高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2.1 等比数列的前n项和公式 教案

第四章数列4.3等比数列4.3.2.1等比数列的前n项和公式一、教学目标1、理解并掌握等比数列的前项和公式及其推到过程；2、会用等比数列的前项和公式解决有关等比数列的简单问题；3、培养学生进一步解方程的能力，以及整体代换思想的应用能力，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.二、教学重点、难点重点：探索并掌握等比数列的前项和公式难点：等比数列前项和公式推导思路的获得，灵活应用等比数列前项公式.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【古代情景】国际象棋起源于古印度，相传国王要重赏国际象棋发明者--他的宰相，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第1格内赏他1粒麦子，第2格内赏他2粒麦子，第3格内赏他4粒麦子……依此类推，每一格上的麦子数都是前一格的2倍，直到第64个格子，国王一听，觉得没有多少，就答应了.【问题一】实际上国王能满足宰相的要求吗？【现代情景】四海商贸公司的叶总找到光华银行的罗总商谈贷款事宜，期限一个月.罗总：在一个月中，我第一天给你一万，以后每天比前一天多给你一万，共三十天.叶总：如何还款？罗总：有一种还款方案，你可以试一试.叶总：请讲.罗总：……叶总：我知道了，就是我第一天还你一分钱，以后每天还的钱是前一天的两倍，三十天还完.罗总：你回去考虑一下，没有问题就签订合同.【问题二】叶总能签下这份合同吗？（二）阅读精要，研讨新知【思考】贷款金额与还款方式产生的金额对等吗？贷款金额：（万元）（已经有等差数列的公式）还款金额：（分）（结果未知）【发现】还款方式构成等比数列，求取等比数列的前项和是关键.【求和方法一】设，则两式相减得，所以（分）（万元）【求和方法二】因为所以（分）（万元）【贷款与还款差额】（万元）很明显：叶总还能签合同吗？？？【问题】能否采用上述方法推导等比数列的前项和公式？【方法一】设等比数列的公比为，则等比数列的前项和满足（写法：模式）（通过乘以公比产生错位）两式相减得（错位相减法）当时，当时，【方法二】设等比数列的公比为，则等比数列的前项和满足所以（结论同上）【方法三】（视学生情况介绍，需要利用等比定理）由等比数列的定义，，根据等比的性质，有，即（结论同上）等比数列的前项和当时，当时，【国王的赏赐笑话】64个棋盘格子的麦粒总数为，如果1000颗麦

粒的质量约为40g，那么以上这些

麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016-

2017

年度世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言，赏赐就是一个笑话.【例题研讨】阅读领悟课本例7、例8、例9（用时约为3-5分钟，教师作出准确的评析.）例7已知数列是等比数列.（1）若，求；（2）若,,求；（3）若，求.解：（1）由已知及公式，

（2）由已知，，因为，所以，所以（3）由已知，，所以.例8已知等比数列

的首项为,前项和为.若.求公比.解：若,则，所以当时，由得，所以例9已知等比数列的公比,前项和为.证明成等比数列，并求这个数列的公比.证明：当时，，所以成等比数列.当时，所以为常数，所以成等比数列，公比为.等比数列的前项和的性质若数列是等比数列，且，则也成等比数列【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1.等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（）。A.29B.31C.33D.36解：由已知，又，所以所以，故选B2.等比数列的前项和为,,则________.

解：方法一：设等比数列的公比为,因为,所以,解得,所以方法二：由等比数列前项和性质，又，所以构成首项为2，公比为2等比数列，所以答案:163.设正项等比数列的前项和为,且,若,则等于()A.63或120 B.256C.120D.63解：由已知，又，解得或又，所以数列递减，所以，又，所以，因此，故选C4.等比数列的公比不为1，若,且对任意的，都有成等差数列，则的前5项和______.

解：由已知，,令可得,即解得或(舍去),则答案：11（四）归纳小结，回顾重点等比数列的前项和当时，当时，若数列是等比