2024年上海市四区联考中考数学备考试卷

第1页（共1页）2024年上海市四区联考中考数学备考试卷一．选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台已全面建成，在全国31个省份和新疆生产建设兵团全域上线，医保信息化标准化取得里程碑式突破．数1360000000用科学记数法表示为（）A．1.36×107 B．13.6×108 C．1.36×109 D．0.136×10102．（4分）下列计算正确的是（）A．2a2+a2＝3a4 B．a6÷a2＝a3 C．a6•a2＝a12 D．（a6）2＝a123．（4分）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）A． B． C． D．4．（4分）已知两圆的半径分别为一元二次方程x2﹣7x+12＝0的二根，圆心距为2，则两圆位置关系为（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切5．（4分）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，BC＝7，CD＝6，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A． B． C．10 D．6．（4分）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝二．填空题（共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）分解因式：xy3﹣xy＝．8．（4分）毛主席在《七律•长征》中写道“更喜岷山千里雪，三军过后尽开颜．”《七律•长征》写于1935年9月下旬，10月定稿．1934年10月，他们跋山涉水，翻过连绵起伏的五岭，四渡赤水，越过乌蒙山，飞夺沪定桥，爬雪山，最后翻过岷山，历经十一个省，是人类史上一个伟大的事件．岷山，自中国甘肃省南部延伸至四川省西北部的一褶皱山脉，测量得长征的路线全长近似于岷山全长的25倍，由此估计长征的路线全长大约为里．9．（4分）方程的解为．10．（4分）已知一组数据8，9，x，3，若这组数据的平均数是7，则x＝．11．（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．12．（4分）在x2+（）+4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．13．（4分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009＝．14．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，如果向量，为.（用向量表示）15．（4分）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是．16．（4分）反比例函数与二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的图象的交点个数为．17．（4分）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将CD边沿CF折叠，再将BC沿CD'折叠，使得B点恰好落在CF边上的B′处折痕与AB边交于E．若正方形边长为，则△AEF的面积＝．18．（4分）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，AB＝4，AC＝AD＝2．三．解答题（满分0分）19．计算：20．解方程组：．21．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC（1）求证：AB＝AF．（2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．22．【背景介绍】烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头【问题情境】距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分（单位：m）．距地面的竖直高度为h（单位：m），获得数据如表：d/m010203040506070h/m0.59.516.521.524.525.524.5k【探究过程】小勇根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整；（1）k的值为，（2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结．（3）请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？（4）烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？23．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．24．如图，直线y＝﹣2x+4交y轴于点A，交抛物线（3，﹣2），抛物线经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，作PE⊥DB交DB所在直线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE为等腰直角三角形时，求P点坐标；（3）在（2）的条件下，连接PB，直接写出翻折后点E的对称点坐标．25．我们不妨定义：一组对边平行且一组对角互余的四边形称为“求真四边形”．（1）如图①，四边形ABCD是“求真四边形”，AD∥BC（α＜90°），请用含α的代数式表示∠D；（2）如图②，AB是半圆O的直径，点C，D（点C，D，E按逆时针排列），AC，BE相交于点F．若∠DCA＝∠CBE；（3）在（2）的条件下，连接DF，若△CDF与△BCF相似，求tan∠DCF的值．

