高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第16讲第三章一元函数的导数及其应用(提高卷)(原卷版+解析)

第16讲第三章一元函数的导数及其应用（提高卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）设函数在R上可导，则（

）

A． B． C．3 D．以上都不对2．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（

）A．[0， B． C． D．[0，3．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（

）A． B． C．1 D．24．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知是函数图象上的任意一点，是直线上的动点，则之间的最短距离是（

）A． B． C． D．5．（2023春·浙江金华·高二校考阶段练习）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（

）A．的极大值为，极小值为B．的极大值为，极小值为C．的极大值为，极小值为D．的极大值为，极小值为6．（2023春·安徽六安·高二校考阶段练习）已知偶函数在上存在导函数，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．7．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．8．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是（

）A． B．C． D．10．（2023春·河北保定·高二河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知定义在区间[a,b]上的函数，是的导函数，若存在，使得．则称ξ为函数f（x）在[a,b]上的“中值点”．下列函数，其中在区间上至少有两个“中值点”的函数为（

）A． B．C． D．11．（2023·全国·高三专题练习）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则12．（2023·吉林·统考二模）如图，函数的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数满足有3个零点，，，且，则（

）A． B． C． D．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知函数，则________．14．（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．15．（2023·山东济南·一模）机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点的闵氏距离为，其中为非零常数．如果点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____________．16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其单调增区间为_______；若对于，都有，则的取值范围是______.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知函数.(1)求的极值；(2)设函数，讨论的零点个数.18．（2023春·天津东丽·高二天津市第一百中学校考阶段练习）已知函数，，（是自然对数的底数）(1)若在点处的切线方程为，求实数a的值(2)求的单调区间(3)若恒成立，求实数a的取值范围19．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有最小值，求a的取值范围.20．（2023·陕西安康·统考二模）已知，(1)讨论的单调性；(2)当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围（为自然对数的底数）21．（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）已知函数.(1)当时，讨论的单调性.(2)证明：①当时，；②，.22．（2023春·上海宝山·高三统考阶段练习）已知函数，其中实数，，．(1)时，求函数的极值点；(2)时，在上恒成立，求b的取值范围；(3)证明：，且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条．第16讲第三章一元函数的导数及其应用（提高卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）设函数在R上可导，则（

）

A． B． C．3 D．以上都不对【答案】A【详解】因为，所以.故选：A.2．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（

）A．[0， B． C． D．[0，【答案】D【详解】因为，所以，因为，所以，又，所以，故选：D.3．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】.故选：B.4．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知是函数图象上的任意一点，是直线上的动点，则之间的最短距离是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设为函数上一点，且以点为切点的直线与直线平行，由，则，由已知有，解得或(舍去)，则之间的最短距离为点到直线的距离，由点到直线的距离公式，故选：A.5．（2023春·浙江金华·高二校考阶段练习）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（

