现代控制理论试题

现代控制理论

［填空题］

1单输入单输出离散时间系统的差分方程为

y（k+2）+5y（k+1）+3y（左）=r（k+1）+2r（k）回答下列问题:）求系

统的脉冲传递函数；（2）分析系统的稳定性；（3）取状态变量为,

三（左）=）'（左），0（左）=再（4+1）-「（左），求系统的状态空间表达式;（4）分

析系统的状态能观性。

参考答案：

（1）在零初始条件下进行z变换有：

（z」+5z+3）y（z）=（z+2）K（z）

系统的脉冲传递函数：鲁J：?、

K（z）z?+5z+3

（2）系统的特征方程为

D（z）=z1+5z+3=0

特征根为Z］=-4.3,z2=-0.7,|zj>1,所以镶।散系统不稳定。

（3）由再（左）=j（左），一伏）=再（无+1）—广（左）,可以得到

电（左+1）=演（k+2）-，（左+1）=双左+2）-，（左+1）

由已知得

y（k+2）-r（k+1）=2r（k）-5y（k+1）-3y（k）=2尸（左）一5天（左+1）-3天（左）

=2r（左）-5（左）+/•（切-3再（k）=-3再（©—5巧（©—3,（左）

于是有：

W（左+1）=-3再（左）-5七（左）-3r（k）

又因为

演（左+1）=Xj（/c）+r（i）

所以状态空向表达式为

再（左+1）］/01］『再（左）+1r（k）

（左）］［一毛（砂

w+1-3-51一3

网小Ci

（4）系统矩阵为

G=[\,输出矩阵为c=[l0],cG=\l0]:\=[01]

一3-5T-5

能观性矩阵为2=1」=1rank2=2,系统完全能观。

cG01

［填空题］

x1=x1-x2cosx2

2设有一个2阶非线性系统，其状态方程为〔三=4,判断该系统

在坐标原点处的稳定性，并证明你的判断。

参考答案：

【解】此系统在坐标原点处不稳定。

1证明】

取李雅普诺夫函数0(x)=4+4，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为:

底（X）=2再X+2巧^=2不（再—x,cos电）+2x；=2x^一2毛毛cosx,+2^

显然是正定的，所以该系统在坐标原点处不稳定。

［填空题］

00］「广

X=X+U

1-6J|_0_

3某系统的状态空间表达式为J，=［0〔I"设计一个全维状态观测

器，使观测器的两个极点均为T0。

参考答案：

设全维观测器方程为

口-卧"H；卜第

观测器特征多项式为

ded"-；+「"6+。”

观测器期望特征多项式为

(A+10)2=A2+20A+100

根据多项式恒等的条件得

[6+/2=20

[4=100

ff,=100

解得上，=14，全维状态观测器方程为

二「0-100]_「1]「100一

[填空题]

4开环系统的结构如图所示:

使闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间ts=5.65秒(△=().02),超调量为

o,,=4.32%,其中一个闭环特征值为-5。求状态反馈控制律的数学表达式。

参考答案：

将上述方块图该画成模拟结构图，如下:

=x、

x2=-5X2+5X3

写成状态空间表达式为＜

x3=-x3+2u，即

0

x=0

0

闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间％=5.65秒（△=0.02）,可得:

4…

=-=5.65,如心0.707,

超调量为，＞=ek=4.32%,解得，生0.707,所以例会1。期望闭环特征多项

式为

2

（s+5）（s+2^15+比卜卜+5）仔+0$+1）

/*（5）=$3+（5+&卜2+（1+5回5+5

设状态反馈控制律为〃=[%k2k3]x,代入可得闭环系统的状态方程

010

X=0-55X

2kl2k2k3-1

闭环特征多项式为

$00010、

，($)=det("-,4)=det000—55

002句2鼠X2&-1_,

—10

=det0s+5-53:

=5+(6-2^3)s+(5-10^2-10^)5-10^

—2左]—2色s—2ki+1

6-2曷=5+亚=6.414

45-10&-10&=1+50=8.07

根据多项式恒等条件可得:

