电力系统暂态稳定分析的时域仿真法

引言暂态能量函数法是基于一个古典的力学概念发展而来的，该概念中指出：“对于一个自由的(无外力作用的)动态系统，若系统的总能量V(V(X)>0，X为系统状态量)随时间变化率恒为负，则系统总能量不断减少，直至最终达到一个最小值，即平衡状态，则此系统是稳定的”。图9-1滚球系统稳定原理图9-1所示的滚球系统在无扰动时，球位于稳定平衡点(stableequilibriumpoint，SEP)；受扰后，小球在扰动结束时位于高度h处(以SEP为参考点)，并具有速度v。该质量为m的小球，总能量V由动能及势能mgh(g为重力加速度)的和组成，即若小球与壁有摩擦力，则受扰后能量在摩擦力作用下逐步减少；设小球所在容器的壁高为H(以SEP为参考点)，当小球位于壁沿上，且速度为零时(即处于不稳定平衡状态)，相应的势能为mgH，称此位置为不稳定平衡点(unstableequilibriumpoint，UEP)，相应的势能为系统临界能量，即根据运动原理，我们知道，若忽略容器壁摩擦，在扰动结束时小球总能量V大于临界能量时，则小球最终将滚出容器，而失去稳定性；反之，则小球将在摩擦力作用下，能量逐步减少，最终静止于SEP。而为临界状态，显然可根据判别稳定裕度。对于一个实际系统要解决两个关键问题：一是对于一个实际系统如何构造(定义)一个合理的暂态能量函数，它的大小应能正确地反映系统失去稳定的严重性；二是如何确定和系统临界稳定相对应的函数值，即临界能量，从而可通过对扰动结束时暂态能量函数值(即上例中的)和临界值(即上例中的mgH)的比较来判别稳定性或确定稳定域。这种判别稳定的方法统称为暂态能量函数法(transientenergyfunction，TEF法)。它的特点是从能量的观点来判别稳定性，而不是根据系统运动的轨迹(物理量随时间变化的曲线)来判别稳定性，从而计算量少，速度快。直接法的最大优点：(1)能计及非线性，适应较大系统。(2)计算速度快，不必逐步积分求摇摆曲线，而是通过能量判据来判别稳定。(3)能给出稳定度。直接法的两个较大缺点：(1)模型较简单。目前真正实用的软件采用发电机二阶经典模型，恒定阻抗负荷，尚不能计及励磁系统对稳定的作用。(2)分析结果容易偏于保守。这是因为李雅普诺夫直接法相应的稳定准则是充分条件，而不是必要条件。此外在系统很大，或受到一系列扰动(如重合闸过程)时，直接法的速度、精度较差，故目前仅用于判别第一摇摆稳定性。单机无穷大系统的直接法暂态稳定分析本节介绍在最简单的单机无穷大系统中如何构造暂态能量函数、确定系统临界能量，并进行暂态稳定分析。对于图9-2中系统，若发电机采用经典二阶模型，忽略原动机及调速器动态，忽略励磁系统动态，则系统完整的标幺值数学模型为（9-1)式中，为转子角速度和同步速的偏差；为转子角；，为机械功率；为电磁功率，为发电机内电势及无穷大系统电压间的系统总电抗(设电阻为零)；其中E和U为常数；M为发电机惯性时间常数(即)。设图9-2中系统在稳态时，功角特性为；在t=0时，线路上受到三相故障扰动，功角特性变为，此时发电机加速，转子角增加，直到时，切除故障线路，功角特性变为。图9-2单机无穷大系统直接法分析要求研究的问题是：如何用直接法判别故障切除后系统的第一摇摆稳定性。显然对故障后的系统，稳定平衡点为S(对应)，不稳定平衡点为U(对应)，在这二点上，均有电磁功率平衡，即。下面定义系统的暂态能量函数，设系统动能为(注意为与同步速之偏差，故稳态时=0)（9-2)显然可以将式(9-1)的加速方程的二边对积分而求得故障切除时的动能，即（9-3)若定义系统的势能为以故障切除后系统稳定平衡点S为参考点的减速面积(反映系统吸收动能的性能)，则故障切除时的系统势能为（9-4)从而系统在扰动结束时总暂态能量V为（9-5)若将系统处于不稳定平衡点U(转子角)时，系统以S点为参考点的势能作为临界能量(此值相当于滚球系统的=mgH)，则（9-6)和滚球系统相似，可作稳定判别如下。当，即图9-2中面积(A+B)<面积(B+C)，或者说面积A<面积C时，则系统第一摆稳定；反之若，则系统不稳定；时系统为临界状态。显然这和等面积准则完全一致，是一个准确的稳定判据。这里假定系统有足够的阻尼，若第一摆稳定，则以后作衰减振荡，趋于S点。

