标为(-1,-)

<y22y22

2.若A(0,1),B(1,2),C(3,4)则同-2前=心3)

3.已知：四点A(5,1),B(3,4),C(1,3),D(5,-3)求证:四边形ABCD是

梯形。

解：=AB=(-2,3)DC=(-4,6)AAB'=2DC'

.,.AB7Dd"一且|AB^||DC|四边形ABCD是梯形

二、1.提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数人使得b=、a,那

么这个充要条件如何用坐标来表示呢？

2.推导：设a=(xi,yi)b=(X2,y2)其中bwa

-X1=九X2

由a=入b(x1,yi)=X(X2,y2)=，、消去入：

yi=到2

xy-xy=0

1221

结论：a〃b(b*0)的充要条件是xiy2・X2yi=0

注意：1°消去入时不能两式相除，・・,yi,y2有可能为0，Vb^d

X2,y2中至少有一个不为0

充要条件不能写成yiy2•/12有可能为0

2°-=-xx

X1X2'

3从而向量共线的充要条件有两种形式：ab(b^-oa=K)

xiy2-X2yi=0

三、应用举例

例一(P111例四)例二(P111例五)

例三若向量a=(-1M与b=(-x,2)共线且方向相同，求x

解：：a与-?

=(-1,x)b=(-x,2)共线.-.(-1)X2-x(-x)=0

.,.x=±-2：g与b方向相同x=V2

例四已知A(-1,-1)B(1,3)C(1,5)D(2,7)向量AB与CD平行吗？直线AB

人教版高中数学全部教案

与平行于直线CD吗？

解:VAB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4)CD=(2-1,7-5)=(1,2)

又：,/2X2-4-1=0AB//CD

又:AC=(1-(-1),5-(-1))=(2,6)AB=(2,4)

2X4-2X6#；.AC与AB不平分

:.A,B,C不共线AB与CD不重合.•.AB〃CD

四、练习：1.已知点A(0,1)B(1,0)C(1,2)D(2,1)求证：AB〃CD

2.证明下列各组点共线：1oA(1,2)B(-3,4)C(2,3.5)

2°P(-1,2)Q(0.5,0)R(5,-6)

3.已知向量云=(-1,3)b=(x,-1)且台〃%求x

五、小结：向量平行的充要条件（坐标表示）

六