吉林省白山市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题含解析

PAGE吉林省白山市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1．复数的实部是（）A． B． C． D．2．已知数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是（）A．3 B．6 C．9 3．在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F是DE的中点，则＝（）A． B． C． D．4．某校实行校内歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，设该选手得分的平均数为x，中位数为y，众数为z，则（）A．x＜y＜z B．x＜y＝z C．y＜x＜z D．x＜x＜y5．已知l，m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，n∥α，则n∥β B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若α∩β＝n，m∥n，则m∥β D．若m，n是异面直线，m∥α，n∥α，l⊥m且l⊥n，则l⊥α6．某校对该校800名高一年级学生的体重进行调查，他们的体重都处在A，B，C，D四个区间内，依据调查结果得到如下统计图，则下列说法正确的是（）A．该校高一年级有300名男生 B．该校高一年级学生体重在C区间的人数最多 C．该校高一年级学生体重在C区间的男生人数为175 D．该校高一年级学生体重在D区间的人数最少7．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC和△ABC均为等边三角形，E，F分别是棱AB，PC的中点，则异面直线EF与PB所成角的正弦值是（）A． B． C． D．8．已知集合A＝{﹣2，0，3}，且a∈A，b∈A，则函数f（x）＝ax2+3x+b有零点的概率是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数z1＝3+4i，z2＝a+bi（a，b∈R），则下列命题正确的是（）A．若a＝﹣3，则z1+z2是纯虚数 B．若z1+z2是纯虚数，则a＝﹣3 C．若4a+3b＝0，则z1z2是实数D．若z1z2是实数，则4a+3b10．连续抛掷一个质地匀称的骰子（每个面上对应的数字分别为1，2，3，4，5，6）两次．事务A表示“第一次正面朝上的点数是奇数”，事务B表示“其次次正面朝上的点数是偶数”，事务C表示“两次正面朝上的点数之和小于6”，事务D表示“两次正面朝上的点数之和是9A．事务A与事务B为对立事务 B．事务A与事务B相互独立 C．事务C与事务D是互斥事务 D．事务C与事务C相互独立11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2bcosB，且b≠c，则（）A．A＝2B B．角B的取值范围是 C．cosA的取值范围是 D．的取值范围是12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，△ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是（）A．A1C1∥平面AB1B．异面直线B1C与AA1所成角的大小是 C．球O的表面积是20π D．点O到平面AB1C的距离是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知向量，，若∥，则x＝．14．设一个圆锥的侧面绽开图是半径为的半圆，则此圆锥的体积为．15．已知4+3i是方程x2﹣ax+b＝0（a，b∈R）的一个根，则a+b＝．16．如图，已知两座山的高分别为MN＝30米，BC＝20米，为测量这两座山峰M，C之间的距离，选择水平地面上一点A为测量观测点，测得∠MAN＝60°，∠CAB＝45°，∠BAN＝150°，则MC＝米．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量，的夹角为30°，且||＝2，||＝．（1）求|2﹣|的值；（2）若（k﹣）⊥（2﹣k），求k的值．18．某高校将参与该校自主招生考试的学生的笔试成果按得分分成5组，得到的频率分布表如表所示．该校为了选拔出最优秀的学生，确定从第4组和第5组的学生中用分层抽样法抽取60名学生进行面试，依据面试成果，得到如图所示的频率分布直方图．