高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题1.1空间向量及其线性运算【八大题型】(原卷版+解析)

专题1.1空间向量及其线性运算【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1空间向量概念的理解】 2【题型2空间向量的加减运算】 3【题型3空间向量的线性运算】 3【题型4由空间向量的线性运算求参数】 4【题型5向量共线的判定及应用】 6【题型6由空间向量共线求参数】 8【题型7向量共面的判定及应用】 9【题型8由空间向量共面求参数】 10【知识点1空间向量的概念】1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.【题型1空间向量概念的理解】【例1】（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（

）A．任意向量与它的相反向量不相等B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C．如果a=0，则D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（

）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．不相等的两个空间向量的模必不相等C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；③若空间向量m，n，p满足其中假命题的个数是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a,b满足a=④若空间向量m,n,p满足⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3C．2 D．1【知识点2空间向量的线性运算】1．空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.(3)空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.【题型2空间向量的加减运算】【例2】（2023春·高二课时练习）在四面体OABC中，OA+AB−A．OA B．AB C．OC D．AC【变式2-1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体ABCD−A1B1CA．C1B B．BC1 C．【变式2-2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，若△BCD是正三角形，且E为其重心，则AB+12A．AB B．2BD C．0 D．【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是A．EB+BF+EH+GH=0→ B．EB+C．EF+FG+EH+GH=0→ D．EF–【题型3空间向量的线性运算】【例3】（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（

）A．ABB．2C．ABD．AB【变式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体ABCD−A′B′C′D′，点E是A′C′A．AA′+C．12AA【变式3-2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1DA．3B1E=B1C1 【变式3-3】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点，A．−13ABC．−23AB【题型4由空间向量的线性运算求参数】【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考开学考试）如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且A．12,−2C．−23,【变式4-1】（2023秋·湖南娄底·高二校联考期末）在三棱柱ABC−A1B1C1中，D是CCA．α=12,C．α=1,   β=−1【变式4-2】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点A．x=−12,y=C．x=−12,y=−【变式4-3】（2023春·高二课时练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点P在A1A．34 B．1 C．54 【知识点3共线向量与共面向量】1．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.(3)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.2．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①证明四点共面；②证明线面平行.【题型5向量共线的判定及应用】【例5】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断CE与MN是否共线？【变式5-1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A（1）用a,b,（2）求证：E，F，B三点共线.【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知空间四边形ABCD，点E，H分别是AB，AD的中点，点F，G分别是CB，CD上的点，且CF=23CB，【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，求证：（1）AC//（2）OG=k【题型6由空间向量共线求参数】【例6】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校联考期末）如果空间向量a,b不共线，且a−yb=xA．x=−1,y=3 B．x=−1,y=−3C．x=1,y=−3 D．x=1,y=3【变式6-2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a+2A．−3 B．−13 C．3 【变式6-3】（2023春·高二课时练习）已知非零向量a=3m−2n−4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且mA．−13B．−5C．8D．13【题型7向量共面的判定及应用】【例7】（2023春·高一课时练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．(1)OB+(2)OP=4【变式7-1】（2023秋·高二课时练习）已知i,j,【变式7-2】（2023春·高二课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.【变式7-3】（2023秋·高二课时练习）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，(1)求证：E，(2)平面AC∥平面EG【题型8由空间向量共面求参数】【例8】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知O为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，但任意三点不共线．如果BP=mOA+OB+A．-2 B．-1 C．1 D．2【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x,y满足OD=xOA+yOB−A．45 B．255 【变式8-2】（2023春·高一课时练习）已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若OM=2λOA+25A．λ=1360 B．λ=1760 C．【变式8-3】（2023春·高二课时练习）如图,平面ABC内的小方格均为正方形,点P为平面ABC内的一点,O为平面ABC外一点,设OP=mOA+nOB+2A．1 B．−1 C．2 D．−2