-10^=5

左］=-0.5

&二一°」，状态反馈控制律为

解得：1

#3=-0.207

u=k2^3]x=-0.5x1-0.1X-,-0.207X3O

［填空题］

1

x(0)=

5设一个线性定常系统的状态方程为文二/工，其中若-1

21

x(t)=双0)=x(t)=

-"1。试

时，状态响应为-时，状态响应为

丁

文(0)=

-3」时的状态响应

求当

参考答案：

系统的状态转移矩阵为齐⑺=/「，根据题意有

合并得

求得状态转移矩阵为

-2

1

-e-2t+2e~t-2。-”+2£/

二户_r

当双0)=；时的状态响应为

_41—eT"z+2。-'—2。-"+2。-'1

x(?)—er=

_3」［e-x-e-r2e&-，」［3

_卜九一”+8二-

一7产一4。-,

［填空题］

工（左+1）］「1%伏）0

6离散系统的状态方程为［七段+1）」一12一3必⑹『Iu(k)

（1）是否存

在一个有限控制序列｛"（°）"（D…"（A不，使得系统由已知的初始状态xi

（0）,x2（0）转移到X1（N+1）=0,x2（N+1）=0?试给出判断依据和判断过

程。（2）若存在，求N的最小值及控制序列m°）“⑴-"（N）｝。

参考答案：

(1)由题意，

G=：二，2=伊GA]=:二，皿照=2,由系统能控性的定义可

知：存在有限控制序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零。

(2)由系统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的〃(0),“⑴，使

得x(2)=0,即N的最小值为lo

根据状态方程x(k+1)=Gx(左)+hu(k)进行递推如下：

双1)=&(0)+筋(0)

双2)=Gx(l)+hu(Y)=G[Gx(0)+Aw(0)]+hu(T)=G、(0)+Ghu(,0)+hu(T)=0,

由上面最后一步可得

Ghu(Q)+hu(T)=-G1x(Q)

即

卜G%(。)

叱「"((0D)i卜”2)

成1).2I。101-4010天(0)

=-^Gx(0)=10_x(0)=71k(0)_

“(0)-lo/—18

即u(0)=-18再(0)+7第(0),u(T)=-40再(0)+1。电(0)。

[填空题]

-011「0-

x=x+u

0-5J[100

7设系统的状态空间表达式为y=U°lx若该系统的状态X2不

可测量，试设计一个降维状态观测器，使降维观测器的极点为-10,要求写出降

维观测器动态方程，并写出状态灯的估计方程。

参考答案：

将状态空间表达式写成:

W=X2

<x2=-5x24-100u

J=巧

进一步写成

X-,=-5.X-,+100〃

<

=y=x2

设降维观测器方程为

&=(-5—/)x,+100u+1。)

x2=(-5-Z)X2+100〃+/

引入巾间变量Z=.^一枚，两边求导数得

小一斤=(一

z=^2-Zy=(-5-7)X2+100〃+5-，)0+100zz

z=(-5-/)(z+Z>,)+100z/

z=(-5-7)z-Z(5+Z)>;+100z/

根据题意，降维观测器的极点为-10,即—5-7=-10,解得/=5。

最终得到降维观测器的动态方程为

z=-10z-50y+100?/

状态估计的表达式为范=z+5y。

［填空题］

X=W-3再

Xj=-*一考+孕—

8某2阶非线性系统的状态方程为I'*-汇+3,证明该系统在坐标

原点处渐近稳定。

参考答案：

取李雅普诺夫函数V（x）=M+年，显然是正定函数；此外，沿着状态轨线的导数为:

