人教A版（2019）必修第二册6.1平面向量的概念(学案)(原卷版+解析)

6.1平面向量的概念（学案）知识自测知识自测一.向量与数量区分1.定义向量：数量：注意：①向量在物理学中称为矢量；数量在物理学中称为标量。②数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；而向量既有大小又有方向,向量是不能比较大小的。举例常见的向量有：常见的数量有：二、向量的几何表示1.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|2.向量的表示：(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).（3）常见概念①模长：向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.②零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作；规定：零向量与任意向量平行。③单位向量：长度等于长度的向量，叫做单位向量。④平行向量：方向的向量叫做平行向量.记法：向量eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))平行，记作eq\o(a,\s\up6(→))∥eq\o(b,\s\up6(→))⑤相等向量：相等且相同的向量叫做相等向量。⑥共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.共线向量与平行向量关系：因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的起点无关）,所以平行向量就是共线向量。知识简用知识简用题型一向量与数量的辨析【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(

)A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【例1-2】（2022云南）以下选项中，都是向量的是（

）A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度题型二向量的几何表示【例2-1】．（2022·全国·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)，点A在点O北偏西45°方向；(2)，点B在点O正南方向．【例2-2】（2022·江苏·高一课时练习）在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标（1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；（2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；（3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是.题型三相等向量与共线向量【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上【例3-2】（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量C．若，则 D．任意向量的模都是正数【例3-2】（2022西藏）下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【例3-4】（202上海）如图，在等腰梯形中，对角线与相交于点D，是过点D且平行于的线段．（l）写出图中的各组共线向量；（2）写出图中的各组同向向量；（3）写出图中的各组反向向量．6.1平面向量的概念（学案）知识自测知识自测一.向量与数量区分1.定义向量：把既有大小，又有方向的量叫做向量数量：把只有大小，没有方向的量称为数量。注意：①向量在物理学中称为矢量；数量在物理学中称为标量。②数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；而向量既有大小又有方向,向量是不能比较大小的。举例常见的向量有：力、位移、速度、加速度等常见的数量有：年龄、身高、长度、面积、体积、质量、路程、功等二、向量的几何表示1.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|2.向量的表示：(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).（3）常见概念①模长：向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.②零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作；规定：零向量与任意向量平行。③单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记法：向量eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))平行，记作eq\o(a,\s\up6(→))∥eq\o(b,\s\up6(→))⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。⑥共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.共线向量与平行向量关系：因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的起点无关）,所以平行向量就是共线向量。知识简用知识简用题型一向量与数量的辨析【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(

)A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【答案】D【解析】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量．故选：D．【例1-2】（2022云南）以下选项中，都是向量的是（

）A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度【答案】D【解析】表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，故选：D．题型二向量的几何表示【例2-1】．（2022·全国·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)，点A在点O北偏西45°方向；(2)，点B在点O正南方向．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：【例2-2】（2022·江苏·高一课时练习）在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标（1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；（2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；（3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是.【答案】见解析【解析】如图所示.（1）终点坐标为（2）终点坐标为（3）终点坐标为题型三相等向量与共线向量【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上【答案】A【解析】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.故选：A【例3-2】（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量C．若，则 D．任意向量的模都是正数【答案】B【解析】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；对于C，若，，而与不一定平行，故C错误；对于D，零向量的模长是，故D错误．故选：B.【例3-2】（2022西藏）下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】模为零的向量是零向量，所以A项正确；时，只说明向的长度相等，无法确定方向，所以B，C均错；时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D错.故选：A.【例3-4】（202上海）如图，在等腰