专题1.1空间向量及其线性运算【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1空间向量概念的理解】 2【题型2空间向量的加减运算】 4【题型3空间向量的线性运算】 6【题型4由空间向量的线性运算求参数】 8【题型5向量共线的判定及应用】 11【题型6由空间向量共线求参数】 14【题型7向量共面的判定及应用】 16【题型8由空间向量共面求参数】 18【知识点1空间向量的概念】1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.【题型1空间向量概念的理解】【例1】（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（

）A．任意向量与它的相反向量不相等B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C．如果a=0，则D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【解题思路】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.【解答过程】对于A，零向量0的相反向量是它本身，A错误；对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；对于C，如果a=0，则a对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.故选：A.【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（

）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．不相等的两个空间向量的模必不相等C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆【解题思路】取零向量可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项.【解答过程】对于A选项，零向量与它的相反向量相等，A错；对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；对于C选项，同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C对；对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错.故选：C.【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；③若空间向量m，n，p满足其中假命题的个数是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据单位向量的模长为1可判断①的真假；根据空间向量的相等的定义，可判断②③；由单位向量的定义可判断④的真假；根据零向量的规定可判断⑤的真假，即可得出结论.【解答过程】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.故选：D.【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a,b满足a=④若空间向量m,n,p满足⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3C．2 D．1【解题思路】根据空间向量的有关定义判断可得答案.【解答过程】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错误；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．故选：D.【知识点2空间向量的线性运算】1．空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.(3)空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.【题型2空间向量的加减运算】【例2】（2023春·高二课时练习）在四面体OABC中，OA+AB−A．OA B．AB C．OC D．AC【解题思路】利用空间向量线性运算法则化简.【解答过程】OA+故选：C.【变式2-1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体ABCD−A1B1CA．C1B B．BC1 C．【解题思路】根据空间向量的线性运算求解即可.【解答过程】AB+故选：C.【变式2-2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，若△BCD是正三角形，且E为其重心，则AB+12A．AB B．2BD C．0 D．【解题思路】根据向量的加减法运算法则即可求解.【解答过程】取BC的中点为F,则12又因为E为△BCD的重心，即DF上靠近F的三等分点，32则AB+故选:C.【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是A．EB+BF+EH+GH=0→ B．EB+C．EF+FG+EH+GH=0→ D．EF–【解题思路】根据空间向量的加减法运算法则即可求解.【解答过程】画出图形，如图所示，∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，∴FC=BF，对于A，EB+BF+EH+GH=EF+EH+GH=HG+EH+GH=EH；对于B，EB+FC+EH–EG=EB+BF+（EH–EG）=对于C，EF+FG+EH+GH=EF+FG+GH+EH=EH+EH=2EH；对于D，EF–FB+CG+GH=EF+BF+CG+GH=EF+FC+故选B．【题型3空间向量的线性运算】【例3】（2023春·高二单元测试）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（

