偏微分方程定解问题

第一章偏微分方程定解问题引言：在研究、探索自然科学和工程技术中，经常遇到各种微分方程。如牛顿定律------(1)波动方程------(2)热传导方程------(3)静电场位方程------(4)激波方程------(5)等等。其中(1)为一维常微分方程；(2)----(4)为三维偏微分方程；(5)为一维偏微分方程。这些数学中的微分方程均来自物理问题，有着各自的物理背景，从数量关系上反映着相应的物理规律，称为数学物理方程，简称数理方程。数学物理方程是数学与物理学的交叉分支学科。从物理上讲它是理论物理的基本工具；在数学上属于应用数学的(偏)微分方程分支。本课程主要研究和讨论三类数理方程(2)，(3)，(4)的建立(导出)以及几种常用的典型的求解方法。为了下面研究和讨论的方便，先引入有关微分方程的几个基本概念(术语)。1.常，偏微分方程只含一个自变量，关于该变量的未知函数，以及未知函数对该变量的导数的微分方程为常微分方程，如(1)。含有多个自变量，关于这些变量的未知函数，以及未知函数对这些变量的偏导数的微分方程为偏微分方程，如(2)----(5)。2.阶上述(1)----(5)均可改写成如下形式------(1’)-------(2’)------(3’)------(4’)------(5’)其中，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)或f(x,y,z)。这些方程可归纳为如下形式=0，其中为导数的最高阶数，成为方程的阶。3.线性、非线性偏微分方程只涉及未知函数及其偏导数的线性组合(一次项)的偏微分方程称为线性偏微分方程。如(2)----(4)。含有未知函数及欺骗导数二次或二次以上乘积项的偏微方程称为非线性偏微分方程。如(5)。1.1三个典型方程的导出本课程中研究问题的方式是：先将物理问题装化为数学问题，建立数学模型；再求解数学模型；最后由所得解来分析，解释，揭示实际物理问题出现的结果。：弦的(微小)横振动(1)相关的物理规律牛顿第二定律胡克定律(2)波动方程的导出微元分析法：(x,x+dx)已知外力，均匀线密度为弦内部张力导数的基和意义：，由牛顿第二定律得到如下矢量关系式即由此可得：，即，又由小振动条件知而故最终有一维波动方程为，用同样的方法可导出：二维波动方程(如鼓膜小振动)：，三维波动方程(如声波)：。(3)说明波动方程反映了一类物理系统，如细弦、弹性杆、鼓膜、声音，乃至电磁系统中的电流、电压、电场、磁场随时间演化的共同规律。这些物理系统的状态(方程的解)随时间的变化是可逆的。而在数学上该方程属于一类典型的偏微分方程----双曲型方程。:热传导问题(1)相关的物理规律傅立叶定律(热传导)其中为沿方向的热流强度，k>0，能量转化与守恒定律(热平衡)牛顿冷却定律(热交换)，其中为边界面积，为外界温度。(2)热传导方程的导出微元分析法dV=dxdydz已知dV中dt内产生的热量为g(t,x,y,z)dVdt经面1流入dV的热量满足：，经面2流入dV的热量满足：tt+dt内沿x轴流入dV中的净热量为，同理，tt+dt内沿y轴流入dV中的净热量为，tt+dt内沿z轴流入dV中的净热量为故tt+dt内dV中增加的净热量为这些热量用来使dV内的物质在tt+dt内升温，升温所需的热量为，c为物质的比热，由能量守恒定律知：即化简后可得三维热传导方程其中，。同理可得出二维、一维热传导方程为：二维(如温度分布、变化与高度无关的柱体)；一维(如侧面绝热细杆)。(3)说明热传导方程也反映了一类物理现象的共同特征。只要机理与热传导相似(有源，流等)，如气体扩散、杂质扩散、浓度扩散等，均满足该形式的方程，故热传导方程也常称为扩散方程。这类现象(方程的解)随时间的演化是不可逆的。在数学上，该方程也属于一类典型的偏微分方程----抛物型方程。:(静电)场位方程(1)相关物理规律高斯定律(积分形式)(微分形式)法拉弟定律(积分形式)(微分形式)(2)场位方程的导出若则反之，数学上可以证明：若，则必有标量函数，使。由法拉弟定律可知代入高斯定律有，化简后即得三维场位方程其中，相应的二维和一维方程分别是：和。