北京市门头沟区3月高三年级综合练习数学试卷（理）

北京市门头沟区2019年3月高三年级综合练习数学试卷（理）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）已知集合A={x|x2-2x-3<0}，B={x|y=xA.(-1,3) B.[0,3) C.(-【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}，

B={x|y=x}={x|x≥0}，

∴A∩B={x|0≤x<3}=[0,3)．

故选：B．

复数z满足z=2i1-i，那么|z|是A.2 B.22 C.2 D.【答案】A【解析】解：∵z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i，一个体积为123正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为()

A.63 B.8 C.83 D.【答案】A【解析】解：设棱柱的高为h，

由左视图知，底面正三角形的高是23，由正三角形的性质知，其边长是4，

故底面三角形的面积是12×23×  4=43

由于其体积为123，故有h×43=123，得h=3

由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3×23如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的()A.c>x

B.x>c

C.c>b

D.b>c

【答案】A【解析】解：由流程图可知：

第一个选择框作用是比较x与b的大小，

故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，

∵条件成立时，保存最大值的变量X=C

故选：A．

根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C．

本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题．

已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且其夹角为θ，则“|a-b|>1”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：∵|a|=|b|=1，且其夹角为θ；

∴①由|a-b|>1得：

(a-b)2=a2-2a⋅b+b2=1-2cosθ+1>1；

∴cosθ<12；

又0≤θ≤π；

∴π3<θ≤π；

即θ∈(π3,π]；

∴|a-b|>1是θ∈(π3,π]的充分条件；

②由θ∈(π3,π]得：

cosθ<12；

∴1-2cosθ+1>1；

∴a2-2a⋅b+b2=(a-b)2>1；

如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()A. B.

C. D.【答案】D【解析】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于面对角线，

连接另一条面对角线，由三垂线定理可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；

对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ

垂直，可得AB垂直于平面MNQ；

对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，

此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；

对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为60∘，

则AB不垂直于平面MNQ．

故选：D．

由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．

本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．某学需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人.则不同的选派方法的种数是()A.18 B.24 C.36 D.42【答案】D【解析】解：根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，

若甲地分派2名女生，有C22=1种情况，

若甲地分配1名女生，有C21⋅C31=6种情况，

则甲地的分派方法有1+6=7种，

甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有A32=6种安排方法，

则不同的选派方法的种数是7×6=42；

故选：D．

根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和若函数f(x)图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对(A,B)称为函数f(x)的“友好点对”且点对(A,B)与(B,A)可看作同一个“友好点对”.若函数f(x)=x2+2ex+m-1,x≤0x+e2x,x>0(其中e为自然对数的底数，e≈2.718)A.m≤(e-1)2 B.m>(e-1【答案】C【解析】解：当x≤0时，y=x2+2ex+m-1关于原点对称的函数为-y=x2-2ex+m-1，

即y=-x2+2ex-m+1，x>0，

设h(x)=-x2+2ex-m+1，x>0，

条件等价为当x>0时，h(x)与f(x)的图象恰好有两个不同的交点，

则h(x)=-x2+2ex-m+1=-(x-e)2+e2+1-m，x>0，

当x=e时，函数h(x)取得最大值h(e)=e2+1-m，

当x>0时，f(x)=x+e2x，f'(x)=1-e2x2=x2-e2x2．

由f'(x)>0得x>e，此时二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）若x，y满足条件x+y-1≤0x-y+1≥0y≥0，则【答案】2【解析】解：由x，y满足条件x+y-1≤0x-y+1≥0y≥0作出可行域如图，

由z=x+2y，得y=-12x+12z，

由图可知，当直线y=-12x+12z过可行域内点A时直线在y轴上的截距最大，z最大．

联立x-y+1=0x+y-1=0，解得A(0,1)．双曲线C：2x2-y2【答案】y=±【解析】解：∵双曲线2x2-y2=1的标准方程为：x212-y2=1

∴a2=12，b2=1，可得a=22，b=1

又∵双曲线x2a等比数列{an}中，S3=21，2a2=【答案】3×【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，∵S3=21，2a2=a3，

∴a1(1+q+q2)=21，2=q，

解得a1=3．

数列{an}的通项公式a已知直线l的参数方程为y=t-1x=t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ<2π)，若直线l与曲线C相交于两点【答案】8【解析】解：由y=t-1x=t消去t可得y=x-1，其参数方程的标准形式为：x=1+22ty=22t(t为参数)，