2024年上海市四区联考中考数学备考试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台已全面建成，在全国31个省份和新疆生产建设兵团全域上线，医保信息化标准化取得里程碑式突破．数1360000000用科学记数法表示为（）A．1.36×107 B．13.6×108 C．1.36×109 D．0.136×1010【解答】解：1360000000＝1.36×109，故选：C．2．（4分）下列计算正确的是（）A．2a2+a2＝3a4 B．a6÷a2＝a3 C．a6•a2＝a12 D．（a6）2＝a12【解答】解：A、2a2+a8＝3a2，故此选项错误；B、a8÷a2＝a4，故此选项错误；C、a4•a2＝a8，故此选项错误；D、（a6）2＝a12，正确．故选：D．3．（4分）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：将不等式组的解集表示如下：故选：A．4．（4分）已知两圆的半径分别为一元二次方程x2﹣7x+12＝0的二根，圆心距为2，则两圆位置关系为（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝5，化为（x﹣3）（x﹣4）＝2，解得x1＝3，x7＝4．因为4﹣5＜2＜4+7，即x2﹣x1＜d＜x7+x1．则这两个圆的位置关系是相交，故选：C．5．（4分）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，BC＝7，CD＝6，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A． B． C．10 D．【解答】解：如图1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，则，设DF＝x，CE＝y，则，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；EB＝DF+AD＝+5＝；如图2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，则，设FC＝m，FD＝n，则，解得，∴FD＝10，故选项C不符合题意；BF＝FC+BC＝8+7＝15；如图3所示：此时两个直角三角形的斜边长为6和5；故选：A．6．（4分）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【解答】解：在y＝x﹣3中，则x＝8，令x＝0，则y＝﹣4，∴B（8，0），﹣7），∴OB＝8，OG＝4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴AE＝BF，BE＝CF，∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，∴△OBG∽△FBC，∴＝，∴设CF＝a，BF＝2a，∴AE＝4a，BE＝a，∴A（8﹣a，2a），a），∵点A，点C在反比例函数y＝，x＞4）图象上，∴2a（8﹣a）＝a（5+2a），∴a＝2，a＝5（不合题意舍去），∴A（6，4），∴k＝6×6＝24，∴反比例函数表达式为y＝，故选：D．二．填空题（共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）分解因式：xy3﹣xy＝xy（y+1）（y﹣1）．【解答】解：xy3﹣xy＝xy（y2﹣6）＝xy（y+1）（y﹣1）．故答案为：xy（y+8）（y﹣1）．8．（4分）毛主席在《七律•长征》中写道“更喜岷山千里雪，三军过后尽开颜．”《七律•长征》写于1935年9月下旬，10月定稿．1934年10月，他们跋山涉水，翻过连绵起伏的五岭，四渡赤水，越过乌蒙山，飞夺沪定桥，爬雪山，最后翻过岷山，历经十一个省，是人类史上一个伟大的事件．岷山，自中国甘肃省南部延伸至四川省西北部的一褶皱山脉，测量得长征的路线全长近似于岷山全长的25倍，由此估计长征的路线全长大约为2.5×104里．【解答】解：由题意，∵岷山全长1000里，∴长征的路线全长约为：25×1000＝25000＝2.5×104（里）．故答案为：2.5×108．9．（4分）方程的解为x＝﹣1．【解答】解：，方程可化为，方程两边都乘以x﹣2得，3＝﹣2﹣（x﹣2），解得x＝﹣7，检验：当x＝﹣1时，x﹣2≠5，所以原分式方程的解是x＝﹣1，故答案为：x＝﹣1．10．（4分）已知一组数据8，9，x，3，若这组数据的平均数是7，则x＝8．【解答】解：平均数为：（8+9+x+5）÷4＝7，解得：x＝2．故答案为：8．11．（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣1且x≠2．【解答】解：由题意得，x+1≥0且x﹣2≠0，解得x≥﹣1且x≠8．故答案为：x≥﹣1且x≠2．12．（4分）在x2+（±4x）+4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．【解答】解：要使方程有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝b7﹣16＝0得b＝±4故一次项为±4x故答案为±4x13．（4分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009＝﹣1．【解答】解：由不等式得x＞a+2，x＜，∵﹣1＜x＜1，∴a+7＝﹣1，＝1∴a＝﹣3，b＝3，∴（a+b）2009＝（﹣1）2009＝﹣1．14．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，如果向量，为.（用向量表示）【解答】解：∵ABCDEF是正六边形，∴AD∥BC，AD＝2BC，∴＝2，∵，∴＝6＝，故答案为：．15．（4分）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是．【解答】解：由题意可得，共有6种结果：红红，蓝蓝，蓝黄；黄红，蓝蓝，蓝黄；蓝红，黄蓝，黄黄；其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果，∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是，故答案为：．16．（4分）反比例函数与二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的图象的交点个数为3．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣2）2+7，∴图象开口向下，顶点（2，图象经过一、三，∵反比例函数y＝的图象在一，当x＝7时，y＝，∵＜1，故两个函数的交点在第一象限有两个，在第三象限只有一个．故答案为7．17．（4分）折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也有不少折纸活动．如图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程．其步骤为：先将CD边沿CF折叠，再将BC沿CD'折叠，使得B点恰好落在CF边上的B′处折痕与AB边交于E．若正方形边长为，则△AEF的面积＝2﹣．【解答】解：∵正方形边长为，∴CD′＝CD＝，∵正方形的直角内角∠BCD经过两次折叠后两边分别重合，∴∠D′CF＝BCD＝30°，在Rt△D′CF中，CD′＝，∴D′F＝5，∴AF＝AD﹣D′F＝﹣1，AE＝AB﹣B′E＝﹣1，∵∠A＝90°，∴△AEF的面积＝AE•AF＝（﹣1）＝2﹣．故答案为：2﹣．18．（4分）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，AB＝4，AC＝AD＝22±2或4或2．【解答】解：如图，当C，过点A作AE⊥CD于E．