组号分组频数频率第1组[150，160）600.10第2组[160，170）1500.25第3组[170，180）2100.35第4组[180，190）1500.25第5组[190，200）300.05合计6001.00（1）求第4组和第5组的学生进入面试的人数之差；（2）若该高校安排录用15人，求该高校的录用分数．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABB1＝∠ACC1＝∠ACB＝90°，点O为A，B的中点，AC＝BC＝2，．（1）证明：平面ACC1A1⊥平面ABC（2）求点B1到平面OA1C120．端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，源于中国人对自然天象的崇拜，由上古时代祭龙演化而来．端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日．某社区为丰富居民业余生活，举办了关于端午节文化习俗的学问竞赛，竞赛共分为两轮．在第一轮竞赛中，每位参赛选手均需参与两关竞赛，若其在两关竞赛中均达标，则进入其次轮竞赛．已知在第一轮竞赛中，A，B第一关达标的概率分别是，；其次关达标的概率分别是，．A，B在第一轮的每关竞赛中是否达标互不影响．（1）分别求出A，B进入其次轮竞赛的概率；（2）若A，B两人均参与第一轮竞赛，求两人中至少有1人进入其次轮竞赛的概率．21．在①asinB+bcosA＝0，②（a+b+c）（a﹣b﹣c）＝﹣bc，③bsin2A+asinB＝0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且____．（1）求A；（2）若角A的角平分线AD＝1，且c≥3，求△ABC面积的最小值．22．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．（1）证明：EF⊥平面PAC．（2）在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．复数的实部是（）A． B． C． D．解：由题意可得，，∴复数z的实部是．故选：C．2．已知数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是（）A．3 B．6 C．9 解：∵数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，∴数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是22×3＝12．故选：D．3．在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F是DE的中点，则＝（）A． B． C． D．解：∵点E是AB的中点，∴，∵点F是DE的中点，∴．故选：B．4．某校实行校内歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，设该选手得分的平均数为x，中位数为y，众数为z，则（）A．x＜y＜z B．x＜y＝z C．y＜x＜z D．x＜x＜y解：由题意可得，，又z＝9.5，则x＜y＜z．故选：A．5．已知l，m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，n∥α，则n∥β B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若α∩β＝n，m∥n，则m∥β D．若m，n是异面直线，m∥α，n∥α，l⊥m且l⊥n，则l⊥α解：对于A，若α//β，n//α，则n⊂β或n//β，故A错误；对于B，若m//α，m//β，则α//β，或α，β相交，故B错误；对于C，若α∩β＝n，m//n，则m⊂β或m//β，故C错误；对于D，若m，n是异面直线，m//α，n//α，l⊥m，且l⊥n，则由线面垂直的判定定理得l⊥α，故D正确．故选：D．6．某校对该校800名高一年级学生的体重进行调查，他们的体重都处在A，B，C，D四个区间内，依据调查结果得到如下统计图，则下列说法正确的是（）A．该校高一年级有300名男生 B．该校高一年级学生体重在C区间的人数最多 C．该校高一年级学生体重在C区间的男生人数为175 D．