2.3二次函数与一元二次方程不等式（导学案）

2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》导学案（解析版）（日期：2024年9月课时：2课时第4周）一.学习目标1.了解一元二次不等式的概念（数学抽象）；2.认识与理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系（数学抽象）；3.深刻掌握一元二次不等式的图像解法（数学运算、直观想象）.二.学习过程（导学、自学）（一）复习旧知——一元二次方程与二次函数1.请各位同学分别用公式法或十字相乘法求解下列一元二次方程：十字相乘法①竖分两项交叉乘;十字相乘法①竖分两项交叉乘;解法一（十字相乘法）：x十字相乘法②横写式子不能乱.十字相乘法②横写式子不能乱.∴原方程可化为（∴满足x-2=0∴x用公式法求解一元二次方程用公式法求解一元二次方程a①判别式∆=②求根公式x=A.当∆>0时，原一元二次方程有两个不相等的实数根；B.当∆=0时，原一元二次方程有两个相等的实数根（或只有一个实数根）；C.解法二（公式法）：∵已知x∴又∵∆∴原一元二次方程有两个不相等的实数根，分别为∴x（2）9解法一（公式法）：∵已知9∴a又∵∆∴原一元二次方程有两个相等的实数根，分别为∴x解法二（完全平方公式法）∵已知9∴3∴∴3x∴即原一元二次方程的实数根为x（3）-解（公式法）：∵已知-即x∴a又∵∆∴原一元二次方程没有实数根2.问题：请各位同学将二次函数y二次函数y=a二次函数y=①化二次项系数为1：用含未知数的项除以二次项系数即可得到括号里面的项，常数项照搬∵已知y∴②配方：利用对消思想，括号内同时加上和减去②配方：利用对消思想，括号内同时加上和减去一次项系数绝对值一半的平方，从而构造出完全平方公式a③整理：去括号，合并同类项，将二次函数解析式化为顶点式③整理：去括号，合并同类项，将二次函数解析式化为顶点式y=a(∴a=-2<0,∴抛物线y且顶点坐标为解(2)一般式转化为交点式：∵已知y令y=0∴利用整体思想则有-2-2x-3验证：10∴满足（−2x−3）(x−5)=0解得x∴抛物线y=-2x2+7x+15与于是可得这个二次函数的交点式为其图像如图所示：3.小结：二次函数y=ax2令令y=0(2)从代数的角度：(2)从代数的角度：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(1)从几何的角度：对于抛物线y=ax2+bx+c（（二）探究新知1——一元二次不等式的概念1.情景为喜迎2022年10月16日22日，即将在北京召开的党的二十大，营造喜庆、隆重、热烈的氛围，某市园林规划局计划在市中心公园一块长为8米,宽为6米的长方形地面上进行“喜迎二十大、花开向未来”主题绿化设计活动.计划四周种草坪,草坪带的宽度相同,中间种植花卉.为了凸显喜庆隆重的氛围,要求花卉的种植面积要超过总面积的一半,此时草坪带宽度的取值范围是多少?2.问题1各位同学，绿化设计简要图纸如下所示，你们能根据设计要求列出不等式，并求出草坪带宽度的取值范围是多少吗?解:由题意设草坪带宽度为x米(0<x<6)(8-2化简得3.问题2（1）不等式x2（2）你们知道这个不等式如何求解吗？相信各位同学通过今天的学习，将能解决这些问题.4.元二次不等式的概念像x2-7x+6>其一般式为其一般式为ax²+注：上面一般式中的“>”也可以换成“<”，“≥”或“≤”.（三）探究新知2——一元二次不等式的解法（互学）一化1.典例讲解：解不等式一化解:原一元二次不等式等价于x∵∆=二解解一元二次方程x2二解x又∵二次项系数a二次函数y=三作图三作图四答由上图可知不等式x四答{x即原不等式的解集为{x2.一元二次不等式的求解方法小结(1)一化：将原不等式化成一般式，即ax²+bx+c(2)二解：判断∆=b2-4(3)三作图:根据二次函数y=ax²+bx+c(a>(4)四答:通常要将不等式的解集用数集或区间来表示.3.实例运用例1看图口答.①不等式x²-2x②不等式x²-2③不等式x²-2三.小组合作、讨论交流(互学)各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：例1.求解下列一元二次不等式的解集：（1）x解：∵已知∴又∵∆∴解一元二次方程xx又∵二次项系数∴可得二次函数y=x^2−5x+6的图像如图所示由图可知原一元二次不等式的解集为{例1（2）9x解：∵已知9∴又∵∆=∴解一元二次方程9x又∵二次项系数a∴可得二次函数y=9如图所示由图可知原一元二次不等式的解集为{例1（3）-x解：原不等式-x∴又∵∆∴一元二次方程x又∵二次项系数∴可得二次函数y由图可知一元二次不等式x2故原一元二次不等式-x2例2.各位同学，通过今天这节课的学习，大家能求解情景问题中列出的一元二次不等式了吗？解:由题意设草坪带宽度为x米(0<x<6)(8-2x化简得∵a∴∆∴解一元二次方程x又∵二次项系数∴可得二次函数y=如图所示由图可知原一元二次不等式的解集为{又∵0<∴要使花卉的种植面积超过总面积的一半,此时草坪带宽度x例3.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y（单位:若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，且由题意可得-原不等式可化为x2∴∵∆∴解一元二次方程x2又∵二次项系数∴可得二次函数y=由图可知一元二次不等式x2{故原一元二次不等式-20{又∵摩托车辆数x∴当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得60000元以上的收益.例4某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位:m)和汽车刹车前的车速v(单位:s在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到1解：由题意可得即原不等式可化为∴∵∆∴解一元二次方程v又∵二次项系数∴可得二次函数y=由图可知一元二次不等式v2{故原一元二次不等式1{又∵车速v>0∴v而79.9<∴这辆汽车刹车前的车速至少为80km四.达标检测（迁移变通、检测实践）1.若关于x的不等式x2-a+1x+A.{a|3<a<4}