>（x）=2再吊+2巧打=2毛（£—3%|4-2x,'-宕+个个1

-6jq+2x；,：-1+；%

令函数则均-2%+3p=0,关于再的二次方程的根的判别式为

再+3

A=4-12y*>0,/W9,-»贝lj有-^^-1W-l+y,所以表达式

T+%恒小于零，因此，r（x）为负定。所以该系统在坐标原点处渐近稳定。

汇+3

［填空题］

9已知某系统微分方程为：y+^y+3y+y=u+5u（1）写出系统的状态空间

表达式的控制器规范型（即能控标准I型）。（2）画出相应的模拟结构图。

参考答案：

（1）写出系统的状态空间表达式的控制器规范型：

（2）画出相应的模拟结构图:

［填空题］

10判断下列系统的能控性与能观性。（1）判断

能控性。（2）判断能观性。

参考答案：

1520'

（1）判断能控性：其能控性矩阵Q=[bAbA2b]=3

c1059

129158

1520

因为31059=-666工0,即Qc满秩，所以系统是完全能控的。

129158

152

（2）判断能观性：其能观性矩阵Qo==14309

crA28216748

152

因为14309=23工0,即Qo满秩，所以系统是完全能观的。

8216748

[填空题]

11有离散时间系统如下，求中（k）、x（k）

11

卷(左+1)]=201网号一

左+1)1=21&知1」岛(初

L8X.(0)=-1,x2(0)=3其中输入5

(k)=u2(k)=1

参考答案：

35

n==

方法一：解:-8■Z-8

-11

.•.令其左）=厂1£无）即加T）=TX切代入原方程得:

