高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第04讲正弦定理和余弦定理(分层精练)(原卷版+解析)

第04讲正弦定理和余弦定理(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·河北邢台·高一沙河市第二中学校联考阶段练习）在中，若，则（

）A． B． C．2 D．2．（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（

）A．30° B．45° C．150° D．30°或150°3．（2023春·云南·高一校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（

）A．2 B．4 C．6 D．84．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为（

）．A． B． C． D．5．（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则边c长为（

）．A． B．C．或 D．或6．（2023春·甘肃白银·高一校考阶段练习）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．锐角三角形7．（2023春·江苏南京·高一南京市大厂高级中学校考阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，设为的面积，且，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．28．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁与该截面的交点，，分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子与之间的距离是（为测量单位），柱子与之间的距离是．如果把，视作线段，记，，是的四等分点，，，是的四等分点，若，则线段的长度为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023春·浙江金华·高一校考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．在中，若，则B．在锐角中，不等式恒成立C．在中，若，则必是等腰直角三角形D．在中，若，，则不是等边三角形10．（2023春·福建莆田·高一校考阶段练习）的内角，，的对边分别为，，.下面四个结论正确的是（

）A．，，则的外接圆半径是2 B．若，则C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则三、填空题11．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若外接圆面积为，则面积的最大值为______．12．（2023·江西·校联考模拟预测）在中，点在边上，，则边的最小值为__________.四、解答题13．（2023春·广东广州·高一广州市培英中学校考阶段练习）在中，是角所对的边，且满足(1)求角的大小；(2)设向量，向量，且向量共线，判断的形状.14．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小．(2)若，求的周长的取值范围．15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若，D为BC中点，，求AD的长.B能力提升1．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．2．（2023春·江苏盐城·高一江苏省阜宁中学校考阶段练习）在中，有，则的最大值是（

）A． B． C． D．3．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高一专题练习）在锐角中，，，则中线的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（多选）（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，已知点G为△ABC的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，m＞0，n＞0，记△ADE，△ABC，四边形BDEC的面积分别为S1，S2，S3，则（）A． B． C． D．6．（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知的内角的对边分别为，若，且，延长至.则下面结论正确的是（

）A．B．C．若，则周长的最大值为D．若，则面积的最大值为C综合素养1．（2023·全国·高一专题练习）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若，则（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（多选）（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知点是平行四边形所在平面外一点，，，下列结论中正确的是（

）A． B．存在实数，使C．不是平面的法向量 D．四边形的面积为3．（多选）（2023春·山东菏泽·高一校考阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．4．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）在△ABC中，角的对边分别为，若，且．(1)求角B的值；(2)若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长．5．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）在中，、、分别是角A、B、C的对边，.(1)求B的大小；(2)若，求的周长的取值范围.6．（2023·全国·模拟预测）已知是斜三角形，角A，B，C满足.(1)求证：；(2)若角A，B，C的对边分别是边a，b，c，求的最小值，并求此时的各个内角的大小.第04讲正弦定理和余弦定理(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·河北邢台·高一沙河市第二中学校联考阶段练习）在中，若，则（

）A． B． C．2 D．【答案】C【详解】因为，所以，所以，则.故选：C.2．（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（

）A．30° B．45° C．150° D．30°或150°【答案】A【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，所以或150°．因为，所以，所以．故选：A3．（2023春·云南·高一校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【详解】根据正弦定理有，得；故选：D.4．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】.故选：B5．（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则边c长为（

）．A． B．C．或 D．或【答案】A【详解】在中，因为，，，所以，即，解得或（舍去），所以.故选：A.6．（2023春·甘肃白银·高一校考阶段练习）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．锐角三角形【答案】B【详解】由得,由二倍角公式可得或，由于在，,所以或,故为等腰三角形或直角三角形故选：B7．（2023春·江苏南京·高一南京市大厂高级中学校考阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，设为的面积，且，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【详解】由余弦定理知：，由条件：，，即，

