第十一章振动和波课件11.5-11.10（波动）

振动和波

第十一章第一节简谐振动第二节简谐振动的合成*第三节阻尼振动受迫振动共振第四节电磁振荡第五节机械波的产生和传播第六节平面简谐波的波动方程第七节惠更斯原理波的叠加和干涉*第八节驻波*第九节多普勒效应第十节平面电磁波

第五节

机械波的产生和传播

一、机械波的形成二、横波与纵波三、波线波面波前四、描述机械波的物理量

介质中一个质点的振动会引起邻近质点的振动，而邻近质点的振动又会引起较远质点的振动。这样，振动就以一定速度在弹性介质中由近及远传播出去，形成波动。一、机械波的形成产生机械波的条件波源：产生机械振动的振源；弹性介质：传播机械振动。需要注意的问题(1)波动是波源的振动状态或波动能量在介质中的传播(2)介质中的质点并不随波前进，只是在各自的平衡位置附近往复运动。一、机械波的形成●xyo分类标准:介质质点的振动方向与波动传播方向的关系1.横波——质点的振动方向与波的传播方向垂直2.纵波纵波的传播表现为:疏密状态沿波传播方向移动二、横波与纵波波峰——波形凸起部分波谷——波形凹下部分——质点的振动方向与波的传播方向平行●3.复杂波特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成1.概念波线：沿波的传播方向画一些带箭头的线，称为波线；波面：不同波线上相位相同的点所连成的曲面,叫波面或同相面、波阵面；波前：在某一时刻，由波源最初振动状态传到的各点所连成的曲面，叫波前。2.特点(1)波线的指向表示波的传播方向(2)同一波面上各点的相位相同(3)各向同性介质中,波线恒与波面垂直三、波线波面波前3.波动的分类平面波柱面波球面波按介质质点的运动方向与波动传播方向来分:横波和纵波

按波的波前来分:平面波、柱面波、球面波按波动的传播来分:行波和驻波按波动的明显的物理性质来分:光波、声波、水波等按传播波动的质点的行为来分:脉冲波、周期波等三、波线波面波前1.波长——反映波动的空间周期性定义：同一波线上两个相邻的、相位差为2p的振动质点之间的距离，或沿波的传播方向，相邻的两个同相质点之间的距离叫波长。说明：波长可形象地想象为一个完整的“波”的长度；xyoλ四、描述机械波的物理量纵波：相邻两个密部或疏部之间的距离横波：相邻两个波峰或波谷之间的距离2.周期和频率——反映波动的时间周期性周期：波传播一个波长所需要时间，用T表示频率：周期的倒数叫作频率，用n表示:说明：由于波源作一次完全振动，波就前进一个波长的距离(1)波的周期等于波源振动的周期；(2)波的周期只与振源有关，而与传播介质无关。四、描述机械波的物理量3.波速u——描述振动状态传播快慢程度的物理量--波动过程中，某一振动状态在单位时间内传播的距离说明：由于振动状态的传播也就是相位的传播，因而这里的波速也称为相速。固体媒质中:G(切变模量)E(弹性模量)K(体变模量)液体和气体中:

理想气体中:横波纵波纵波纵波四、描述机械波的物理量4.三者关系式一个周期中，波前进一个波长，故：小结：频率、周期：决定于波源波速：决定于传输介质波长：由波源和传输介质共同确定四、描述机械波的物理量雨课堂主观题：两个同频率的简谐运动1和2的振动曲线如图（a）所示，求：（1）两简谐运动的运动方程x1和x2；（2）在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；（3）若两简谐运动叠加，求合振动的运动方程．（1）（2）振动2超前振动1的相位为5π／6（3）第六节

平面简谐波的波函数

一、平面简谐波的波函数二、波函数的物理意义一、平面简谐波的波函数简谐波1简谐波2合成复杂波各种不同的简谐波复杂波合成分解500米口径球面射电望远镜

500米口径球面射电望远镜开创了建造巨型望远镜的新模式，建设了反射面相当于30个足球场的射电望远镜，灵敏度达到世界第二大望远镜的2.5倍以上，大幅拓展人类的视野，用于探索宇宙起源和演化。

截至2024年4月17日，500米口径球面射电望远镜（FAST）已发现超900颗新脉冲星，其中至少包括120颗双星脉冲星、170颗毫秒脉冲星、80颗暗弱的偶发脉冲星，这些发现极大拓展了人类观察宇宙视野的极限。1.平面简谐波的概念