）A．的极大值为，极小值为B．的极大值为，极小值为C．的极大值为，极小值为D．的极大值为，极小值为【答案】D【详解】当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；当时，则，可得；故三次函数在上单调递增，在上单调递减，可得的极大值为，极小值为.故选：D.6．（2023春·安徽六安·高二校考阶段练习）已知偶函数在上存在导函数，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】令，由于为偶函数，则，因为，所以为奇函数，所以，因为当时，，即，即，所以当时，，所以在上单调递增，因为在上为奇函数且在上具有导函数，所以在内单调递增，因为，所以，又等价于，所以，解得或，综上所述，的取值范围为.故选：B.7．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设，，则有，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，，即有，．令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，即，故，，令，有，可得函数单调递增，故有，可得，可得，故，综上所述，．故选：B．8．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据题意知，，即，令，则在上恒成立，由，在上；在上，所以在上递增；在上递减，且，在上，上，而，当时，，成立；当时，根据在上单调递增，在上恒成立，综上所述：只需满足，即，令，则在上恒成立，即在上递增，故，综上所述：a的取值范围为．故选：B．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】由知，在R上单调递增，则,故A正确；恒有，即，所以的图象是向上凸起的，如图所示，由导数的几何意义知，随着x的增加，的图象越来越平缓，即切线斜率越来越小（斜率为正），所以，故B正确，设，则，所以由图象知，故D正确，C错误，故选：10．（2023春·河北保定·高二河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知定义在区间[a,b]上的函数，是的导函数，若存在，使得．则称ξ为函数f（x）在[a,b]上的“中值点”．下列函数，其中在区间上至少有两个“中值点”的函数为（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】对于A选项，，，由，所以，，当时，，如下图所示：由图可知，直线与曲线在上的图象有两个交点，A选项满足条件；对于B选项，，，由，所以，，因为函数在上单调递增，故方程在上不可能有两个根，B不满足条件；对于C选项，，，由，可得，解得，故函数在上只有一个“中值点”，C选项不满足条件；对于D选项，，，由，可得，故函数在上有两个“中值点”，D满足条件.故选：AD.11．（2023·全国·高三专题练习）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【详解】原式变形为，构造函数，则，∵，当时，，则，即；当时，，则，即；故在上单调递减，在上单调递增，对于A：取，则∵在上单调递增，故，即满足题意，但，A错误；对于B：若，则有：当，即时，则，即；当，即时，由在时单调递增，且，故，则；综上所述：，B正确；对于C：若，则有：当，即时，显然成立；当，即时，令，∵，当且仅当，即时等号成立，∴当时，所以，即，由可得，即又∵由在时单调递增，且，∴，即；综上所述：，C正确；对于D：取，，则，∵在上单调递减，故，∴故，满足题意，但，D错误.故选：BC.12．（2023·吉林·统考二模）如图，函数的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数满足有3个零点，，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】，令，则；令，则且；的增区间为：，减区间为：与，对于A选项：且有三个零点，，即A选项正确；对于B选项：当时，，即，，，在上单调递减，，即，即B选项错误；对于C选项：令，.，在上递减，即.，，.，，又在上单调递增，，即，即C选项正确；对于D选项：，，即，，，，令，，则，令，则，令，解得，令，解得，即在上单调递减，在上单调递增，则在上的最小值为，故，故D选项正确.故选：ACD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知函数，则________．【答案】【详解】解：由题意知，令，解得．故答案为：-114．（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．【答案】##【详解】由，得，因为是函数的极小值点，所以，即，即，解得或．当时，，当或时，，当时，，所以，在区间，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，不符合题意；当时，，当或时，，当时，，所以在区间，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故又因为，，所以函数在的最大值为．故答案为：．15．（2023·山东济南·一模）机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点的闵氏距离为，其中为非零常数．如果点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____________．【答案】【详解】设，，则，令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；即；当时，；当时，；当时，；综上所述：的最小值为.故答案为：.16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其单调增区间为_______；若对于，都有，则的取值范围是______.【答案】

【详解】，，令，得出，故的单调增区间为.时，，单调递减，设，即可转化为，令，在上单调递增，不等式才能恒成立，则，解得.令，时单调递增，时单调递减，，.故答案为：，.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知函数.(1)求的极值；(2)设函数，讨论的零点个数.【答案】(1)极大值为，无极小值；(2)详见解析.【详解】（1）因为，则，由，可得，由，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处有极大值，极大值为，无极小值；（2）因为，所以，由，可得或，由，可得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，当时，，当时，∴当或，即或时，有一个零点，当或，即或时，有两个零点，当且，即，有三个零点，综上：当或时，有一个零点；或时，有两个零点；，有三个零点.18．（2023春·天津东丽·高二天津市第一百中学校考阶段练习）已知函数，，（是自然对数的底数）(1)若在点处的切线方程为，求实数a的值(2)求的单调区间(3)若恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1)(2)当时，函数的单调递增区间为，无减区间；当时，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)【详解】（1）因为，定义域为，所以，所以，又直线的斜率为，由导数几何意义得，解得.（本问也可直接把点代入直线方程直接求解）（2）因为函数的定义域为，且，当时，，所以函数的单调递增区间为，无减区间；当时，令，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；综上，当时，函数的单调递增区间为，无减区间；当时，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）因为恒成立，即恒成立，则恒成立，所以恒成立，记，则，令，得，令，得，令，得，列表如下：↗↘所以函数的极大值也是最大值为，由恒成立得，所以.19．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有最小值，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1），令，即，，当，即时，，即，所以函数在上是增函数，当，即时，方程的解为，当或时，，当时，，所以函数的单调增区间为，减区间为，综上所述，当时，函数在上是增函数；当时，函数的单调增区间为，减区间为；（2）由（1）可得当时，函数在上是增函数，所以当时，函数没有最大值，当时，函数的单调增区间为，减区间为，所以，，当时，且，当时，，因为函数有最小值，所以，即，解得，所以a的取值范围为.20．（2023·陕西安康·统考二模）已知，(1)讨论的单调性；(2)当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围（为自然对数的底数）【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1），当时，，所以在上单调递增，当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在