(3)说明场位方程也反映了一类物理现象，即稳定分布现象的共同特征。这些现象是不随时间变化的(方程的解中不含时间变量)，故也常成为稳定分布方程。例如，热传导问题中可以出现单位时间内某物体内热源产生的热量恰好等于传出体外的热量，此时体内温度的分布便不随时间变化，在热传导方程中有，热传导方程自然转化为温度的稳定分布方程。在数学上，场位方程(有时称为Poisson方程)属于又一类典型的偏微分方程----椭圆型方程。1.2定解问题及其适定性在完成了建立偏微分(数理)方程后，接下来的任务就是求解这些方程。为此还要介绍几个有关微分方程解的基本概念。:解，通解和特解如果将一个函数代入微分方程(取代未知函数)后，原方程变成一个恒等式，该函数就称为原方程的解。微分方程的解可分为两类：通解和特解。例求解，其中。分析：若，则为与无关的任意常数。但当时，虽然由形式上仍可得，但此处的常数C应该仅仅只是与无关。因是两个独立的变量，故一般说来，C可以与有关，即为与无关的任意函数。解：将原方程两边对积分，得。例求解，其中。解：原方程可写为，两边对积分一次得，两边再对积分一次得其中均为任意可微函数。上述两例中方程的解均含有任意函数。例含一个，而方程为1阶；例中含两个，而方程为2阶。这种m阶偏微分方程的含有m个任意函数的解称为偏微分方程的通解。与常微分方程通解相比，它们要复杂得多。这就从数学上表明仅有偏微分方程本身，充其量只能求得其通解，不能确定其中任意函数的具体形式。具体问题的解释不能含有不确定的任意函数或任意常数的，这种解称为方程的特解。以波动方程为例从物理上看，在获得这一方程时仅考虑到任一时刻弦内部及外力对弦内部的作用而未考虑初始时刻弦的运动以及外部环境对弦震动的影响，因此，不管是初始时不动的弦还是初始时运动的弦；不管是无限长的弦还是有限长的弦，它们的运动均满足同一个波动方程。换句话说，这些不同情况的弦的运动都是波动方程的解。因此，仅有一个波动方程最多就能解出反映各种弦运动共同特征的通解，而不能得出反映不同的具有各自特色的弦运动的特解。前述分析表明实际上单靠一些数理方程是不能完全决定一个具体问题的解的，因此，数理方程本身被称为泛定方程。:定解条件前面已说明，要解决一个具体的数理问题，单给泛定方程是不够的。更为严重的是，实际上只有极少数极其简单的泛定方程能求出其通解，求解一般的偏微分方程的通解是极其困难的，也不实用。通常情况是根据方程的物理背景或数学特点求出某些特定形式的特解，这除了需要泛定方程外，还要有具体问题找出相应的定解条件。泛定方程+定解条件=定解问题。常见的定解条件如下初始条件系统的状态随时间的变化是个历史过程。某时刻(t=0或t=)的状态对今后时刻(t>0或t>)的状态是会有影响的，该时刻系统状态的数学表式即为初始条件。到底怎样才算给出了初始条件，以自由弦的波动方程为例来说明。自由弦的波动方程为，关于t的偏导数最高阶数为2。若仅给出，则仅能由方程得出任意x处的值，并不能得出x处的值，故下一时刻()的不知，推求进程无法继续。若同时给出，，则下一时刻()x处的值可知，同时由方程可知的值，因此下一时刻()x处的的值也可知，再由已知的、同理可推出更下一时刻的的值，，等等。这样，任一时刻t>0之u值可求出。由此推广可知，偏微分方程中关于t的最高骗到的最高阶数为m,则出数条件应为：给出之值。给定初始条件求泛定方程特解的问题称为初值问题。注意：初始条件需给出t=0时整个系统的状态而非某一处的状态值。边界条件系统的状态变化除了本身的内在因素，还要受到周围环境的影响。这种影响在数理方程的求解问题中就表现为边界条件。边界条件有多种，常见的有以下三类：第I类边界条件：直接给出系统在边界处的状态值，如；第II类边界条件：给出系统在边界处的偏导数值，如；第III类边界条件：给出系统在边界处的偏导数与状态值的线性组合潪。如。到底采用何种边界条件要由具体问题决定。给出边界条件求泛定方程特解的问题称为边值问题。注意：边界条件需要给出系统边界处所有时刻之值而不是某时刻之值。同时给出初始条件和边界条件求泛定方程特解的问题称为混合问题。