广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷2（共161题）

广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷2（共7套）（共161题）广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第1套一、证明题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)1、某厂生产x台电视机的成本C(x)=500+250x-0．01x2，销售收益是R(x)=400x-0．02x2，如果生产的所有电视机都能售出，问应生产多少台，才能获得最大利润?标准答案：由题意知利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=(400x-0．02x2)-(500+250x-0．01x2)=150x-0．01x2-500，而L’(x)=150-0．02x，令L’(x)=0，可得驻点x=7500，由于驻点唯一，且实际问题最值存在，从而x=7500是最大值点。故当生产7500台电视机时，该厂能获得最大利润。知识点解析：暂无解析2、假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的销售量(单位：吨)分别是Q1=(18-x)/2，Q2=12-x,其中x(单位：万元/吨)为该产品在两个市场的价格。该企业生产这种产品的总成本(单位：万元)函数是C=2(Q1+Q2)+5。试确定x的值，使企业获得最大利润，并求出最大利润。标准答案：由已知条件得利润函数为L=(Q1+Q2)x-C=(Q1+Q2)x-2(Q1+Q2)-5=[(18-x)/2+(12-x)](x-2)-5=(-3/2)x2+24x则L’=-3x+24，令L’=0，得驻点x=8。根据实际情况，L存在最大值，且驻点唯一，则驻点即为最大值点，又Lmax=(-3/2)×82+24×8-47=49。故当两个市场的价格为8万元/吨时，企业获得最大利润，此时最大利润为49万元。知识点解析：暂无解析3、某企业计划在一年内生产一批服装a件，分若干批进行生产，设生产每批服装需要固定支出1000元，而每批生产直接消耗的费用与产品数量的平方成正比，已知当每批服装生产数量是40件时，直接消耗的生产费用是800元，问每批服装生产多少件时，才能使总费用y最少?标准答案：设每批生产x件，则一年内生产a/x批，每批直接消耗的生产费用为P，则p=kx2，又因为每批产品数量是40件时，直接消耗的生产费用为800元，所以800=402k，即k=1/2，所以p=(1/2)x2，该产品的总费用y=(1000+(1/2)x2)·(a/x)=1000a/x+ax/2，0＜x≤a，令y’=(-1000a/x2)+a/2=0，得x=20，y”=2000a/x3，y”(20)＞0，所以x=20为唯一极小值点，因为实际问题中最少费用必存在，故唯一的极小值点就是最小值点，所以当x=20≈45时，总费用最少。知识点解析：暂无解析4、已知方程x4-6x2-9x=0有一正根x=3，证明：方程4x3-12x-9=0必有一个小于3的正根。标准答案：令f(x)=x4-6x2-9x，则f’(x)=4x3-12x-9，由题意可知f(3)=0，又有f(0)=0，f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，故由罗尔中值定理可知至少存在一点ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=4ξ3-12ξ-9=0，即方程4x3-12x-9=0必有一个小于3的正根。知识点解析：暂无解析5、设f(x)在[1，e]上可导，且f(1)=0，f(e)=1。试证明f’(x)=1/x在(1，e)内至少有一个实根。标准答案：设F(x)=f(x)-lnx，由题意可知F(x)在[1，e]上连续，在(1，e)内可导，F(1)=0，F(e)=0，F’(x)=f’(x)-1/x。由罗尔中值定理得至少存在一点ξ∈(1，e)，使F’(ξ)=0，即f’(ξ)-1/ξ=0。所以f’(x)=1/x在(1，e)内至少有一个实根。知识点解析：暂无解析6、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且恒有f″(x)＜0，证明：若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根。