］无+1）=7'-1GT^）+LHJ/K）

3_1311

010

8i（左）+[4（无）=8还）+2JM

515

000

8.IJ8.,22.

~~~i-1~

i左）=就左盲o）+Z（P-J-1）

j-o

又•.•涤）=（LGT，=；（o）=L£o）=J

,2

且£死。即依-/-1）=/

）■。J-0

0

0_2_

：.(p(k)=Tq)(k)TA=

-112_

0

2.

1

£左)=T的)=

18

+—

-S3

《3

=>X,=—,/s=一

88

，545

[)=%+(%

Ai=%+Axax降衿-舒

/=%+9%

A/=a0+4%

、4=4)Y»

,i,,、「一fiinoTi

x(左)=d£M0)+Z4尿(左-J-1)=*]2+ZK)c[1

j-oL5JXLui」LL

［填空题］

=5%

<

12试用V(x)=x：+xj研究如下系统1右=_。(公+1氏—5巧当220时在平衡

点的稳定性。

参考答案：

由题可知「(X)>0,且『(X)可对X］和x?求偏导数。

(1)确定系统的平衡点。由羽=0和42=。可得系统平衡点为/=0，即原

点°

F(x)=2x1x1+2X2X2

，­=lO.r.x,+2x,［-a(x：+-5x,］

(2)计算P(x)。12l：J21J

=lOx^-2a(阳+吗)阳-IOXR?

=-2a(Xi+x；)x；

(3)讨论它(x)是否为负定。

当a>0时，%x)为半负定。这时需考虑、产0,与=0时，P(x)是否恒为0。

若假设火。)恒为0,则要求三恒为0；而三恒为0,又要求上2恒为0。但从系统状

态方程x2=-a(x；+.彳)三一5%可知，若要求尤2=0和三=0,则须满足占=0的

条件。这就表明，在/片0时，匠。)不可能恒等于0。这时系统在原点处是渐近稳

定的。又当||x|f8时，P(x)f8,所以系统在原点处是大范围渐近稳定的。

当a=0时，匠(x)三0,无法用P(x)=x；+¥证明在原点处是渐进稳定的。但

「051

这时系统已变成线性系统？==X,其状态系数矩阵的特征值为±5/,所以

-50

系统存在持续振荡，因此原点处是在李亚普诺夫意义下稳定的。

［填空题］

%)=10(5-1)

13已知系统的传递函数为：s(s+l)(s+3)1、求出系统约旦标准型的

实现；2、画出相应的模拟结构图。

参考答案：

-1010-20

①++

w⑸3F?+13(5+3)

00

X=0-1

00

②其模拟结构图如下:

［填空题］

G")=--——

14已知系统的传递函数为丁+6s'+Us+61.试确定a的取何值

时，会使系统成为不能控或不能观测的？2.在上述的a取值下，写出使系统

为状态能控的状态空间表达式；3.在上述的a取值下，写出使系统为状态能

观测的状态空间表达式；4.求a=3时，系统的一个最小实现。

参考答案：

1.因为系统的传递函数

G(s)=

1+6/+11S+6(s+l)(s+2)(5+3)

因为系统特征值为Si=-1、邑=-2、s3=-3,即只要。=1、2、3时，上述传

递函数中存在有零极点对消，则此时系统就不完全能控或不完全能观测。

2.由上述系统的传递函数，依据公式，其传递函数的一般式为：

w（5）=C（S7一4尸。=G（5Z-4）-1b0=、+一+1廿一+-+4$+，

s+%s+•••+.5+%

应用公式

0100

一-a1一生…一a«.i

Q=应A

这里，％=6、q=11、a?=6,p.=a、尸i=l、£=0,则可直接写

出其能控标准形实现为

-o1

x=00

—6—11

J=[a10k

3.由上述系统的传递函数，应用公式

00…0一%

10…0一W

•'

=-4、

012b

•三0•

0・一-01一a,

1=[0---01]

7^里，QQ—6、q=11、a1=69BQ=a、4=1、色=0,则可直接写

出其能观标准形实现为

01-6J[0

y=[00l]x

4.当a=3时，系统的传递函数为

~、s+311

(7($)=-----------------=------------=---------

(s+l)(s+2)(5+3)(s+1)(5+2)$*+3$+2

上式若按能控标准形实现，可直接写出其中一个状态方程为

丁=[1*

r]「01]

可以验证：rankQc=ranl^BAB]=rank=2系统完全能控

c1rioi

rankQ^=rank=rank=2系统完全能观，所以它是系统其中的一个

CA\|_01

最小实现。

［填空题］

15系统的模拟结构图为:

（1）写出受控系统的控制器规范型表达式；（2）加入状态反馈阵