3：衔接条件系统由若干个性质或参数不同部分组成时，各部分交界处的物理量要满足一定的数值关系，此即衔接条件。如：固、液体界面处的压强，不同材料连成的弹性杆，不同金属连成的电阻，不同介电常数组成的系统，等等。:定解问题的适定性如果一个定解问题的解存在，唯一且稳定(初始条件有微小变化时，相应的解也只有微小的变化)，就称该定解问题是适定的。今后我们只讨论适定的定解问题，直接承认其适定性而不作证明。1.3三类数理方程常见的定解问题：波动方程的定解问题下面以一维方程为例来说明。因方程中对时间偏导最高阶数为2，故需要两个初始条件：，。三类边界条件如下：I直接给出边界处的振动情况。II给出边界处的外力，相当于给出边界处的偏微商。取微元(),已给出处的负荷外力为，则又，故，即。III边界处除外力，还有弹力，相当于给出边界处的函数值与其偏微商的线性组合值。取微元(),已给出处的负荷外力和弹力，则用与上述II相同的方法，可得移项后即有。注意：无限长弦问题不需要边界条件；半无限长弦问题需要一个(端)边界条件；有限长弦问题需要两个(端)边界条件。:热传导方程的定解问题下面以三为方程为例来说明因方程中对时间偏导最高阶数为1，故需要一个初始条件：。三类边界条件如下：I直接给出边界面上的温度值，其中为体积V的边界。II给出边界面上的沿方向的热流。相当于给出边界面上的偏微商。在边界面运用法拉第热传导定律即有。III给出边界面内外热交换，面外温度为，面内温度为，相当于给出边界面上的函数值与其偏微商的线性组合值。在边界面上运用牛顿热交换定律和傅立叶热传导定律，沿方向在dt内流经dS的净热量为，而热量在界面上是不能积累的，故有：，即：：场位方程的定解问题因方程中不含对时间的偏导数，故问题无初始条件。三类边界条件如下I直接给出边界上的电势值。II由场强与电势的关系式(比较电容器中匀强电场情况)可知。若给出边界面的场强分量值，则相当于给出。III在时间足够长时，热传导体系处于温度稳定分布，有。仿照前述，若体系外界温度为，则有。1.4波动方程的行波解:一维无界齐次波动方程的通解及其处置问题的达朗贝尔公式一维无界齐次波动方程为，可化为，令------(i)，则------(ii)设想作变量变换以化简原方程。此时，有，，------(iii)若能将(ii)化为，则易由积分求出，若再能将(i)化为=，则u也可由积分求出。先看(ii)：比较(iii)，若取且------(iv)则(ii)为=0------(a)，再看(i)：比较(iii)，若取且------(v)则(i)为------(b)，由(i)、(ii)、(a)、(b)知原方程化为，按照例，对其积分两次可得：------(c)、均为可微函数。接着再确定的具体形式，由(iv)得，把(vi)代入(v)得，解得：，代入(vi)有，，反解出：，不妨取，即得：，------(d)式(d)代入式(c)，得到原方程最终解为：，其中f，g均为任意可微函数。显然，这是原波动方程的通解。现讨论其物理意义：如图，以a=1为例，表明为左行波；，表明为右行波。故无限长弦自由横振动的通解为左、右行波解。要具体确定f，g的形式需用初值条件。例无限长弦自由横振动的初值问题解：由上面的讨论知的通解是，。将初始值代入得，即此即达朗贝尔公式。达朗贝尔解的物理意义：反映出初始扰动在体系中的传播过程。(i)初始位移的扰动,仅由x+at，x-at两处的值决定。(ii)初始速度的扰动，由2[x+at，x-at]区间内所有初速值共同决定，是一种积累效应。令，则分别为左、右传播的位移行波，而即为两者的反相叠加。依赖区间，确定区域及影响区域：半直线上的问题——延拓法例一端固定半无界弦的自由振动因为有边界(端点)，故除了初始条件外，还有边界条件，为混合问题。解：因，仅在时有定义，时无意义。故不能直接应用达朗贝尔公式。可通过补充定义范围中的初始条件而将，延拓至，再利用达朗贝尔公式。自然延拓后的初始条件在时有。延拓后按达朗贝尔公式有因独立，故。又由任意，故，均为奇函数。即。此时边界条件与初始条件均能满足，有=。下面讨论此解的物理意义(为方便起见令)当时，，t时刻x处的位移由初位移的左行波与右行波决定。由图可知的左行波总能影响x点