标准答案：反证法：假设f(x)=0在(a，b)内有三个根x1，x2，x3，且设a＜x1＜x2＜x3＜b，即有f(x1)=f(x2)=f(x3)=0，分别在区间[x1，x2]与[x2，x3]上应用罗尔中值定理，有f’(ζ1)=0，ζ1∈(x1，x2)；f’(ζ2)=0，ζ2∈(x2，x3)。又f’(x)在[ζ1，ζ2]上显然也满足罗尔中值定理条件，于是有f”(ζ)=0，ζ∈(ζ1，ζ2)(a，b)，这与条件f″(x)＜0矛盾，故若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根。知识点解析：暂无解析7、设f(x)，g(x)均在[3，7]上连续，在(3，7)内可导，且g(x)≠0，f(3)=0，f(7)=0。证明：存在一点ξ∈(3，7)，使得f’(ξ)g(ξ)-f(ξ)g’(ξ)=0。标准答案：令F(x)=f(x)/g(x)。显然F(x)=f(x)/g(x)在[3，7]上连续，在(3，7)内可导，且F’(x)=[f’(x)g(x)-f(x)g’(x)]/g2(x)又F(3)=0，F(7)=0，故根据罗尔中值定理得存在一点ξ∈(3，7)，使得F’(ξ)=0，即[f’(ξ)g(ξ)-f(ξ)g’(ξ)]/g2(ξ)=0。因为g(x)≠0，故f’(ξ)g(ξ)-f(ξ)g’(ξ)=0。知识点解析：暂无解析8、设函数f(x)在区间[0，2]上连续，在区间(0，2)内可导，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2。证明：至少存在一点ξ(0，2)，使得f’(ξ)=ξ。标准答案：构造辅助函数F(x)=f(x)-(1/2)x2，则F’(x)=f’(x)-x，F(0)=0，F(1)=3/2，F(2)=-2，且F(x)在区间[1，2]上连续，则由零点定理可知，至少存在一点f∈(1，2)，使得F(c)=0。故F(x)=f(x)-(1/2)x2在区间[0，c]上满足罗尔中值定理的条件，因此至少存在一点ξ∈(0，c)(0，2)，使得F’(ξ)=f’(ξ)-ξ=0，即f’(ξ)=ξ。知识点解析：暂无解析9、设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(x)/(x-1)=0，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得cosξ·f(ξ)+sinξ·f’(ξ)=0。标准答案：f(x)在区间[0，1]上连续，且=0，则f(x)=0=f(1)。构造辅助函数F(x)=sinx·f(x)，则F’(x)=cosx·f(x)+sinx·f’(x)，且F(0)=F(1)=0，故由罗尔中值定理可知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即cosξ·f(ξ)+sinξ·f’(ξ)=0。知识点解析：暂无解析10、若f(x)有三阶导数，且f(0)=f(1)=0，设F(x)=x3f(x)，试证明在(0，1)内至少存在一点ξ，使F‴(ξ)=0。标准答案：由题意可知F(x)有三阶导数，又F(0)=0，F(1)=f(1)=0，由罗尔中值定理得存在ξ1∈(0，1)使F’(ξ1)=0。又F’(0)=[3x2f(x)+x3f’(x)]｜x=0=0，对F’(x)在[0，ξ1]上应用罗尔中值定理得存在ξ2∈(0，ξ1)(0，1)，使F″(ξ2)=0。又F”(0)=[6xf(x)+6x2f’(x)+x3f”(x)]｜x=0=0，对F”(x)在[0，ξ2]上应用罗尔中值定理得存在ξ∈(0，ξ2)(0，1)，使F?(ξ)=0。知识点解析：暂无解析11、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)。使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)。标准答案：设F(x)=f(x)(1-x)k，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，F’(x)=f’(x)(1-x)k-kf(x)(1-x)k-1=(1-x)k-1[f’(x)-xf’(x)-kf(x)]。又F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即(1-ξ)k-1[f’(ξ)-ξf’(ξ)-kf(ξ)]=0。又(1-ξ)k-1≠0，故ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)。