，

，

，时取最大值1；故选：B．8．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁与该截面的交点，，分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子与之间的距离是（为测量单位），柱子与之间的距离是．如果把，视作线段，记，，是的四等分点，，，是的四等分点，若，则线段的长度为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意，如图所示：其中点与点重合，因为该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，，，是的四等分点，，，是的四等分点所以，，，所以为直角三角形，四边形为矩形，所以且，又，所以，在中，由余弦定理得：，所以，所以.故选：A.二、多选题9．（2023春·浙江金华·高一校考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．在中，若，则B．在锐角中，不等式恒成立C．在中，若，则必是等腰直角三角形D．在中，若，，则不是等边三角形【答案】ABD【详解】对于A：，，由正弦定理可得，A正确；对于B：在锐角中，，，，B正确；对于C：在中，若，由正弦定理可得，，或，或，则是等腰三角形或直角三角形，C错误；对于D：在中，若，则不是等边三角形，D正确.故选：ABD.10．（2023春·福建莆田·高一校考阶段练习）的内角，，的对边分别为，，.下面四个结论正确的是（

）A．，，则的外接圆半径是2 B．若，则C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则【答案】ABD【详解】对：由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故正确；对：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；对：因为，所以为锐角，但不确定，故C错误；对：若，，所以由正弦定理得，故D正确.、故选：ABD.三、填空题11．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若外接圆面积为，则面积的最大值为______．【答案】【详解】由已知及正弦定理得，所以，所以，又，所以．由的外接圆面积为，得外接圆的半径1．由正弦定理得，所以，所以，解得，所以的面积，当且仅当时等号成立．故答案为:.12．（2023·江西·校联考模拟预测）在中，点在边上，，则边的最小值为__________.【答案】1【详解】令，则，又，在中，由余弦定理可得，化简整理得，因为，所以，所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为1.故答案为：1四、解答题13．（2023春·广东广州·高一广州市培英中学校考阶段练习）在中，是角所对的边，且满足(1)求角的大小；(2)设向量，向量，且向量共线，判断的形状.【答案】(1)(2)直角三角形【详解】（1）因为，所以；因为，所以；（2）因为，共线，所以，所以或（舍）；当时，，所以为直角三角形.14．（2023·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小．(2)若，求的周长的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以，因为因为，所以，所以因此有．又因为，所以．（2）由，及余弦定理，得，所以，当且仅当时取等号．又因为，所以，故的周长的取值范围为．15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若，D为BC中点，，求AD的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）∴∴∵，由正弦定理得∴，∴，∴，解得；（2），，∴，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，解得．B能力提升1．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由正弦定理得：由余弦定理得：，即当且仅当时，即，，时取等号，,则，所以面积的最大值.故选：B2．（2023春·江苏盐城·高一江苏省阜宁中学校考阶段练习）在中，有，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，又，，所以又，，，所以，即，，当且仅当即时取等号，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时，所以，即的最大值是．故选：D．3．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为在锐角中，，且，所以，则，所以，则或（舍去），所以，，因为为锐角三角形，，所以，所以，所以，，故选：B.4．（2023·全国·高一专题练习）在锐角中，，，则中线的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令的内角所对边分别为，由正弦定理及得，即，锐角中，，即，同理，于是，解得，又线段为边上的中线，则，又，于是，因此，当时，，，所以中线的取值范围是.故选：D5．（多选）（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，已知点G为△ABC的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，m＞0，n＞0，记△ADE，△ABC，四边形BDEC的面积分别为S1，S2，S3，则（）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】A选项，由D、G、E三点共线，则＝，设，，m＞0，n＞0.则，又由重心性质可知，则，，即，即选项A正确；B选项，S1＝＝，S2＝，则，即选项B正确；CD选项，＝≤，当且仅当，即时取等号，则，即选项C正确，D错误.故选：ABC．6．（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知的内角的对边分别为，若，且，延长至.则下面结论正确的是（

）A．B．C．若，则周长的最大值为D．若，则面积的最大值为【答案】ACD【详解】，，解得：，由得：，，，解得：（舍）或，，，A正确；，，，即，为等边三角形，，B错误；，，在中，由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），解得：，周长的最大值为，C正确；设，则，，则当时，取得最大值，D正确.故选：ACD.C综合素养1．（2023·全国·高一专题练习）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】因为，，所以，而，在中，设，则，由正弦定理得，解得，由余弦定理，所以.故选：C.2．（多选）（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知点是平行四边形所在平面外一点，，，下列结论中正确的是（

）A． B．存在实数，使C．不是平面的法向量 D．四边形的面积为【答案】ACD【详解】A：，所以本选项结论正确；B：，假设存在存在实数，使，，显然方程组无实数解，因此假设不成立，所以不存在实数，使，因此本选项说法不正确；C：不互相垂直，所以不是平面的法向量，因此本选项说法正确；D：，所以，四边形的面积为：，因此本选项说法正确，故选：ACD3．（多选）（2023春·山东菏泽·高一校考阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】因为，所以