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课时作业69直接证明和间接证明[基础落实练]一、选择题1.用反证法证明命题:“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:eq\r(b2-ac)<eq\r(3)a”索的因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<03.设a,b∈R,现给出下列五个条件:①a+b=2;②a+b>2;③a+b>-2;④ab>1;⑤logab<0(a>0,且a≠1).其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件为()A.②③④B.②③④⑤C.①②③⑤D.②⑤4.已知函数f(x)=(eq\f(1,2))x,a,b是正实数,A=f(eq\f(a+b,2)),B=f(eq\r(ab)),C=f(eq\f(2ab,a+b)),则A,B,C的大小关系为()A.A≤B≤CB.A≤C≤BC.B≤C≤AD.C≤B≤A二、填空题5.用数学归纳法证明1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,2n-1)<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证的不等式是________.6.用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n+1)+eq\f(1,n+2)+…+eq\f(1,n+n)>eq\f(13,24)(n≥2)的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.7.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是________.(填序号)三、解答题8.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且0<x<c时,f(x)>0.(1)证明:eq\f(1,a)是f(x)=0的一个根;(2)试比较eq\f(1,a)与c的大小;(3)证明:-2<b<-1.9.若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数f(x)是[a,b]上的“四维光军”函数.(1)设g(x)=eq\f(1,2)x2-x+eq\f(3,2)是[1,b]上的“四维光军”函数,求常数b的值;(2)是否存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=eq\f(1,x+2)是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.[素养提升练]10.已知a,b,c∈R,若eq\f(b,a)·eq\f(c,a)>1且eq\f(b,a)+eq\f(c,a)≥-2,则下列结论成立的是()A.a,b,c同号B.b,c同号,a与它们异号C.a,c同号,b与它们异号D.b,c同号,a与b,c的符号关系不确定11.在等比数列{an}中,“a1<a2<a3”是“数列{an}递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是________.13.[2023·山东省威海市六中模拟]已知整数p>1,证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px.14.将正整数作如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),…,分别计算各组包含的正整数的和如下:S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,…试猜测S1+S3+S5+…+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明.[培优创新练]15.利用数学归纳法证明不等式1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,2n-1)<f(n)(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了()A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项16.十七世纪法国数学家费马提出猜想:“当整数n>2时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解.”经历三百多年,于二十世纪九十年代中期,英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想,使它终成费马大定理.则下面说法正确的是()A.至少存在一
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