知识点解析：暂无解析12、设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且在(a，b)内g”(x)≠0，g(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明：在开区(a，b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ)。标准答案：令F(x)=f(x)g’(x)-g(x)f’(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，F(a)=f(a)g’(a)=g(a)f’(a)=0，F(b)=f(b)g’(b)-g(b)f’(b)=0，故F(x)在[a，b]上满足罗尔中值定理的条件，从而至少存在一点ξ∈(a，b)使F’(ξ)=0。又F’(x)=f’(x)g’(x)+f(x)g”(x)-g’(x)f’(x)-g(x)f(x)=f(x)g”(x)-f”(x)g(x)，从而f(ξ)g”(ξ)=f″(ξ)g(ξ)。又g”(x)≠0，g(x)≠0，故有f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ)成立。知识点解析：暂无解析13、已知f(x)在[1，3]上连续，在(1，3)内可导，且f(1)f(2)＜0，f(2)f(3)＜0，证明：至少存在一点ξ∈(1，3)，使得f’(ξ)-f(ξ)=0。标准答案：由题意可知f(1)与f(2)异号，f(2)与f(3)异号，因此由连续函数的零点定理可知，至少存在两点ξ1∈(1，2)，ξ2∈(2，3)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。构造辅助函数F(x)=e-x3f(x)，则F(x)在[ξ1，ξ2]上连续，在(ξ1，ξ2)内可导，且F(ξ1)=F(ξ2)=0，因此由罗尔中值定理可知，至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2)(1，3)，使得F’(ξ)=0。又因为F’(x)=e-xf’(x)-e-xf(x)=e-x[f’(x)-f(x)]，因此有e-ξ[f’(ξ)-f(ξ)]=0，又e-ξ＞0，则f’(ξ)-f(ξ)=0。知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且f(0)+f(1)=4，f(2)=2，试让明必存在一点ξ∈(0，2)，使f’(ξ)=0。标准答案：因为f(x)在[0，2]上连续，所以f(x)在[0，1]上连续，且在[0，1]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，故m≤[f(0)+f(1)]/2≤M。根据闭区间上连续函数的介值定理相关推论知至少存在一点c∈[0，1]，使得f(c)=[f(0)+f(1)]/2=2，又f(2)=2。所以函数f(x)在[c，2]上满足罗尔中值定理的条件，于是必存在一点ξ∈(c，2)(0，2)，使f’(ξ)=0。知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数a和b，在(0，1)内必存在不相等的x1，x2，使a/f’(x1)+b/f’(x2)=a+b。标准答案：因为a，b＞0，故0＜a/(a+b)＜1。又因f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，故由介值定理知必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=a/(a+b)。分别对f(x)在[0，ζ]，[ζ，1]上应用拉格朗日中值定理，得f(ζ)-f(0)=(ζ-0)f’(x1)，f(1)-f(ζ)=(1-ζ)f’(x2)(其中0＜x1＜ξ＜x2＜1)，即[a/(a+b)]/f’(x1)=ζ，[1-a/(a+b)]/f’(x2)=1-ζ。考虑到1-a/(a+b)=b/(a+b)，并将上两式相加，得[a/(a+b)]/f’(x1)+[b/(a+b)]/f’(x2)=1。等式两边同时乘以(a+b)，则存在不相等的x1，x2，使a/f’(x1)+b/f(x2)=a+b。知识点解析：暂无解析16、设0＜a＜b，证明不等式2a/(a2+b2)＜(lnb-lna)/(b-a)。