专题24同角三角函数的基本关系7种常见考法归类（65题）

专题24同角三角函数的基本关系7种常见考法归类（65题）考点一已知一个三角函数值求其他三角函数值考点二利用平方关系求参数考点三利用同角三角函数的基本关系化简、求值考点四正、余弦齐次式的计算考点五由条件等式求正、余弦考点六sinθ±cosθ型求值问题考点七三角函数恒等式的证明知识点1：同角三角函数的基本关系关系式文字表述平方关系sin2α＋cos2α＝1同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1商数关系eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切注意以下三点：（1）“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．（2）sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)仅对α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．知识点2：关系式的常用等价变形1、2、解题策略1、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；第二步：依据角的终边所在象限分类讨论；第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。注：(1)若已知sinα＝m，可以先应用公式cosα＝±eq\r(1－sin2α)，求得cosα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先应用公式sinα＝±eq\r(1－cos2α)，求得sinα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(3)若已知tanα＝m，可以应用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝m⇒sinα＝mcosα及sin2α＋cos2α＝1，求得cosα＝±eq\f(1,\r(1＋m2))，sinα＝±eq\f(m,\r(1＋m2))的值．(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号．2、利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法(1)化切为弦，减少函数名称．(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．3、正、余弦齐次式的计算(1)已知tanα＝m，可以求eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的．(2)对于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值．(3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养．4、sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系(1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ，利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”．(2)求sinθ＋cosθ或sinθ－cosθ的值，要注意判断它们的符号．5、三角函数恒等式证明证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或eq\f(左边,右边)＝1(右边≠0)．④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．考点一已知一个三角函数值求其他三角函数值1．（2024·四川·高三统考学业考试）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角三角函数基本关系求解.【详解】因为，所以，故选：C2.（2023·全国·高一课堂例题）已知是第二象限角，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：方法一

∵为第二象限角，∴，∴．方法二∵，∴角终边上一点的坐标为，则．故选：D3．（2024·上海松江·高三校考期中）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数的平方关系和商数关系即可得到答案.【详解】由题意得，则，故选：A.4．（2024·湖北·高二统考学业考试）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用平方关系求余弦值，注意角的范围确定值的符号.【详解】由题设.故选：A5.（2023·全国·高一课堂例题）已知，并且是第四象限角，求，．【答案】，．【详解】由，之间的关系式及第四象限角的余弦得，．6.（2023春·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以；因为，所以，解得；因为，所以，所以.故选：A.7.（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）若是第四象限的角，且，则.【答案】/0.5【详解】因为是第四象限的角，且，所以，所以.故答案为：8．（2024·上海静安·高三上海市市西中学校考开学考试）设为第二象限角，若，则.【答案】/【分析】由同角三角函数的基本关系，列方程组解出，求和即可.【详解】为第二象限角，则，，若，则有，解得，所以.故答案为：.9．（2024·全国·高一随堂练习）（1）已知，在第四象限，求，的值；（2）已知，在第二象限，求，的值；（3）已知，求，的值；（4）已知，求，的值．【答案】见解析【分析】利用同角三角函数的基本关系代值计算即可.【详解】（1），在第四象限，；（2），在第二象限，；（3），，当为第二象限角时，，当为第四象限角时，，（4），当为第一象限角时，，，当为第四象限角时，时，．10.（2023秋·甘肃天水·高一秦安县第一中学校考期末）计算：(1)已知，，求的值.(2)已知，求，的值【答案】(1)；(2)答案见解析.【详解】（1）由，得：，又，所以.（2）因为，所以为第二或第三象限角，又.若为第二象限角，则；若为第三象限角，则.考点二利用平方关系求参数11.（2023·全国·高三专题练习）已知，是关于x的方程的两根，则实数．【答案】【详解】由，是关于的方程的两根，所以，由，可得，则，经检验符合题意，所以实数的值为.故答案为：12.（2023春·上海·高一上海市敬业中学校考期中）若及是关于x的方程的两个实根，则实数k的值为【答案】【详解】因为及是关于x的方程的两个实根，则，，因为且，所以，即，解得：或，因为方程有两个实根，所以，解得：或，所以，故答案为：.13.【多选】（2023秋·河南周口·高一统考期末）已知，，且，下面选项正确的是（