波源作简谐振动，波动所到之处的各个质点也在作简谐振动，相应的波称为平面简谐波，或称为简谐波。一、平面简谐波的波函数2.平面简谐波的波函数的形式O点:x轴上任一点P(x)，时间上落后τ=x/u，振动的相位要比O处的相位落后ωτP点:一、平面简谐波的波函数波函数（波动方程）平面简谐波的波函数：若考虑O处质点的振动初相位：－－波数一、平面简谐波的波函数OPx3.波动中质点振动的速度和加速度4.沿X轴负方向传播的平面简谐波的表达式一、平面简谐波的波函数1.x一定，则位移仅是时间的函数，对于x=x1质点的振动方程：2.t一定，则位移仅是坐标的函数，对于t=t1二、波函数的物理意义x处质点的初相位二、波函数的物理意义相位差：同一时刻波线上和处的两个质点的相位差为波程差3.x和t都变化二、波函数的物理意义

y=y(t,x)，波函数表示所有质点的位移随时间变化的整体情况，即描述了波的传播过程，这种波也称为——行波（前进波）。O波的传播是相位的传播，也是振动形式的传播，或者说是整个波形的传播，波速就是相位或波形向前传播的速度。1.图（a）表示t＝0时的简谐波的波形图，波沿x轴正方向传播，图（b）为一质点的振动曲线．则图（a）中所表示的x＝0处振动的初相位与图（b）所表示的振动的初相位分别为（）均为0

ABCD提交单选题1分【例题11-3】平面简谐波，传播速度u，沿X轴正方向传播。已知距原点x0处的P0点处，质点的振动规律为：y=Acosωt

，求波动表达式。

解：在X轴上任取一点P，坐标x，τ=(x-x0)/u振动由P0点传到P点所需时间为：因而P处质点振动的相位比P0处要落后：ωτ所以波动的表达式为：【例题11-4】一平面简谐波的波动表达式为求：（1）该波的波速、波长、周期和振幅；（2）x=10m处质点的振动方程及该质点在t=2s时的振动速度；（3）x=20m，60m两处质点振动的相位差。

（SI）解：（1）将波动表达式写成标准形式振幅A=0.01m；波长λ=20m；周期T=1/5=0.2s；波速u=λ/T=20/0.2=100m·s-1该式对时间求导，得（2）将x=10m代入波动表示，则有将t=2s代入得振动速度v=0。（3）x=20m，60m两处质点振动的相位差为

即这两点的振动状态相同。探寻引力波【例题11-5】某平面简谐波在t=0和t=1s时的波形如图所示，已知波速沿x正向，T>1s。试求：（1）波的周期和角频率；（2）写出该平面简谐波的表达式。解：（1）由图中可以看出振幅和波长分别为在t=0到t=1s时间内，波形向x轴正方向移动了λ/4，故波的周期和波速为T=4s由此可得波的角频率为（2）设原点O处质点的质点方程为在t=0时，O处质点的位移和速度为解得：所以平面简谐波的表达式为

上题，若波沿x负向，其他条件不变，重解，雨课堂投稿。2.当x为某一定值时,波动方程所反映的物理意义是表示出某时刻的波形说明能量的传播表示出x处质点的振动规律表示出各质点振动状态的分布ABCD提交单选题1分

1.一平面简谐波以速度u=20m·s-1沿直线传播，波线上点A的简谐运动方程

yA=3×10-2cos(4πt)；(y,t单位分别为m,s).雨课堂投稿求:(1)以A为坐标原点，写出波动方程；(2)以B为坐标原点，写出波动方程；(3)求传播方向上点C、D的简谐运动方程；(4)分别求出BC，CD

两点间的相位差.ABCD5m9m8m(1)

以A为坐标原点，写出波动方程ABCD5m9m8m答案(2)

以B

为坐标原点，写出波动方程ABCD5m9m8m(3)

写出传播方向上点C、D的运动方程点C的相位比点A超前ABCD5m9m8m点D的相位落后于点A

(4)分别求出BC

，CD

两点间的相位差ABCD5m9m8m

某平面简谐波在t=0和t=1s时的波形如图所示，已知波速沿x负向，T>1s。试求：（1）波的周期和角频率；（2）写出该平面简谐波的表达式。雨课堂投稿雨课堂投稿

2.图示为平面简谐波在t＝0时的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时图中质点P的运动方向向上．求：（1）该波的波动方程；（2）在距原点O为7.5m处质点的运动方程与t＝0时该点的振动速度．