由ρsin2θ-4cosθ=0得ρ2sin2θ-4ρcosθ=0，得y2=4x，

联立x=1+22ty=已知x，y∈R+，求z=(x+2y)(2x+4y)的最值．

甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：

甲：【答案】甲【解析】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；

②已知x，y∈R+，求z=(a+b)(1a+1b)的最小值．

一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间．

(Ⅰ)当t=5秒时点P离水面的高度______；

(Ⅱ)将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s【答案】23+2【解析】解：(Ⅰ)t=5秒时，水轮转过角度为3×2π60×5=π2，

在Rt△MOP0中，MP0=1，∴∠MOP0=π6；

在，Rt△AON中，∠AON=π3，∴AN=4×sinπ3=23，

此时点A(P)离开水面的高度为23+2；

(Ⅱ)由题意可知，ω=3×2π60=π10，

设角φ(-π2<φ<0)是以Ox为始边，OP0为终边的角，

由条件得h(t)=4三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）在△ABC中，且满足已知(2a-c)cosB=bcosC．

(1)求∠B的大小；

(l)【答案】解：(1)△ABC中，(2a-c)cosB=bcosC，

由正弦定理可得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC，

整理可得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA，

又A为三角形内角，sinA>0，

所以cosB=12，

由B为三角形内角，可得B=60∘【解析】(1)根据题意利用正弦定理，再进行三角恒等变换求得cosB的值，从而求出B的值；

(2)由△ABC的面积公式，利用余弦定理求得b的值，再求△ABC的周长．

在某区“创文明城区”(简称“创城”)活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：学校ABCD抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915(注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值)

假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．

(Ⅰ)若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；

(Ⅱ)在随机抽查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；

(Ⅲ)若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望．【答案】解：(Ⅰ)该区共2000名高中学生，

由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数为：

2000×50100×4050=800．

(Ⅱ)设事件A表示“抽取A校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，

事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，

则从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，

恰有1人参与“创城”活动的概率：

P=P(AC-+A-C)=P(A)P(C-)+P(A-)P(C)

=

X0

1

2

3

P

1

12

48

64∵X～B【解析】(Ⅰ)由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数．

(Ⅱ)设事件A表示“抽取A校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，则从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，恰有1人参与“创城”活动的概率：P=P(AC-+A-C)=P(A)P(C-)+P(A-)P(在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为6的菱形，且∠ABC=60∘，PA⊥平面ABCD，PA=6，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点．

(Ⅰ)求证：BD⊥CF．

(Ⅱ)若AF=2．

(i)求PC与平面BDF所成角的正弦值；

(ii)侧面PAD内是否存在过点E的一条直线，使得该直线上任一点M与【答案】(I)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

∴BD⊥平面PAC，

又CF⊂平面PAC，

∴BD⊥CF．

(II)解：(i)设AC，BD交于点O，以O为坐标原点，以OB，OC，平面ABCD过点O的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，

则B(33,0，0)，D(-33,0，0)，F(0,-3,2)，C(0,3，0)，P(0,-3,6)，

∴CP=(0,-6,6)，DB=(63,0，0)，BF=(-33,-3,2)，

设平面BDF的法向量为n=(x,y，z)，则n⋅DB=0n⋅BF=0，即63x=0-33x-3y+2z=0，

令y=2可得z=3，即n=(0,2，3)，

∴cos<n，CP>=n⋅CP|n||CP|=0-12+1813×62=2626．

∴PC与平面BDF所成角的正弦值为|cos【解析】(I)证明BD⊥平面PAC即可得出BD⊥CF；

(II)(i)建立空间坐标系，求出平面BDF的法向量n，计算n和CP的夹角的余弦值即可；

(ii如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2分别为其左、右焦点，过F1的直线与此椭圆相交于D，E两点，且△F2DE的周长为8，椭圆C的离心率为22．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,1)与点Q(0,2)，过P的动直线l(不与x轴平行)【答案】解：(Ⅰ)∵△F2DE的周长为8，

∴4a=8，即a=2，

∵e=ca=22，

∴c=2，

∴b2=a2-c2=2，

故椭圆C的方程为x24+y12=1

(Ⅱ)(i)证明：当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，B1三点共线．

当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，

联立y=kx+1x24+y22=1，得【解析】(Ⅰ)由三角形的周长可得a=2，根据离心率可得c=2，即可求出b2=2，则椭圆方程可求；

(Ⅱ)(i)当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴两端点，满足Q，A，B'三点共线.当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用向量证明．

(ii)由已知f(x)=axex在点(0,0)处的切线与直线y=x-2平行．

(Ⅰ)求实数a的值；

(Ⅱ)设g(x)=f(x)-【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=axex，则f'(x)=aex(x+1)，

由题意知x=0时，f'(0)=a=1，即a的值为1；