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝6，∵AD＝AC＝2，∴DE＝＝2＝2，∴DE＝EC＝AE，∴△ADC是等腰直角三角形，∴CD＝2，当C，D异侧时，∵△BCC′是等边三角形，BC＝BE﹣EC＝2，∴CH＝BH＝﹣1CH＝7﹣，在Rt△DC′H中，DC′＝＝，∵△DBD′是等边三角形，∴DD′＝2+2，∴CD的长为2±2或4或3．故答案为：2±2或4或6．三．解答题（满分0分）19．计算：【解答】解：＝＝．20．解方程组：．【解答】解：由②得：（x+3y）（x﹣y）＝0，∴x+5y＝0或x﹣y＝0，∴原方程组可化为两个方程组：或，解得：或，∴原方程组的解为：或．21．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC（1）求证：AB＝AF．（2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．【解答】解：（1）证明：如图，连接OA，OC．∵ABCDE是正五边形，∴∠BOC＝72°，∠AOD＝144°，∴∠BAC＝∠BOC＝36°∠AOD＝72°，∴∠AFB＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF；（2）解：过点B作BH⊥OA于点H．则BH＝OB•sin36°，∴五边形ABCDE的面积＝5וAB•OH＝5××2×OB5•sin30°•cos36°＝5×102×2.59×0.81≈239.0．22．【背景介绍】烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头【问题情境】距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分（单位：m）．距地面的竖直高度为h（单位：m），获得数据如表：d/m010203040506070h/m0.59.516.521.524.525.524.5k【探究过程】小勇根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整；（1）k的值为21.5，（2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结．（3）请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？（4）烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？【解答】解：（1）∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，根据表格数据和二次函数图象的对称的性质可得：对称轴为直线d＝50，∴d＝70与d＝30时的函数值相等，∵当d＝30时，h＝21.5，∴当d＝70时，k＝21.5．故答案为：21.6；（2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如图：；（3）设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣50）2+25.5，当d＝40时，h＝24.3，∴a（40﹣50）2+25.5＝24.4，解得：a＝﹣0.01，∴二次函数的解析式为h＝﹣0.01（d﹣50）6+25.5，当d＝70.5时，h＝﹣2.01×（70.5﹣50）2+25.3＝﹣4.2025+25.5＝21.2975＞20，∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里；（4）由（3）可知：二次函数的解析式为h＝﹣5.01（d﹣50）2+25.5，∵圣火台上方高6米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，依题意，正方形左下角的点A的坐标为（69.5，右上角的点B的坐标为（70.5，设后退m（m＞4）米，即抛物线向左平移m米，20）时，∴20＝﹣0.01（69.5﹣50+m）4+25.5，解得：，（不合题意；设前进n（n＞0）米，即抛物线向右平移n米，24）时，∴24＝﹣0.01（70.7﹣50﹣n）2+25.5，解得：，（不合题意，∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为．23．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，BE∥DF，∴∠E＝∠F，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF；（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形如图：连结BF，DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．24．如图，直线y＝﹣2x+4交y轴于点A，交抛物线（3，﹣2），抛物线经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，作PE⊥DB交DB所在直线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE为等腰直角三角形时，求P点坐标；（3）在（2）的条件下，连接PB，直接写出翻折后点E的对称点坐标．【解答】解：（1）把B（3，﹣2），8）代入，∴，∴抛物线的解析式为；（2）设，在中，当x＝5时，∴D（0，﹣2），∵B（4，﹣2），∴BD∥x轴，∵PE⊥BD，∴E（m，﹣2），∴或，∵△PDE为等腰直角三角形，且∠PED＝90°，∴DE＝PE，∴或，解得：m＝2，m＝1，舍去），∴PE＝5或2，∴P（1，﹣3）或（7；（3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，过E′作E′H⊥DE于H，由（2）知，此时，﹣2），∴DE＝2，∴BE′＝BE＝2，∵EE′⊥AB，EE′＝2EF，∴∠BEF＝∠DAB＝∠HEE′，∴tan∠BEF＝tan∠DAB＝tan∠HEE′，∵AD＝3，DB＝3，∴，∴2BF＝EF，2HE′＝HE，∴在Rt△BEF中，BF3+EF2＝BE2，BF2+（2BF）2＝62，解得：，∴，在Rt△HEE′中，HE′2+HE2＝EE2，即HE′2+（2HE′）2＝EE′2，解得：，故点E′的纵坐标为，横坐标为，∴；②当P点在直线BD的下方时，如图3，过E′作E′H⊥DE于H，由（2）知，此时，﹣2），∴DE＝1，∴BE′＝BE＝6，∵EE′⊥AB，EE′＝2EF，∴∠BEF＝∠DAB＝∠HEE′，∴tan∠BEF＝tan∠DAB＝tan∠HEE′，∵AD＝6，DB＝5，∴，∴4BF＝EF，2HE′＝HE，∴在Rt△BEF中，BF2+EF7＝BE2，BF2+（5BF）2＝25，解得：，∴，在Rt△HEE′中，HE′2+HE2＝EE8，即HE′2+（2HE′）4＝EE′2，解得：，故点E′的纵坐标为，横坐标为，∴E′（4.2，﹣0.4），综上所述，E的对称点坐标为．25．我们不妨定义：一组对边平行且一组对角互余的四边形称为“求真四边形”．（1）如图①，四边形ABCD是“求真四边形”，AD∥B