标准答案：设函数f(x)=lnx(x≥a＞0)，则由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使(lnb-lna)/(b-a)=(lnx)’｜x=ξ=1/ξ，由于0＜a＜ξ＜a，故1/ξ＞1/b，又2a/(a2+b2)＜2a/2ab=1/b，从而(lnb-lna)/(b-a)＞2a/(a2+b2)。知识点解析：暂无解析17、设0＜a＜b＜1，证明不等式arctanb-arctana＜(b-a)/2ab。标准答案：令f(x)=arctanx，则f’(x)=1/(x+x2)，在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得(arctanb-arctana)/(b-a)=1/(1+ξ2)＜1/(1+a2)＜1/(a2+b2)＜1/2ab(0＜a＜ξ＜b＜1)，所以arctanb-arctana＜(b-a)/2ab。知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[0，c]上有定义，f’(x)存在且单调递减，f(0)=0，证明：对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)。标准答案：由题意知f(x)在[0，c]上连续，在(0，c)内可导。当a=0时，f(a+6)≤f(a)+f(b)显然成立。当a≠0时，因为[0，a][0，c]，则对f(x)在[0，a]上应用拉格朗日中值定理，得f(a)-f(0)=f’(ξ)(a-0)。0＜ξ＜a，即有f(a)=af’(ξ)。再对f(x)在[b，a+b]上应用拉格朗日中值定理，得f(b+a)=f(b)+f’(η)a，b＜η＜a+b。因为f’(x)单调递减，且ξ＜a≤b＜η，则有f’(ξ)＞f’(η)，而a＞0，故af’(ξ)＞af’(η)，于是f(a+b)＜f(b)+af’(ξ)=f(b)+f(a)。综上可知结论得证。知识点解析：暂无解析二、解答题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)给定曲线y=1/x2，19、求曲线在横坐标为x0的点处的切线方程；标准答案：由y’=-2/x3可知曲线y=1/x2在横坐标为x0的点处的切线方程为y-1/x02=(-2/x03)(x-x0)，即y=(-2/x03)x+3/x02；知识点解析：暂无解析20、求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。标准答案：切线方程y=(-2/x03)+3/x02中分别令y=0，x=0，可求得该切线在x轴，y轴上的截距分别为X=(3/2)x，Y=3/x02设该切线被两坐标轴所截线段长度为L，则L2=X2+Y2=(9/4)x02+(9/x04)令[d(L2)/dx0]=(9/2)x0-36/x05=0，得驻点x0=±。又d2(L2)/dx02=9/2+180/x06，显然[d2(L2)/dx02]＞0，由此可知，L2在x0=±处取得极小值，由实际问题最值存在得L2在x0=±取得最小值Lmin2=27/4，则所求最短长度为Lmin=。知识点解析：暂无解析已知函数f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：21、存在一点ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；标准答案：设F(x)=f(x)-1+x，0≤x≤1，则F(x)在区间[0，1]上连续。因为F(0)=-1＜0，F(1)=1＞0，所以由零点定理得存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ；知识点解析：暂无解析22、存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1。标准答案：由题设知函数f(x)在区间[0，ξ]上连续，在区间(0，ξ)内可导，于是由拉格朗日中值定理得存在η∈(0，ξ)(0，1)，使得f’(η)=[f(ξ)-f(0)]/(ξ-0)=f(ξ)/ξ=(1-ξ)/ξ。同样，由题设知函数f(x)在区间[ξ，1]上连续，在区间(ξ，1)内可导，于是由拉格朗日中值定理得存在ζ∈(ξ，1)(0，1)，使得f’(ζ)=[(1)-f(ζ)]/(1-ζ)=[1-f(ζ)]/(1-ζ)=ζ/(1-ζ)。因为η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，于是存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1。