）A．ABB．2C．ABD．AB【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.【解答过程】对于A，AB+2对于B，2AB对于C，AB+对于D，AB−故选：A.【变式3-1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体ABCD−A′B′C′D′，点E是A′C′A．AA′+C．12AA【解题思路】作图分析，根据空间向量的线性运算可得AF=13AE，AE=AA′+A′【解答过程】如图所示，由于AF=12EF，故AF=1A′C′=A∴AF=1故选：D．【变式3-2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1DA．3B1E=B1C1 【解题思路】利用向量的线性运算全部转化为用B1【解答过程】由AE=−13整理得3B故选：A.【变式3-3】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点，A．−13ABC．−23AB【解题思路】根据向量的数乘及加、减运算求解即可.【解答过程】解：由题意可得：GF====−=−1故选：A.【题型4由空间向量的线性运算求参数】【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考开学考试）如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且A．12,−2C．−23,【解题思路】利用空间向量的线性运算求解即可.【解答过程】MN=所以x=−2故选：C.【变式4-1】（2023秋·湖南娄底·高二校联考期末）在三棱柱ABC−A1B1C1中，D是CCA．α=12,C．α=1,   β=−1【解题思路】根据向量加法的多边形法则可得，DF=【解答过程】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，DF=DC∴α=12故选A．【变式4-2】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点A．x=−12,y=C．x=−12,y=−【解题思路】根据空间向量的线性运算即可求解.【解答过程】根据题意，得；BE==又∵∴x=−故选：A.【变式4-3】（2023春·高二课时练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点P在A1A．34 B．1 C．54 【解题思路】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解.【解答过程】如图，AP=3所以x=3所以x+y+z=5故选:C.【知识点3共线向量与共面向量】1．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.(3)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.2．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①证明四点共面；②证明线面平行.【题型5向量共线的判定及应用】【例5】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断CE与MN是否共线？【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断.【解答过程】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形，所以MN=又MN=所以12所以CE=即CE=2MN，即CE与【变式5-1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A（1）用a,b,（2）求证：E，F，B三点共线.【解题思路】（1）由已知得EB=（2）由已知得FB=3【解答过程】解：（1）因为A1E=2所以EB=所以EB=（2）AFB===3又EB与FB相交于B，所以E，F，B三点共线.【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知空间四边形ABCD，点E，H分别是AB，AD的中点，点F，G分别是CB，CD上的点，且CF=23CB，【解题思路】根据题意得出EH∥【解答过程】证明：连接BD.∵点E，H分别是边AB，AD的中点，且CF=23∴EH=∴EH∥FG且又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形.【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，求证：（1）AC//（2）OG=k【解题思路】（1）由题意，EG=EH+m（2）由题意，OG=OE+【解答过程】证明：（1）EG=k(=k∴AC//（2）OG=【题型6由空间向量共线求参数】【例6】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据A，C，D三点共线，可得AC//CD，则存在唯一实数μ，使得【解答过程】由AB=e1得AC=因为A，C，D三点共线，所以AC//则存在唯一实数μ，使得AC=μ则2=4μ1+λ=8μ2=4μ，解得故选：C.【变式6-1】（2022秋·新疆阿勒泰·高二校联考期末）如果空间向量a,b不共线，且a−yb=xA．x=−1,y=3 B．x=−1,y=−3C．x=1,y=−3 D．x=1,y=3【解题思路】根据向量的相等,可得方程，即可求得答案.【解答过程】由题意可知空间向量a,b不共线，且a−y则x−1=0,−(y+3)=0，即x=1,y=−3，故选：C.【变式6-2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a+2A．−3 B．−13 C．3 【解题思路】由m∥n，可得存在实数λ，使n=λ【解答过程】m=a+2因为m∥n，所以存在实数λ，使所以(x+3)a所以x+3=λx−y=2λ所以x−y=2(x+3)3−y=−3(x+3)，得2x+2y=3x−y，x=3y所以xy故选：C.【变式6-3】（2023春·高二课时练习）已知非零向量a=3m−2n−4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且mA．−13B．−5C．8D．13【解题思路】先由向量平行，得到b=λa，利用系数对应相等构建关系，即求得x，【解答过程】∵a//b且a≠0，∴又m、n、p不共面，∴x+1=3λ8=−2λ2y=−4λ，解得x=−13，y=8，故选：B.【题型7向量共面的判定及应用】【例7】（2023春·高一课时练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．(1)OB+(2)OP=4【解题思路】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；【解答过程】（1）解：因为A,B,M三点不共线，可得A,B,M三点共面，对于平面ABM外的任意一点O，若OB+即OP=又因为13+13+（2）解：因为A,B,M三点不共线，可得A,B,M三点共面，对于平面ABM外的任意一点O，若OP=4OA−根据空间向量的共面定理，可得点P与A,B,M不共面．【变式7-1】（2023秋·高二课时练习）已知i,j,【解题思路】由空间向量基本定理可得答案.【解答过程】由i,j,k是不共面向量，得设a=xb+y所以1=−x−3y−2=3x+7y1=2x，解得x=1所以这三个向量共面.【变式7-2】（2023春·高二课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.【解题思路】（1）要证E，F，G，H四点共面，只需证明向量EG，EF，EH共面，结合向