该校高一年级学生体重在D区间的人数最少解：由题意可得该校高一年级有60+80+120+40＝300名女生，则有800﹣300＝500名男生，故男生体重在A，B，C，D区间内的人数分别为75，150，175，100，从而该校高一年级学生体重在A，B，C，D区间的人数分别为135，270，255，140，故选项A，B，D错误，选项C正确．故选：C．7．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC和△ABC均为等边三角形，E，F分别是棱AB，PC的中点，则异面直线EF与PB所成角的正弦值是（）A． B． C． D．解：如图，分别取棱BC，AC的中点D，H，连接DE，DF，PH，BH．由题意可得PH⊥AC，BH⊥AC，则AC⊥平面PBH．因为PB⊂平面PBH，所以AC⊥PB．因为D，F分别是棱BC，PC的中点，所以DF//PB，则∠DFE是异面直线EF与PB所成的角，因为D，E分别是棱BC，AB的中点，所以DE//AC，则DF⊥DE，设AB＝4，则，，因为平面PAC⊥平面ABC，且PH⊥AC，所以PH⊥BH，所以，所以，则，故，故选：B．8．已知集合A＝{﹣2，0，3}，且a∈A，b∈A，则函数f（x）＝ax2+3x+b有零点的概率是（）A． B． C． D．解：由题意可得总的基本领件数为9，当a＝0时，符合条件的基本领件有3个；当a≠0时，f（x）有零点，则9﹣4ab≥0，即，从而符合条件的基本领件有（﹣2，3），（﹣2，0），（3，﹣2），（3，0），共4个．故所求概率．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数z1＝3+4i，z2＝a+bi（a，b∈R），则下列命题正确的是（）A．若a＝﹣3，则z1+z2是纯虚数 B．若z1+z2是纯虚数，则a＝﹣3 C．若4a+3b＝0，则z1z2是实数D．若z1z2是实数，则4a+3b解：∵复数z1＝3+4i，z2＝a+bi（a，b∈R），∴z1+z2＝a+3+（b+4）i，z1z2＝（3a﹣4b）+（4a+3b）当a＝﹣3且b≠﹣4时，z1+z2是纯虚数，则A错误，B正确；当4a+3b＝0时，z1z2是实数，则C，D故选：BCD．10．连续抛掷一个质地匀称的骰子（每个面上对应的数字分别为1，2，3，4，5，6）两次．事务A表示“第一次正面朝上的点数是奇数”，事务B表示“其次次正面朝上的点数是偶数”，事务C表示“两次正面朝上的点数之和小于6”，事务D表示“两次正面朝上的点数之和是9A．事务A与事务B为对立事务 B．事务A与事务B相互独立 C．事务C与事务D是互斥事务 D．事务C与事务C相互独立解：由题意可知事务A与事务B相互独立，则A错误，B正确；事务C与事务D是互斥事务，但不是对立事务，则C正确，D错误．故选：BC．11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2bcosB，且b≠c，则（）A．A＝2B B．角B的取值范围是 C．cosA的取值范围是 D．的取值范围是解：因为a＝2bcosB，所以sinA＝2sinBcosB＝sin2B，所以A＝2B或A+2B＝π．因为b≠c，所以B≠C，所以A+2B≠A+B+C＝π，则A＝2B，故A正确．因为A+B+C＝π，所以C＝π﹣A﹣B＝π﹣3B．因为△ABC是锐角三角形，所以，即，解得，所以，利用正弦定理：，故B错误，D正确．因为A＝2B，所以，所以，则C正确．故选：ACD．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，△ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是（）A．A1C1∥平面AB1B．异面直线B1C与AA1所成角的大小是 C．球O的表面积是20π D．点O到平面AB1C的距离是解：如图，由题意可知A1C1∥AC因为AC⊂平面AB1C，A1C1⊄平面AB所以A1C1∥平面AB1C，故因为AA1∥CC1，所以∠B1CC1是异面直线B1C与AA1因为，所以，所以，故B错误．设△A1B1C1外接圆的圆心为O1，连接OO1，O1C1，OC由题意可得，，则球O的半径，从而球O的表面积是，故C正确．设△AB1C外接圆的半径为r由题意可得，则．由正弦定理可得，则点O到平面AB1C的距离，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知向量，，若∥，则x＝﹣．解：由题意可得2x+3＝0，解得x＝﹣．故答案为：．14．设一个圆锥的侧面绽开图是半径为的半圆，则此圆锥的体积为3π．解：∵圆锥的侧面绽开图是半径为的半圆，∴圆锥的母线l＝，半径r＝＝，∴圆锥的高h＝＝3，故圆锥的体积V＝＝3π；故答案为：3π15．