知识点解析：暂无解析广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、设f(x)在点x=x0处可导，则=()A、f’(x0)B、3f’(x0)C、-3f’(x0)D、-f’(x0)标准答案：C知识点解析：[f(x0-3h)-f(x0)]/h=-3[f(x0-3h)-f(x0)]/-3h=-3f’(x0)，故选C。2、设f(x)在点x=0处可导，则=()A、(4/3)f’(0)B、(3/4)f’(0)C、(5/3)f’(0)D、f’(0)标准答案：C知识点解析：3、设函数f(x)满足f(0)=0，且存在，则=()A、f’(5)B、f’(0)C、5f’(0)D、(1/5)f’(0)标准答案：C知识点解析：4、若f(x)在x=a处可导，则下列选项不一定正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：5、设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f’(0)≠0，则下列极限存在且为零的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：6、设函数f(x)在点x=处可导，且f(0)=0，则[xf(x)-2f(x2)]/x2()A、-2f’(0)B、-f’(0)C、f’(0)D、0标准答案：B知识点解析：由于f(x)在点x=0处可导，且f(0)=0，则[xf(x)-2f(x2)]/x2=[f(x)-f(0)]/x-2[f(x2)-f(0)]/x2=f’(0)-2f’(0)=-f’(0)。7、设函数f(x)对任意x均满足f(x+1)=af(x)，且f’(0)=b，其中a、b为非零常数，则()A、f(x)在x=1处不可导B、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=aC、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=bD、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=ab标准答案：D知识点解析：8、设函数f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n)，其中n为正整数，则f’(1)=()A、(-1)n-1(n-1)!B、(-1)n(n-1)!C、(-1)n-1n!D、(-1)nn!标准答案：A知识点解析：9、设函数f(x)在x=0的某个邻域内有定义，则“f’(x)存在且等于A”是“f’(x0)存在且等于A”的()A、充分而非必要条件B、必要而非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件标准答案：D知识点解析：10、设函数f(x)=｜x3-1｜φ(x)，其中φ(x)在点x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在点x=1处可导的()A、充分必要条件B、充分但非必要条件C、必要但非充分条件D、既非充分又非必要条件标准答案：A知识点解析：11、设f(x)在x0处有定义，但f(x)不存在，则()A、f’(x0)必存在B、f’(x0)必不存在C、f(x)必连续D、f(x)=∞标准答案：B知识点解析：f(x)不存在，则f(x)在点x0处不连续，因此C项不正确。f(x)不存在时，可能f(x)=∞，也可能f(x)≠f(x)，D项不正确；由于可导必连续，则不连续必不可导，所以A项不正确，故选B。12、设函数y=f(x)在点x=1处可导，且f(x)=4，则f(1)=()A、4B、1C、1/4D、0标准答案：A知识点解析：由于y=f(x)在点x=1处可导，则y=f(x)在点x=1处必连续，所以有f(1)=f(x)=4。13、下列函数中，在点x=0处可导的是()A、y=｜tanx｜B、C、y=tanx2D、y=1/x标准答案：C知识点解析：选项A中，y=｜tanx｜在点x=0处左右导数不相同，则y=｜tanx｜在点x=0处不可导；选项B中，y=在(-∞，0)内无定义，则y=在点x=0处不可导；选项C中，y’=2xsec2x2，y’(0)=0，故y在x=0处可导；选项D中，y=1/x在点x=0处无定义；所以y=1/x在x=0处不可导。