B.{a|-2<【答案】D

【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，属于中档题．

根据一元二次不等式的解法，分类讨论进行求解．【解答】

解：由x2-a+1x+a<0可得(x-1)(x-a)<0，且(x-1)(x-a)<0的解集中恰有两个整数．

①当a<1时，不等式(x-1)(x-a)<0的解集为{x|a<x<1}，则-1>2.设a∈R，若关于x的不等式x2-ax+1≥0A.a≤2 B.a≥2 C.a【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围，属于中档题．

根据题意得不等式对应的二次函数fx=x2-【解答】

解：由二次函数fx=x2-ax+1的图象开口向上，

当Δ=0⇒a=±2，满足题意，

当Δ>0f(1)≥0或 f(2)≥03.已知不等式ax2+bx+cA.不等式ax2-bx+c>0的解集是x-4<x<-3

B.不等式cx【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．

因为已知不等式ax2+bx+c>0的解集是x3<x<4，故方程ax2+bx+c=0【解答】

解：因为不等式ax2+bx+c>0的解集是x3<x<4，

故方程ax2+bx+c=0两根分别是3和4，

则-ba=7,ca=12，且a<0，设a=-1，则b=7，c=-12，分别代入ABCD四个选项；

A选项：把a=-1，b=7，c=-12代入不等式ax2-bx+c>0的解集是x|-4<x4.在①一次函数y=ax+b的图象过A(0,3)，B(2,7)两点，②关于x的不等式1<ax+b≤3的解集为{x|3<x≤4}【答案】解：选①：

由题得：b=32a+b=7，解得：a=2，b=3，

将a=2代入不等式整理得：(x-2)(2x+1)>0，解得：x>2或x<-12，

故原不等式的解集为x|x<-12或x>2．

选②：

∵不等式1<ax+b≤3的解集为{x|3<x≤4}，∴3a+b=14a+b=3，解得：a=2，b=-5，

将a【解析】先由所选条件求得a的值，再求解不等式的解集即可．

本题主要考查集合之间的关系及不等式的解法，属于中档题．5.解下列关于x的不等式：(1)(2)(3-x)(2x+1)<1+2【答案】解：(1)不等式|3x-4|>1+2x可化为：

3x-4>1+2x或3x-4<-1-2x，

即x>5或x<35，

∴不等式的解集为{x|x>5或x<35}；

(2)不等式(3-x)(2x+1)<1+2x可化为：

(2x+1)-(3-x)(2x+1)>0，

即(2x+1)(x-2)>0，

解得x>2【解析】本题考查含有