河南省九师联盟2024-2025学年高三上学期开学 数学试题（含解析）

高三数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.展开式中的常数项为（）A. B. C.28 D.844.已知双曲线：（，），若圆：与的渐近线相切，则的离心率为（）A. B.2 C. D.35.已知，，若：与的夹角是钝角，：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在锐角中，记角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为（）A. B. C. D.7.已知圆锥的高与底面半径之和为3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.8.已知函数，若关于的方程有2个不相等的实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数，，满足，，则（）A. B. C. D.10.已知函数，，则（）A.与的图象有相同的对称中心B.与的图象关于轴对称C.与的图象关于轴对称D.的解集为（）11.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为线段上的动点，为底面内的动点，则（）A.若，则B.若，则动点的轨迹长度为C.若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为双曲线的一部分D.若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为椭圆的一部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知样本数据：11，12，14，，18（）的标准差为，则______.13.，，，共4位同学报名参加学校组织的暑期社会实践活动，这次社会实践活动共有：交通安全宣传，防火知识宣传，防水安全教育，养老院志愿者服务，国情宣传教育，养老院志愿者服务，国情宣传教育，年项目，每人报目仅报其中一个项目.记事件为“四名同学所报项目互不相同”，事件为“仅有报了防火知识宣传”，则______.14.如图，已知抛物线：，点是的准线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，点为线段的中点，连接与交于点，在点作的切线与，分别交于点，，，的面积分别记为，，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）某公司在员工招聘面试环节准备了4道面试题，面试者按顺序提问，若每位被面试者答对两道题则通过面试，面试结束；若每位被面试者前三道题均答错，则不通过面试，面试结束。已知李明答对每道题的概率均为，且每道题是否答对相互独立.（1）求李明没通过面试的概率；（2）记李明所答题目的数量为，求的分布列和数学期望.16.（本小题满分15分）已知函数（）在处取得极值.（1）求的单调区间；（2）若恒成立，求整数的最小值.参考数据：，.17.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面四边形为凸四边形，且，，.（1）证明：；（2）已知平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积.18.（本小题满分17分）已知椭圆：，点（）与上的点之间的距离的最大值为6.（1）求点到上的点的距离的最小值；（2）过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为.①证明：直线过定点；②已知为坐标原点，求面积的取值范围.19.（本小题满分17分）若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数.设的递归函数为.（1）若，（），证明：为递减数列；（2）若，且，的前项和记为.①求；②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，.若，求.高三数学参考答案、提示及评分细则1.C由，得，所以，其虚部为.故选C.2.B因为，又，故，易验证0，1，2均是的解，所以，所以.故选B.3.D，令，得，所以常数项为.故选D.4.B法1：设渐近线与的一个切点为，连接，则（如图所示），不妨设第一象限的渐近线的倾斜角为，则，又，所以，所以的斜率为，所以，设的半焦距为，则的离心率.故选B.法2：由题意知的渐近线方程为，的圆心为，半径为2，则，两边平方并化简得，设的半焦距为，则离心率.故选B.5.A与的夹角是钝角且与不能方向相反.由，得，所以.若与共线，有，所以，此时与方向相反，所以与的夹角是钝角的充要条件为且.故是的充分不必要条件.故选A.6.D因为，所以，所以，又为锐角三角形，所以，所以，所以，又，所以为等边三角形，所以的面积为.故选D.7.A设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为（），则圆锥的体积为，所以，易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，此时圆锥的高为1，母线，故圆锥的侧面积.故选A.8.C关于的方程有2个不相等的实数解，即与的图象有2个交点.当，直线与的图象交于点，又当时，，故直线与（）的图象无公共点，故当时，与的图象只有一个交点，不合题意；当，直线与曲线（）相切时，此时与的图象有2个交点，设切点，则，又过点，所以，解得，所以；当时，若，则，由，得，所以当，所以当时，直线与的图象相切，由图得当时，直线与的图象有2个交点.综上所述，实数的取值范围是.故选C.9.BC因为，，所以，，的符号不确定，当时，不成立，故A错误；由，，得，，，所以，当且仅当时取等号，故B，C均正确；由，得，，故，当且仅当，即时等号成立，故D错误.故选BC.10.ABD令（），得（），所以图象的对称中心为（）；令（），得（），所以图象的对称中心为（），所以与的图象有相同的对称中心，故A正确；，所以与的图象关于轴对称，故B正确；，故C不正确；由，得，即，所以，，解得（），故D正确.故选ABD.11.ABC连接，，则，作，交于点，易证，由，得，，所以，，所以，同理，所以，所以，故A正确；由，，所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，，设该圆交棱于点，交棱于点，则，又，为锐角，所以，所以，故所求轨迹长度为，故B正确；如图，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，易得平面的一个法向量为，因为直线与平面所成的角为，所以，所以，化简得，故C正确，D错误.故选ABC.12.20，设，易求该样本平均数，所以该样本的标准差，解得，或（舍），所以.13.由题意知，，所以.14.由题意知：，设，，，由，得，所以，故，所以的方程为，即.又过点，所以，同理，所以直线的方程为，所以直线过点，由消去并化简得，所以，，所以，所以.直线的方程为，所以，即，因为，所以点为的中点，，所以，且为的中位线，所以.15.解：（1）李明没通过面试包含前3题有1题答对，第4题答错和前3题均答错两种情况，故所求概率为.………………4分（2）由题意得的取值为2，3，4，则，，………………8分.………………10分故所求分布列为：234………………11分所以.………………13分16.解：（1）由题意得的定义域为，（），因为在处取得极值，所以，解得，………………2分此时，，………………4分其中恒成立，当时，，当时，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是，并且在处取得极大值.……6分（2）即，令，则，………………7分，令，则，所以在上单调递减，………………8分又，，所以存在唯一的，使得，即，所以.……………10分当时，，，当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，……………12分所以，又，所以，又在上单调递增，故，……………14分又，所以整数的最小值为1.……………15分17.（1）证明：因为，，所以，所以，……………1分同理，又，，平面，所以平面，……………2分因为平面，所以，……………3分连接，因为，，，所以，所以.又，由等腰三角形三线合一，得.……………4分因为，，平面，所以平面，又平面，所以.……………6分（2）解：因为，，所以，所以，又，，故，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，所以，，……………8分由（1）知平分，设，所以.……………9分设平面的法向量为，则即令，得，，所以，设平面的法向量为，则即令，得，，所以，……………11分设平面与平面夹角的大小为，则，两边平方并化简得，解得或.……………12分因为，，所以点到的距离为，因为四边形为凸四边形，所以，所以不合题意，所以，所以，……………13分所以，所以.……………15分18.（1）解：设是椭圆上一点，则，所以，所以（），因为，所以当时，，，解得或（舍去），……………3分所以，所以当时，.……………4分（2）①证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为（），，，，联立直线和的方程，得消去并化简，得，……………5分所以，解得，且.……………6分又点在点的右侧，则，且，，……………7分所以直线的方程为，所以，……………8分因为，所以，所以直线过定点.……………10分②解：由①知直线的方程为，设，则，，将，代入，可得，由，且，得的取值范围为.……………11分消去并化简得，则，，.……………13分，原点到直线的距离为，所以，……………15分令，由的取值范围为，得的取值范围为.又函数在上单调递增，所以，的值域为.所以的取值范围是，所以面积的取值范