已知4+3i是方程x2﹣ax+b＝0（a，b∈R）的一个根，则a+b＝33．解：设该方程的另一个根为z＝x+yi（x，y∈R），则，从而，解得，即，故a+b＝8+25＝33，故答案为：33．16．如图，已知两座山的高分别为MN＝30米，BC＝20米，为测量这两座山峰M，C之间的距离，选择水平地面上一点A为测量观测点，测得∠MAN＝60°，∠CAB＝45°，∠BAN＝150°，则MC＝10米．解：如图，过点C作CD⊥MN，垂足为D，则DM＝MN﹣BC＝10米，CD＝BN．由题意可得AN＝10米，AB＝20米，∠BAN＝150°则BN2＝300+400﹣2×10，从而MC2＝CD2+DM2＝1300+100＝1400，故MC＝10米故答案为：10．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量，的夹角为30°，且||＝2，||＝．（1）求|2﹣|的值；（2）若（k﹣）⊥（2﹣k），求k的值．解：由已知得，．（1）＝＝．（2）由（k﹣）⊥（2﹣k）得（k﹣）•（2﹣k）＝0，所以，化简得3k2﹣11k+6＝0，解得，或k＝3．18．某高校将参与该校自主招生考试的学生的笔试成果按得分分成5组，得到的频率分布表如表所示．该校为了选拔出最优秀的学生，确定从第4组和第5组的学生中用分层抽样法抽取60名学生进行面试，依据面试成果，得到如图所示的频率分布直方图．组号分组频数频率第1组[150，160）600.10第2组[160，170）1500.25第3组[170，180）2100.35第4组[180，190）1500.25第5组[190，200）300.05合计6001.00（1）求第4组和第5组的学生进入面试的人数之差；（2）若该高校安排录用15人，求该高校的录用分数．解：（1）由题意可知，抽取比例为，则从第4组应抽取的人数为，从第5组应抽取的人数为，故第4组和第5组的学生进人面试的人数之差为50﹣10＝40；（2）由题意可知，该高校的录用率为，因为（0.02+0.04）×10＝0.6＜0.75，0.6+0.03×10＝0.9＞0.75，则该高校的录用分数在[80，90）内，设该高校的录用分数为x，则（x﹣80）×0.03+0.6＝0.75，解得x＝85，故该高校的录用分数为85分．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABB1＝∠ACC1＝∠ACB＝90°，点O为A，B的中点，AC＝BC＝2，．（1）证明：平面ACC1A1⊥平面ABC（2）求点B1到平面OA1C1【解答】（1）证明：因为∠ABB1＝∠ACC1＝90°，所以AB⊥BB1，AC⊥CC1．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1//CC1所以AB⊥CC1，又因为AB∩AC＝A，所以CC1⊥平面ABC，又因为CC1⊂平面ACC1A1所以平面ACC1A1⊥平面ABC（2）解：设点O到平面A1B1C1的距离为h，点B1到平面OA1C1的距离为因为点O为A1B的中点，所以，．因为AC＝BC＝2，，所以，则．因为，所以，故点B1到平面OA1C1的距离为．20．端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，源于中国人对自然天象的崇拜，由上古时代祭龙演化而来．端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日．某社区为丰富居民业余生活，举办了关于端午节文化习俗的学问竞赛，竞赛共分为两轮．在第一轮竞赛中，每位参赛选手均需参与两关竞赛，若其在两关竞赛中均达标，则进入其次轮竞赛．已知在第一轮竞赛中，A，B第一关达标的概率分别是，；其次关达标的概率分别是，．A，B在第一轮的每关竞赛中是否达标互不影响．（1）分别求出A，B进入其次轮竞赛的概率；（2）若A，B两人均参与第一轮竞赛，求两人中至少有1人进入其次轮竞赛的概率．解：（1）设事务A1为“A在第一轮第一关竞赛中达标”，事务A2为“A在第一轮其次关竞赛中达标”，事务B1为“B在第一轮第一关竞赛中达标”，事务B2为“B在第一轮其次关竞赛中达标”．则A进入其次轮竞赛的概率，B进入其次轮竞赛的概率．（2）由（1）可知A没有进入其次轮竞赛的概率，B没有进入其次轮竞赛的概率，则A，B两人都没有进入其次轮竞赛的概率为．故A，B两人中至少有1人进入其次轮竞赛的概率．21．在①asinB+bcosA＝0，②（a+b+c）（a﹣b﹣c）＝﹣bc，③bsin2A+asinB＝0这三个条件中任选一个，补充