&'=［勺仆后，写出闭环系统方程；（3）写出希望的闭环特征多项

式；（4）在系统模拟结构图中填上相应的数值。

参考答案：

答案及评分标准：

(1)写出受控系统的控制器规范型表达式:

因为它是控制器规范型，所以可以通过状态反馈对闭环系统的极点进行任意配置O

(2)加入状态反馈阵/7=[品&左』后，闭环系统方程为：

01

x2=00

身K-1自一5

其闭环特征多项式为：/(2)=x3+(3-fc)x2+(5-占)2+Q-%)

(3)希望的闭环特征多项式为：

/*(A)=(A+2XA+3XA+10)=x3+15z:+56z+60

令/(z)=/*(x),就可得到：:=瓦区fc2]=[-59-51-12]

(4)在系统模拟结构图中填上相应的数值：

[填空题]

16已知系统传递函数，求出系统的约旦标准型的实现。

6(s+l)

%⑶=

s(s+2)($+3)2

（1）把原传递函数展开成部分分式形式

〜、6(5+1)-4-10/331/3

砥$)=-----------T=-------------T4----------------F------------F——

s(s+2)(s+3>(s+3y5+35+2s

（2）直接写出其并联型对角阵实现形式:

参考答案:y=(-4-10/33l/3)x

［填空题］

17实际被控系统通常是连续时间系统，但计算机控制却是一种基于离散模型的

控制，因此需要对连续时间系统做离散化。那么请问（1）一个能控能观的连

续时间系统，其离散化后的状态空间模型是否仍然保持能控能观性？（2）以

"011「0〕

X=X4-U

{l_T°JL1

如下线性定常系统为例：=h0k显然它是状态完全能控且能

观测的。并已知此系统的状态转移矩阵为

s-1costsint

软)=eAt=*乳-⑷"=HI].sin,cost」确定使相应的

离散化系统能控且能观测的采样周期的范围。并由此说明你所给出（1）的观点

的理由。

参考答案：

(1)不一定。

(2)由公式有

costsint

G(T)=①(丁)=

-sintcost

T

--

costsinr0'costsinto-1-cosT

")=(孙)他=1；dt__

-sin，cosr11-sintcost1sinT

——一0————

要使系统状态能控，则能控判别阵的行列式非零，即:

1-cosTcosT-cos2T+sin*T

国G“]|==2sinT(cosT—1)r0

Ml=|sinT2sinTcosT-sinT

要使系统状态能观测，则能观测判别阵的行列式非零，即：

一10

N===sinTw0

11|_CGjCOSTsinT

联立上2式可知，要使离散化后系统能控且能观测，丁必须满足:

T手k元,(k=1,2,---)

显然，离散化后系统并不能保证任何位置都能控且能观测。

［填空题］

18已知受控系统传递函数为s(s+2)(s+3),请设计状态反馈阵

二=卜。乂左』，使得闭环极点位于为：X,=-1.26^1.29,X2=-

1.26+jl.29,X3=-20O(1)写出系统的状态空间表达式的控制器规范型。

(2)求出加入状态反馈阵上，=卜。占左』后闭环特征多项式。(3)确定

希望的闭环特征多项式。(4)计算其状态反馈阵。

参考答案：

(1)写出系统的状态空间表达式的控制器规范型:

2s+32s+3

s(s+2)(s+3)s3+5s2+6s

k[320]x

(2)求出加入状态反馈阵F=k0仆左』后闭环特征多项式:

200'01

/(2)=|2Z-U+b^r02000

001。—6

=，/+(5—左J：/+(6—4])2—&

(3)确定希望的闭环特征多项式为：

/*(A)=(A-A1)(A-A,)(A-A3)=(X+1.26-；1.29)(2+1.26+j129)(2+20)

=23+22.52/2+53.652+65

(4)计算其状态反馈阵：

令/(2)=/*(2),就可得到:

1=[勺k、左』=[-65-47.65-17.52]

[填空题]

19已知两个系统Si、S2的状态方程和输出方程分别为:

,r011[0]

S]：Xj=,>'!=[2l]Xj

—3-41

S2：x2=-2X2+U2,y2=x.若两个系统按下图方式串联，设串

联后的系统为So

图示串联系统的状态方程和输出方程。2.分析串联后系统S的能控性和能观

性。

L因为〃=%〃2=必，y=>2,因此：

北2=-2电+川=[2l]xI_2W

%=为

串联后系统S的状态方程为:

2.串联后系统的能控矩阵：

"01-4

M=[bAb/%]=1-413

01-4