分析（1）从波形曲线图获取波的特征量，从而写出波动方程是建立波动方程的又一途径．具体步骤为：1.从波形图得出波长λ、振幅A和波速u＝λν；2.根据点P的运动趋势来判断波的传播方向，从而可确定原点处质点的运动趋向，并利用旋转矢量法确定其初相φ0．（2）在波动方程确定后，即可得到波线上距原点O为x处的运动方程y＝y（t），及该质点的振动速度＝dy/dt．

解（1）从图中得知，波的振幅A＝0.10m，波长λ＝20.0m，则波速u＝λν＝5.0×103ｍ·ｓ-1．根据t＝0时点P向上运动，可知波沿Ox轴负向传播，并判定此时位于原点处的质点将沿Oy轴负方向运动．利用旋转矢量法可得其初相φ0＝π/3．故波动方程为

（2）距原点O为x＝7.5ｍ处质点的运动方程为

t＝0时该点的振动速度为作业：11-1011-11第六节

惠更斯原理波的叠加和干涉

一、惠更斯原理波的衍射二、波的叠加和干涉惠更斯：(ChristianHaygens，1629—1695)

荷兰物理学家、数学家、天文学家。1629年出生于海牙。1655年获得法学博士学位。1663年成为伦敦皇家学会的第一位外国会员。第七节惠更斯原理波的叠加和干涉①建立了光的波动学说，打破了当时流行的光的微粒学说，提出了光波面在媒体中传播的惠更斯原理。②1673年他解决了物理摆的摆动中心问题，测定了重力加速度的值，改进了摆钟，得出了离心力公式，还发明了测微计。③他发现了双折射光束的偏振性，并用波动观点作了解释。④在天文学方面，他供助自己设计和制造的望远镜于1665年，发现了土星卫星----土卫六，且观察到了土星环。他的重要贡献有：1.惠更斯原理

介质中波动传播到的各点都可看作是发射球面子波的波源；而在其后的任意时刻，这些子波的包络面就是新的波面。一、惠更斯原理波的衍射用惠更斯原理来解释波动的传播方向平面波S1S2u△t一、惠更斯原理波的衍射R1oS1S2R2球面波一、惠更斯原理波的衍射

波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘继续前进的现象。用惠更斯原理解释波的衍射现象：靠近狭缝边缘处，波面弯曲，波线改变了原来的方向，即绕过了障碍物继续前进AB2.波的衍射一、惠更斯原理波的衍射

几列波在同一介质中传播时，无论是否相遇,它们将各自保持其原有的特性（频率、波长、振动方向等）不变，并按照它们原来的方向继续传播下去，好象其它波不存在一样；

在相遇区域内，任一点的振动均为各列波单独存在时在该点所引起的振动的合成。1.波的叠加原理说明：(1)此原理包含了波的独立传播性与可叠加性两方面的性质；(2)只有在波的强度不太大时，描述波动过程的微分方程是线性的，此原理才是正确的。二、波的叠加和干涉二、波的叠加和干涉

振动方向相同、频率相同、相位相同或相位差恒定的两列波，在空间相遇时，叠加的结果是使空间某些点的振动始终加强，另外某些点的振动始终减弱，形成一种稳定的强弱分布，这种现象称为波的干涉现象。相干波：能够产生干涉的两列波；相干波源：相干波的波源；相干条件：满足相干波的三个条件2.波的干涉振动方向相同频率相同相位相同或相位差恒定二、波的叠加和干涉最强最强最强最弱最弱二、波的叠加和干涉相干波源的获得分波振面：S为波源前的一个障碍物上的一个小孔，S1和S2是在波前进路程中的另外一个障碍物上的两个小孔，且SS1=SS2。根据惠更斯原理，S、S1、S2都是独立的波源，S1和S2发出的波为相干波。二、波的叠加和干涉干涉图样的形成考虑两相干波源，振动表达式为：传播到P点引起的振动为：在P