下面对此作一个简单讨论。(1)从上面分析可知，最关键问题是如何构造(定义)一个反映系统稳定性的暂态能量函数，以及如何正确确定系统的临界能量，并以此作为稳定判别的标准。(2)直接法分析稳定时，不必逐步积分求，而只要求出和，计算，并设法确定，通过比较与来判别稳定。(3)对单机无穷大系统，UEP点不仅功率平衡()，且系统在这点势能达最大值(与最大减速面积对应)，即，故既可用来求解及算，也可搜索→max点，并取。在多机系统中前一种途径又称UEP法。后一种途径又称势能边界面法，即PEBS法(potentialenergyboundarysurface)。在多机系统中也可把系统作单机——无穷大等值，再用上述等面积准则判稳，又称EEAC法(extendedequalareacriteria)。(4)用本方法只能解决第一摇摆稳定问题。(5)在分析中一般把转子阻尼忽略，使结果更保守些。(6)可以用作为系统稳定度的定量描述，从而对事故严重性排队，以便作动态安全分析，实际应用中使用的是规格化的稳定度，通常定义（9-7)文献建议(7)暂态能量函数同元件模型紧密相关，当采用复杂的元件模型和计及调节器动态时，相应的暂态能量函数将十分复杂，直接法暂态稳定分析过程也将复杂化。对于图9-2系统，若在状态空间，即-相平面上作故障切除后系统的定常能量曲线族，即由（9-8)作曲线，式中为故障切除后系统的视在电抗；C为参变量。该曲线族见图9-3所示。对系统能量取微分可知而由运动方程可知，在故障切除后系统运动轨迹上，故其运动轨迹上dV=0，V=const．，即在故障切除后系统运动轨迹必为上述定常能量曲线族中一支。当系统稳定时，由图9-2可知，发电机转子将围绕点摇摆，可以证明在相平面上其轨迹为一围绕点的封闭曲线。设系统临界失稳，则故障切除时，系统()到达临界轨迹，并沿临界轨迹运动而失稳；当系统转子角达时，(图9-3中T点)。显然当故障切除时系统相应的()位于图9-3阴影域内任一点，系统均为稳定的；若位于此域外，则系统不稳定。而临界轨迹所对应的系统总能量即为临界能量()，相应故障切除时间为临界切除时间。在(,0)这一点，系统动能为0()，全部转化为势能，该势能与最大减速面积对应反映了临界能量。图9-3相平面上V=const．曲线族以上介绍了单机无穷大系统的暂态能量函数的定义及临界能量的确定，以及系统暂态稳定判别准则(它和等面积准则完全一致)，并在相平面上作了相应讨论。扩展等面积法(EEAC)暂态稳定分析直接暂态稳定分析的RUEP法和PEBS法都是在多机系统条件下进行稳定分析的，而EEAC法则在单机无穷大等值条件下进行稳定分析，其特点是速度特别快，缺点是在一些特殊情况下，稳定分析的精度问题有时较突出。下面对它作概要介绍。元件模型假定，即发电机为经典二阶模型，负荷线性，网络线性，忽略原动机、调速系统及励磁系统动态。设系统导纳阵收缩到只剩发电机内节点，则系统同步坐标下的数学模型如式(9-9)所示。即：（9-9）下面用EEAC法分析系统发生简单故障，在故障切除后，系统的暂态稳定性。