明显地,rankM=2<3,则系统不是完全能控的。

能观矩阵:

参考答案：明显地，S7fcV=3,则系统是完全能观的。

［填空题］

JF（5）=-__——

20已知受控系统的传递函数为：s3+35+2s,请设计状态反馈控制

器，将闭环极点配置在-2,T+j,-1-j处，并在系统模拟结构图中填上相应的

数值。

参考答案:

(1)写出受控系统的控制器规范型:

它是完全能控的，所以可以通过状态反馈对闭环系统的极点进行任意配

置。

(2)加入状态反馈阵二=［品除后，闭环系统方程为：

101

右00

左一2

闭环特征多项式为:

32

/(z)=X+(3->t2)x+(2-^)2-

(3)希望的闭环特征多项式为：

/*(z)=(z+2Xx+1-/X2+1+J)=A3+4A2+6A+4

令/(A)=/(A),就可得到：F=底区&］=［一4-4-1］

(4)在系统模拟结构图中填上相应的数值。

［填空题］

(01)

A—，求e"s

21已知V-2~3J

参考答案：

解法一：根据小的定义直接计算

*=I+At+—A^t^H-----F—Antn+■■■

2!n\

1在

—3j3!

一方+3产一2户+…1-3f4---12———+…

I3

解法二：变换/为约旦标准型

求特征值

IIA一1

=(2+1)(/1+2)=0

向-止32+3

解得4=-14=-2

求的变换阵

解法三：拉氏反变换方法

—1、

si-A=

s+3,

2111、

3-N)T=5+1s+2s+1s+2

-22-12

----------1--------------------------1-----------

1S+ls+2s+1S+2.J

=L[W]]=

［填空题］

22

22试用V(x)=3(X,+X2)研究如下系统在原点的稳定性。

入f-xZ+x；)

X2=一再+x；)

参考答案：

由题可知F(x)>0,且r(x)可对巧和必求偏导数o

(1)确定系统的平衡点。由无=0和左=0可得系统平衡点为

*1=巧=0,即原点。

(2)计算外力。

F(x)=6巧力i+6X2X2

=6/区-Xj(xf+4：)］+64［一巧—x,(xi+x：)］

=-6(^+x；)2<0

(3)判断原点的稳定性。由歹(力>0和『(x)<0可以断定原点是渐进稳定的。

当国T8时，P(X)f8,所以原点是大范围渐进稳定的。

［填空题］

23将下列状态方程化为对角标准型。卧[:

(1)求特征值

I12一1

=(A+5)(2+l)=0

1152+(5

解得4=-14=-5

(2)求特征值

a.4=-1,有

—1-叶％］叫铤彳〜f1,11

(却-幺)匕=§

5JLvuJL°JLvu

b.4=-5,有

(如-4)*2=；

(3)构造尸，求尸】

尸=［匕%］=:11i「5/41/41

,P-1=

—5—1/4—1/4

(4)求N和一

01_】「

A=P~ZAP=一B=p-1B=

0-5-

得到时角标准型：

二「T0\-1/4-

X=X+u

参考答案：L0一5一—1/4

［填空题］

24判断下列系统的能控性和能观测性并说明理由。

100000

0-500042

00-310x+01

000-3000

0000-210

01—101

y=X

02010

参考答案:

-31

(1)能控性判断A阵巾约当块最后一行对应的B阵相应行为零

0-3

向量，故系统不完全能控。

1

(2)能观性判断A阵中约当块第一列对应的C阵相应列为零向

0-5

量，故系统不完全能观。

［填空题］

%=-Xj+2X^X2

<

25试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数：二一G并

分析平衡状态Xe=O的稳定性。

参考答案：

(1)李雅普诺夫函数V的梯度设为：

▽/=「4再+咤］=?、

41%+02212"匕,

(2)则:V=(yy)TX=(4丙+氏+(%演+，田)*2

(3)选择参数

X

取a1］=l,a=2,%=%=0,则有：V--xf(1-2XJX2)-2.Xj

则当1-2*%>0时，r<0o

注意到▽/=:满足旋度方程萼=等=0

(4)所以可知：

P=(*匕出】+Jo▽匕笈=J°x"1+12x2dx2=/；+右

是正定的，

因此，在1一2X江2>0范围内，Xe=0是渐近稳定的。

［填空题］

26系统差分方程为：+3)+5武左+2)+3］a+1)+y®=u(k+T)+2u(k)

(1)写出系统的状态空间表达式的控制器规范型。(2)画出其模拟结构图。

参考答案：

（1）写出系统的状态空间表达式的控制器规范型:

0

於+1）=0

-1

y（左）=［210］式6

（2）画出模拟结构图:

［填空题］

%=#

27已知系统方程为：〔&=-（1一|毛|）.一毛（1）求系统的平衡态。

（2）分析系统在平衡态处的稳定性。（3）画出系统运动轨线示意图。

参考答案：

（1）求系统的平衡态：

.\1「巧〕roi

x==II=0=x.=

一卜2」［-（1-|巧|）士-项」-LoJ

（2）分析系统在平衡态出的稳定性：

试选Liapunov函数：。（切=,贝U：r（x）=-2xj（1-|jq|）

当㈤=1时，r（x）=o；

当上|＞1时，r（x）＞0,即在丐＞1和七＜-1的两边区域，系统的运动轨迹是越来越

远离原点，即这两边区域是不稳定的区域;

当上|＜1时，r（x）＜o,即在-1＜毛＜1的中间区域，系统的运动轨迹是越来越靠近

原点，即中间区域是稳定的区域。

（3）画出系统运动轨线示意图：

i严

-101M

不稳定区域稳定区域不稳定区域

［填空题］

■01°°

x=0-11x+0\u

28已知受控系统状态方程为：L0-1-J-IJ设计状态反馈阵，将

极点配置在-2,-3,-4处。

参考答案：

(1)判断系统的能控性:

-005

2=卜/"/引=05-35

5-30175

...|°』=-125工0,二2满秩，系统完全能控，状态反馈可任意配置极点。

(2)求出加入状态反馈阵式=民占后闭环特征多项式:

A000100

/(x)=|x7-(J+5^)|0A00-110［自kikJ

00A0-1-65

32

=A+(7-5k.)A+(7-5^-5^)2-5*0

(3)确定希望的闭环特征多项式：

/*(A)=(X+2XA+3X^+4)=A3+9Z:+26X+24

(4)计算其状态反馈阵：

令/w=/*u),就可得到：必=区区心］=|"一=一：

［填空题］

,0e-rXj

29已知某线性时变系统的状态方程为：［文2」0求出系统的

状态转移矩阵中(t,0)O

参考答案：

0e-rrr

3=卡°,色（也山⑺公

因为X”)①1G0)=鼻&0)/(。，即/⑺与①1QO)满足乘法可交换，所以①/0)=。

nA-

设△=：!­：则①«,0)=；:。下面计算「,：

-A0

由卬-①1卜0可计算出中1的特征值：A1-：=±j'A

设：力(必=%/+々用，

a=cosA

/*=ao+a/i0

则有：、=<sinA

「=ao+a-：al=-

cosAsinACOS（l-°-r）sin（l-^-r）

所以，①£0)=

-sinAcosA-sin（l-e-r）cos（l—0-，）

［填空题］

_2s+3

%Gz)s=------------

30已知受控系统传递函数为s(s+2)"+3),综合指标为:

_\t_3一5

标W5%,‘秒，计算其状态反馈阵。

参考答案：

⑴求出系统的状态空间表达式的控制器规范型:

2s+326+3

匕(s)=

s(s+2)(s+3)1+5『+6s

⑵求出加入状态反馈阵必=底kx后闭环特征多项式:

A00010

/(z)=|x/-(J+i^r)|0A00010[品9Ml

00A0-6-5

32

=Z+(5-k2M+(6-kj)A-k§

⑶确定希望的闭环特征多项式：

a

'c=e标<5%4>0,69取<=0.7

3V㈡-

取%=1.8

IC%

所以，一对主导极点为：4,2=-4吗士"孑'=-L26±/L29

因为卜1』=>8,所以取第三个极点为久3=-20

所以，希望的闭环特征多项式为：

/\A)=(A-A1')(A-A2)(A-A3)=(A+1.26-j1.29)(A+1.26+几29乂幺+20)

=A3+22.522:+53.65Z+65

(4)计算其状态反馈阵：

令/(A)=/(A),就可得到：UQ&fc]=[-65-47.65-17.52]

［填空题］

'211「01s”

X=X+U,V=10llx

31系统1°2」L-1J”能控的状态变量个数是()，能观测的状态

变量个数是。。

参考答案：2；1

［填空题］

32给出线性定常系统x(%-l)=念因-%(粒)‘(灯=&(尢)能控的定义。

参考答案：

若存在控制向量序列〃伏),即=1),…Mk+N-1),时系统从第1步的状态x(k)

开始，在第N步达到零状态，即x(,V)=O,其中N是大于0的有限数，

那么就称此系统在第4步上是能控的。若对每一个左，系统的所有状

态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简.称能控。

［填空题］2

33已知系统1、2的传递函数分别为gi