）A． B．或C． D．【答案】ACD【详解】由，，可得，，，解得或.，，经检验，当时，，不合题意，，此时，，.故A项正确，B项错误，CD项正确.故选：ACD.14.（2023·全国·高三专题练习）已知是第四象限角，则．【答案】【详解】由，解得或8，是第四象限角，，.故答案为：.15.（2023秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知，，且为第二象限角，则.【答案】/【详解】为第二象限角，，解得：或；，即，，解得：（舍）或，，，.故答案为：.16.（2023·高一课时练习）已知，且是第二象限角，求实数a的值.【答案】【详解】因为是第二象限角，所以，解得，由得到，解得或（舍）.17.（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为，此时．【答案】49/0.4【详解】由题意得，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：49，考点三利用同角三角函数的基本关系化简求值18.（2023秋·高一课时练习）当x为第二象限角时，（

）A．1 B．0C．2 D．－2【答案】C【详解】因为是第二象限角，所以，故选：C19．（2024·江苏·高一专题练习）化简：(1)－；(2)；(3)．【答案】(1)(2)1(3)．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系进行化简；（2）利用完全平方公式和同角三角函数基本关系进行求解；（3）利用同角三角函数的基本关系进行化简.【详解】（1）原式＝.（2）原式＝（3）原式＝20．（2024·全国·高一随堂练习）化简与求值(1)；(2)．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根据及求解.（2）根据求解.【详解】（1）.（2）.21．（2024·全国·高一随堂练习）化简：．【答案】答案见详解【分析】先根据式子有意义求的范围，然后利用平方关系化简目标式，再根据进行分类去绝对值，利用辅助角公式化简.【详解】由题知，，得且，当时，，原式；当时，，，原式；当的终边不在坐标轴上时，有，所以，原式当为第一象限角时，原式；当为第二象限角时，原式；当为第三象限角时，原式；当为第四象限角时，原式.综上，当时，原式；当为第二象限角时，原式；当为第三象限角时，原式；当为第四象限角时，原式.22．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若，则α不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函数的平方关系及三角函数在各象限的符号即可求解.【详解】显然，因此，从而，对于A，因为为第四象限角，所以，A可能；对于B，因为为第二象限角，所以，B不可能；对于C，因为为第三象限角，所以，C可能；对于D，因为为第四象限角，所以，D可能.故选：B23．（2024·全国·高一课堂例题）化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式进行化简，从而求得正确答案.（2）根据同角三角函数的基本关系式、三角函数的符号等知识进行化简，从而求得正确答案.【详解】（1）原式．（2）因为，所以．原式．24.（2023春·辽宁丹东·高一统考期末）已知，且是第三象限的角，则．【答案】【详解】因为，则，解得，又因为，且是第三象限的角，则，所以.故答案为：.考点四正、余弦齐次式的计算25．（2024·山东青岛·高二校考期中）已知，则.【答案】【分析】利用弦化切求解即可.【详解】由，得，所以.故答案为：26.（2023秋·广西·高二广西大学附属中学校考开学考试）已知，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【详解】因为，所以.故选：C.27．（2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）已知，则.【答案】/【分析】由，再将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因为，所以.故答案为：28．（2024·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，则.【答案】【分析】在代数式上除以，再利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为，则.故答案为：.29.（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，可得，可得，所以.故选：A.30．（2024·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）若，那么．【答案】1【分析】弦化切即可.【详解】故答案为：131．（2024·全国·高三专题练习）如果，那么，，．【答案】1/0.6/0.6【分析】空一：由齐次式将弦化切求值；空二、三：由正余弦的平方关系，将已知式中弦化切求值.【详解】由，得，，．故答案为：1，，32．（2024·广东广州·高三广州市第十六中学校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将变形为，结合同角的三角函数关系化简为，即可求得答案.【详解】由题意知，则，故选：D33.（2024·全国·高一专题练习）已知，求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以原式（2）因为，所以34．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）已知，(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据角的范围确定，即可由一元二次方程求解，（2）（3）根据弦切齐次式即可求解.【详解】（1）由于，所以，又得，解得或（舍去），故（2）（3）35.（2023秋·高一课时练习）若，则.【答案】【详解】，，解得：.故答案为：.36．（2024·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求出，再利用“1”的变换，将所求的式子化为关于的齐次分式，化弦为切，即可求解.【详解】若，则，不合题意，所以，由，可得，解得，所以.故选：C.37．（2024·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知角终边上,且，求的值．【答案】2或0【分析】首先根据正切函数的定义，求，再将关于的齐次分式转化为正切表示，最后代入求值.【详解】由于，故，解得.当时,，当，38.（2023秋·江西·高二宁冈中学校考开学考试）已知，求下列各式的值.(1)；(2).【答案】(1)(2)【详解】（1）由于，所以，所以.（2）.考点五由条件等式求正、余弦39．（2024·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）若，则【答案】【分析】由已知结合，求解、的值，由即可求解.【详解】由可得：，由可得：，解得：或，因为，所以，所以，，，故答案为：.40．（2024·四川南充·高一统考期末）若，则.【答案】【解析】根据同角三角函数关系变形即可得解.【详解】因为，所以，由题：，即，所以.故答案为：【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出的等价形式求解.41.（2023秋·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）设，则．【答案】【详解】因为，显然，则.故答案为：.42.（2023秋·四川眉山·高二校考开学考试）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意，，，整理得，解得（舍去）或．∵，．故选：A43．（2024·高一课时练习）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果.【详解】由得：，，解得：或，又，，即，，.故选：C.44．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设有，结合平方关系可得，再求出目标式的值.【详解】由题设，又，所以，则.故选：C45．（2024·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知，那么的值为（