点的振动为同方向、同频率振动的合成。二、波的叠加和干涉在P点的合成振动为：其中：

对空间不同的位置，都有恒定的相位差，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。干涉加强条件：干涉减弱条件：当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：干涉加强条件：干涉减弱条件：作业：11-13雨课堂主观题：

一简谐波，振动周期T=2s，波长λ=20m，振幅A=0.1m.当t=0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。若坐标原点和波源重合，且波沿Ox轴正方向传播，求:(1)此波的表达式；(2)t1=1.0s时，x1=5m处质点的位移；(3)t1=1.5s时，x1=10m处质点振动速度。（1）（2）0（3）-0.314m/s驻波——由两列振幅相同的相干波沿同一直线相向传播时叠加所形成的一种波形不随时间变化的波。沿x轴正、负方向传播的波动方程分别表示为：*第八节驻波一、驻波的产生二、驻波的波动方程：

波腹的位置：波腹——振幅最大的各点。x=±kλ/2，k=0，1，2，…波节——振幅为零，即静止不动的位置（各点）。

波节的位置：x=±（2k+1）λ/4，k=0，1，2，…1、相邻两波节（腹）之间的距离均为半个波长，而波节与相邻波腹之间的距离为四分之一个波长。三、驻波的特征2、在某一时刻，波节两侧的点的振动相位相反；在两波节之间的点却有相同相位，即它们同时到达最大位移，又同时到达平衡点。3、两列波叠加波形的波腹和波节的位置不变。4、驻波中没有能量的定向传播。驻波通常是由前进波和反射波干涉形成的。波密介质：ρu较大的介质。波密介质：ρu较小的介质。

当波从波疏介质传播到波密介质而在分界面处反射时，反射点将形成波节；反之，将形成波腹。

在两种介质的分界面处若形成波节，说明入射波与反射波在分界面处的相位相反，相当于入射波与反射波在反射点存在着半个波长的波程差，这种现象叫做“半波损失”。多普勒效应——由于波源或观察者发生相对运动而使观测到频率发生变化的形象，称为多普勒效应。这是奥地利物理学家多普勒在1842年发现的。*第九节多普勒效应

假定波源与观察者在同一条直线上，观察者相对于介质的运动速度为ν0，波源相对于介质的运动速度为νs，声波在介质中的传播速度为u，波源的频率为ν，问观察者接收到的频率为多少？下面分三种情况来讨论。一、源S相对于介质静止，而观察者O以速度ν0相对于介质运动如图11-9-1所示，图中两相邻波面之间的距离为一个波长。当观察者O向着波源运动时，在单位时间内，原来处在观察者O处的波面向右传播了u的距离，同时O向左移动了ν0的距离，这相对于波通过观察者O的总的距离为u+ν0（相当于波以速度u+ν0通过观察者）。因此在单位时间内通过观察者的完整波的个数为：

或

可见观察者接收的频率升高了，为原来频率的(1+ν0/u)倍。当观察者O以速度ν0背着波源运动时，可以得到同样的结论，只是ν0为负值。显然，O处观察者接收的频率降低了。二、观察者O相对于介质静止，而波源S以速度νs相对于介质运动

如图11-9-2所示，设波源向着观察者O运动。因为波在介质中的传播速度与波源的运动无关，振动一旦从波源发出，它就在介质中以球面波的形式向四周传播，球心就在发生该振动时波源所在的位置。经过时间T，波源向前移动了一段距离νsT，显然下一个波面的球心向右移动了νsT距离。以后每个波面的球心都向右移动了νsT的距离，使得依次发出的波面都向右挤紧了，这就相对于通过观察者所在处的波的波长比原来缩短了νsT，即波长变为：因此在单位时间内通过观察者的完整波的个数为或

可见观察者接收的频率升高了，为原来频率的u/(u-νs)倍。当波源S以速度νs背着观察者运动时，可以得到同样的结论，只是νs为负值。显然，O处观察者接收的频率降低了。三、波源S和观察者O同时相对于介质运动一个是观察者O的移动，使波在单位时间内通过观察者O的总距离变为u+c，所以观察者O接收到的频率为根据以上的讨论可知，改变频率的因素有两个：一个是波源S的移动使波长变为ν0：观察者向着波源运动时为正，观察者背着波源运动时为负；νs：波源向着观察者运动时为正，波源背着观察者运动时为负。所以，波源与观察者相互接近时，就会产生频率升高的多普勒效应；波源与观察者