14、设f(x)=x2/3sinx，则f(x)在点x=0处()A、可导B、连续但不可导C、不连续D、无意义标准答案：A知识点解析：15、设f(x)=则f(x)在x=1处的()A、左、右导数都存在B、左导数存在，但右导数不存在C、左导数不存在，但右导数存在D、左、右导数都不存在标准答案：A知识点解析：f’(1)=1，f+(1)=[(x2-1)/(x-1)]=(x+1)=2，f’-(1)=[(x-1)/(x-1)]=1，故选A。16、已知f(x)=，则f(x)在x=0处()A、极限不存在B、极限存在但不连续C、连续但不可导D、可导标准答案：A知识点解析：17、设函数f(x)=则f(x)在x=1处()A、可导且f’(1)=0B、连续但不可导C、不连续D、可导且f’(1)=-2标准答案：B知识点解析：18、设f(x)=在x=0处可导，则()A、a=1，b=0B、a=0，b为任意常数C、a=b=1D、a=1，b为任意常数标准答案：C知识点解析：19、函数y=x2/3在x=0处()A、可导B、不连续C、不可导但有切线D、不可导且无切线标准答案：C知识点解析：函数在R内连续，则在x=0处也连续。y’=(2/3)x-1/3在x=0处无意义，所以函数在x=0处不可导，但在该点处有切线x=0，故选C。20、设f(x)可导，且满足[f(3)-f(3-2x)]/x=-1，则曲线y=f(x)在点(3，f(3))处的切线斜率为()A、3B、-3C、1/2D、-1/2标准答案：D知识点解析：[f(3)-f(3-2x)]/x=2[f(3-2x)-f(3)]/(-2x)=2f’(3)=-1，故f’(3)=-1/2，即曲线在点(3，f(3))处的切线斜率为-1/2。21、设曲线y=e2x+x-1在点(0，0)处与直线ι相切，则直线ι的斜率为()A、不存在B、1C、3D、-2标准答案：C知识点解析：y=2e2x+1，则y’(0)=3。由导数的几何意义知直线ι的斜率为3。22、已知曲线y=4x-x2上两点(4，0)，B(2，4)，且曲线上点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标为()A、(1，3)B、(3，3)C、(6，-12)D、(2，4)标准答案：B知识点解析：弦AB所在直线的斜率为k=(4-0)/(2-4)，y’=4-2x。设P点坐标为(x0,y0)，则y0=4x0-x02，y’(x0)=4-2x0=-2，所以x0=3，y0=3。23、曲线y=sinx在点x=0处的法线方程为()A、x+2y+π/4=0B、x-y=0C、x-2y=0D、x+y=0标准答案：D知识点解析：x=0时，y=sin0=0。又y’=cosx，则曲线y=sinx在点(0，0)处的切线斜率k切=y’｜x=0=1，故法线斜率k法=-1，法线方程为y-0=-(x=0)，即x+y=0。广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第2套一、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、讨论函数f(x)=max{x，x4}在(-∞，+∞)内的不可导点的个数。标准答案：故f(x)在x=1处也不可导。故函数f(x)在(-∞，+∞)内的不可导点的个数为2。知识点解析：暂无解析2、求曲线y=3x2-4x+5在点(1，4)处的切线方程和法线方程。标准答案：由y=3x2-4x+5得y’=6x-4。由导数的几何意义可知曲线在点(1，4)处的切线斜率为y’(1)=2。又切线过点(1，4)，所以切线方程为y=4=2(x-1)，即2x-y+2=0。又知法线的斜率为-1/y’(1)=-1/2，从而可得法线方程为y-4=-1/2(x-1)，即x+2y-9=0。知识点解析：暂无解析3、求经过点(0，4)，且与曲线y=2/x相切的直线方程。标准答案：设切点为(x0，2/x0)，因为==-2/x02，所以曲线在点(x0，2/x0)处的切线方程为y-2/x0=-2/x02(x-x0)。把(0，4)代入上式，解得x0=1，故所求直线方程为y-2=-2(x-1)，即2x+y-4=0。知识点解析：暂无解析4、求曲线y=e-x上通过原点的切线方程及与直线x+y=2垂直的法线方程。标准答案：y’=-e-x，曲线y=e-x上任一点(x0，)处的切线方程为y-=-(x-x0)。因为切线过原点，则将x=0，y=0代入得x0=-1，则切点为(-1，e)，故过原点的切线方程为y=-ex。又曲线y=e-x上任一点(x0，)处的法线方程为y-=(x-x0)，因为所求法线与x+y=2垂直，故有·(-1)=-1，得x0=0，则y0=1，从而所求法线方程为y=x+1。