）A．6 B．4 C．2 D．0【答案】B【分析】根据同角三角函数的平方关系求出，则，代入即可求解.【详解】，则，解得或（舍去），故，.故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，需熟记公式，属于基础题.考点六sinθ±cosθ型求值问题46.（2023·全国·高一课堂例题）已知，求的值．【答案】【详解】因为，两边平方，得，即．将代入上式，得．47.（2023·全国·高一课堂例题）的三个内角为，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以为，，故可得，故，则.故选：D.48.（2024·全国·高一专题练习）若，化简：（）A．B．C．D．【答案】D【解析】且，所以，所以故选：D49.（2023春·贵州遵义·高一统考期中）已知为第四象限角，且，则.【答案】/【详解】因为为第四象限角，则，，则，因为，将代入上式可得，因此，.故答案为：.50．（2024·江苏·高一专题练习）已知（），求和的值．【答案】，.【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合三角函数的符号法则求解即得.【详解】由，得，即，解得，而，则，因此，所以，.51．（2024·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知是第四象限角，且满足，则．【答案】【分析】根据得到，利用三角函数的基本关系式，求得，进而求得，联立方程组，求得的值，即可求解.【详解】由是第四象限角，可得，则，因为，可得，可得，又由，因为，可得，联立方程组，可得，所以.故答案为：.52．（2024·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知，且则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两边平方得到，进而得到，联立求出，得到答案.【详解】由，两边平方得，因为，所以，又，又因为，所以，，得，联立与，求得，故故选：C53.（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）已知，.(1)求的值(2)求【答案】(1)(2)【详解】（1），.（2），，又，；由得：（舍）或，.54．【多选】（2024·山东济南·高一济南三中校考期末）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】AB选项，两边平方得到，再结合得到，，得到AB正确；先求出的平方，结合角的范围求出的值.【详解】AB选项，两边平方得，，即，所以，B正确，因为，所以，故，所以，A正确；CD选项，，因为，，所以，故，C错误，D正确.故选：ABD55．【多选】（2024·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先利用题给条件求得的值，进而得到的范围，的值和的值.【详解】由可得，，则，即解之得或,又，则，故，则选项B判断正确；由，可得为第四象限角，又，则，则选项A判断错误；，则选项C判断错误；，则选项D判断正确.故选：BD56．【多选】（2024·山东德州·高一校考阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对A，由平方法求得的符号，结合角的范围即可判断；对BCD，结合平方关系及角的范围即可求解判断.【详解】对A，，∵，则，∴，∴，A对；对BCD，∵，，联立可解得，，BD对，C错.故选：ABD.57．（2024·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）已知是关于x的方程的两个根，则．【答案】/【分析】根据根与系数关系可以求得，然后利用，求出的值，然后即可求解.【详解】由题意得：，是