EEAC法分析假定系统失稳为双机模式，设系统主导UEP或失稳模式已知，把受扰严重的机群称为S，其余机群称为A，在同步坐标基础上定义S及A机群的等值角度及速度为及 （9-10)设S机群中各机组的转子角间无相对摆动，A机群类同，即（9-12)在此假定上，对全系统作双机等值，并最终化为单机无穷大系统，用等面积准则判别稳定。显然双机等值时，惯量中心S和A的运动方程为（9-13)由式(9-12)假定，若再进一步简化，设，可知（9-14）同理（9-15)式中，为Y阵中元素。进一步作单机对无穷大系统等值，取单机转子角为(无穷大系统转子角恒为零，作参考点)由式(9-13)可知（9-16)若定义单机惯性时间常数则式(9-16)改写为（9-17）式中将式(9-14)、式(9-15)代入表达式，并经整理化简，可得表达式为（9-18）式中从而系统的单机无穷大等值数学模型为（9-19）式中，；的定义见式(9-11)；；计算式见式(9-18)。图9-11单机无穷大等值系统功角特性正常运行时曲线；(b)第一摇摆稳定分析示意图根据式(9-19)，可在功角平面上作出功角曲线如图9-11（a）所示。若设故障前系统的功角特性为(见图9-11(b))，故障时为，故障后为，相应的功角特性表达式为（9-20)各时段及可由式(9-18)及相应节点导纳阵参数确定。可推导得图9-11（b）中故障前稳定平衡点为（9-21a)故障后稳定平衡点为（9-21b)故障后不稳定平衡点转子角为。从而图9-11（b）中加速面积及最大减速面积分别为（9-22)式中，为故障切除时等值转子角。则可据式(9-22)用等面积准则判别第一摇摆稳定性，并可相似地定义稳定度 （9-23）为计算及，都需要计算故障切除时单机无穷大等值系统的发电机转子角，由于实际分析中已知的是故障切除时间，因此要根据单机无穷大等值转子运动方程(9-19)计算，其中的与系统故障时功角特性即式(9-20)的第二式相对应。则对于（9-24)可将区间[0，]分为若干时步，当小时可取作一步，用高阶泰勒级数法快速计算时刻对应的。也可在多机系统下，用高阶泰勒级数法计算对应的发电机转速和转子角，再作单机无穷大等值得，则更为准确。设计算步长为，而计算区间为。若记表示对时间的m阶导数，并设时刻的已知，则的计算式由式(9-24)导出(为与同步速偏差)。(1)由梯形积分法则，当≠0时(9-25a)当=0时，，不必计算。(2)（9-25b）(3)（9-25c）当=0时，，则，不必计算。(4)当=0时，，则根据式(9-25)，可用四阶泰勒级数近似计算如下(也可导出更高阶泰勒级数计算)：（9-26a)当=0时，因，故上式可简化为（9-26b)若取=，即一时步计算到故障切除，则（9-27）对式(9-27)引入修正因子和，以便在较大时修正用四阶泰勒级数计算引起的误差，则式(9-27)可改为（9-28)式中，和为经验性修正因子，通常取=0.3~0.6

，另外有=1。和引入的机理可参阅有关文献。当系统发生简单故障，故障切除时间不长时，用式(9-28)计算是十分简捷的。若要计算，则只要据式(9-22)求解使=，然后据式(9-28)求解相应的即为，可用迭代法或插值法求解。在简单模型及简单故障条件下用EEAC法进行暂态稳定分析的步骤如下。(1)输入潮流计算结果，计算初始值。(2)形成系统故障前、故障时、故障切除后的节点导纳阵，分别追加负荷阻抗及发电机支路并收缩到发电机内节点。(3)据扰动计算时各台机的加速功率和惯性时间常数之比，据此排队，决定可能的失稳模式。(4)对每一种可能的失稳模式作如下计算：(a)据式(9-18)及式(9-19)分别计算式(9-20)中的参数；(b)据式(9-21)计算故障前稳定平衡点及故障后稳定平衡点和故障后不稳定平衡点()；(c)据式(9-25)和式(9-26)用多步泰勒级数计算或据式(9-25)和式(9-27)或式