知识点解析：暂无解析5、已知曲线y=ax4+bx3+x2+3在点(1，6)处与直线y=11x-5相切，求a，b。标准答案：曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线方程，所以6=a+b+4，①又y’=4ax3+3bx2+2x，且曲线在点(1，6)处与y=11x-5相切，所以y’｜x=1=ta+3b+2=11②联立①②解得a=3，b=-1。知识点解析：暂无解析6、设y=x3+ln3x+ln5，求y’。标准答案：y’=3x2log3x+x3·1/xln3+0=3x2log3x+x2/ln3。知识点解析：暂无解析7、设y=cos/(x2-1)，求y’。标准答案：y’=[(x2-1)·(cosx)’-cosx·(x2-1)’]/(x2-1)=[-(x2-1)sinx-2xcosx]/(x2-1)2知识点解析：暂无解析8、设y=arctanx+5sinx，求y’标准答案：y’=(arctanx+5sinx)’=1/(1+x2)+5sinxln5·(sinx)’=1/(1+x2)+5sinxcosx·ln5。知识点解析：暂无解析9、设y=cos3(1-2x)，求y’。标准答案：y’=3cos2(1-2x)·[cos(1-2x)]’=3cos2(1-2x)[-sin(1-2x)]·(-2)=6sin(1-2x)cos2(1-2x)。知识点解析：暂无解析10、已知f(x)=(1/4)ln[(x2-1)/(x2+1)]，求f’(2)。标准答案：f’(x)=(1/4)·[(x2+1)/(x2-1)]·[2x(x2+1)-(x2-1)2x]/(x2+1)2=x/[(x2-1)(x2+1)]=x/(x4-1)，f’(2)=2/15。知识点解析：暂无解析11、设函数f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2，求f’(π)。标准答案：由f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2可得f’(x)=[(1-sinx+xcosx)/(1-sinx)2]+x，则f’(π)=(1-sinπ+πcosπ)/(1-sinπ)2+π=1-π+π=1。知识点解析：暂无解析12、已知y=arccos，求y’。标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)=x2，g(x)=ln(1/x)，求f’[g’(x)]。标准答案：因为f’(x)=2x，g’(x)=[1/(1/x)]·(-1/x2)=-1/x，所以f’[g’(x)]=f’(-1/x)=-2/x。知识点解析：暂无解析14、设f(1/x)=x2+1/x+1，求f’(-1)。标准答案：令1/x=t，则x=1/t，f(t)=1/t2+t+1，f’(t)=-2/t3+1，f’(-1)=(-2)/(-1)3+1=3。知识点解析：暂无解析15、设f(x)=(x985-1)g(x)，其中g(x)可导，且g(1)=1，求f’(1)。标准答案：由f(x)=(x985-1)g(x)可得f’(x)=985x984g(x)+(x985-1)g’(x)。又g(1)=1，且g’(1)存在，因此f’(1)=985g(1)+(1-1)g’(1)=985。知识点解析：暂无解析16、已知y=，其中f具有一阶连续导数，求y’。标准答案：知识点解析：暂无解析17、已知y=f(2x)，f’(x)=arctanx2，计算(dy/dx)｜x=1/2。标准答案：令y=f(u)，u=2x，则dy/dx=f’(u)·(du/dx)=arctanu2·2=2arctan(2x)2，所以(dy/dx)｜x=1/2=2arctan1=π/2。知识点解析：暂无解析18、设y=+ex+(1-x)/(1+x)，求y″。标准答案：y=+ex+(1-x)/(1+x)=x1/2+ex+2/(1+x)-1，y’=(1/2)x-1/2+ex-2/(1+x)2，y″=(-1/4)x-3/2+ex+4/(1+x)3知识点解析：暂无解析19、求函数y=ln(x+)的二阶导数y”(1)。标准答案：知识点解析：暂无解析20、求函数y=excosx的n阶导数。标准答案：知识点解析：暂无解析21、设y=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，求y(6)。标准答案：因为y=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，x的最高次项为2233x6，故y(6)=22336!=77760。知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)在(-∞，+∞)内n阶可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，计算f(n)(2)。标准答案：对f’(x)=ef(x)两边对x求导数得f″(x)=ef(x)·f’(x)=e2f(x)，上式两边再对x求导数得f’’’(x)=e2f(x)·2f’(x)=2e3f(x)，上式两边再对x求导数得f(4)(x)=2e3f(x)·3f’(x)=3!e4f(x)。由以上求导规律可得fn(x)=(n-1)!enf(x)，所以f(n)(2)=(n-1)!en。知识点解析：暂无解析23、设y=y(x)是由方程y3=x+arccosy所确定的函数，求dy/dx。标准答案：方程两边对x求导得3y2(dy/dx)=1-(dy/dx)，整理可得dy/dx=。知识点解析：暂无解析广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)1、函数y=(2/3)x-的驻点和极值点的个数分别是()A、1个驻点，2个极值点B、2个驻点，1个极值点C、1个驻点，1个极值点D、2个驻点，2个极值点标准答案：A知识点解析：y=(2/3)x-，x∈R，y’=(2/3)(1-)，令y’=0，得驻点x=1，且y在x=0处不可导。当x＜0时，y’＞0，当0＜x＜1时，y’＜0，当x＞1时，y’＞0，所以x=0和x=1是函数的极值点。因此y=(2/3)x-有1个驻点，2个极值点。2、设函数y=f(x)的导数y’=f’(x)的图形如图2-1所示，则下列结论正确的是()。A、x=-1是f(x)的驻点，但不是极值点B、x=-1为f(x)的极大值点C、x=0是f(x)的极小值点D、x=-1为f(x)的极小值点标准答案：D知识点解析：从图形上可知，f’(-1)=0，因而x=-1为f(x)的驻点。当x＜-1时，f’(x)＜0；当x＞-1时，f’(x)＞0。所以x=-1是y=f(x)的极小值点，故选D。3、设函数f(x)满足关系式f”(x)+[f’(x)]2=-2，且f’(0)=0，则()A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：由f’(0)=0及f”(x)4+[f’(x)]2=-2知f(0)=-2＜0，所以x=0是f(x)的极大值点，且(0，f(0))不是f(x)的拐点。4、设函数f(x)在点x0的某个邻域内可导，且f(x0)为f(x)的一个极大值，则[(x0+8h)-f(x0)]/4h()A、-2B、0C、1D、2标准答案：B知识点解析：因为f(x)在点x0处可导且取得极大值，于是f’(x0)=0，故5、设两个函数f(x)及g(x)都在点x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在点x=a处()A、必取极大值B、必取极小值C、不可能取极值D、是否取极值不能确定标准答案：D知识点解析：A、B项反例：f(x)=1-x2和g(x)=-1/(1-x2)都在点x=0处取得极大值，但f(x)·g(x)=-1在点x=0处不取极值；C项反例：f(x)=-x2和g(x)=-x4都在点x=0处取得极大值，但f(x)g(x)=x6在点x=0处取极小值。针对不同情形，F(x)在点x=a处是否取极佰不能确定，故选D。6、设x=x0为y=f(x)的驻点，则y=f(x)在x0处不一定()A、连续B、可导C、取得极值D、有平行于x轴的切线标准答案：C知识点解析：驻点是导数为零的点，所以A、B项一定成立，由导数的几何意义可知D项成立。驻点不一定是极值点，故选C。7、若x=x0为函数y=f(x)的极大值点，则下列结论正确的是()A、f(x0)比任何点的函数值都大B、不可能存在比f(x0)大的极小值C、x0也可能是区间的端点D、以上说法都不对标准答案：D知识点解析：由题意可知在x0的某个去心邻域内，有f(x)＜f(x0)．极值是局部概念，可能存在比f(x0)大的极小值。但极值点不可能在区间端点取到，故选D。8、设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，且xf’(x)-f(x)＜0，则f(x)/x在区间(0，a)内()A、单调递减B、单调递增C、有增有减D、不增不减标准答案：A知识点解析：在区间(0，a)内，(f(x)/x)’=[xf’(x)-f(x)]/x2＜0，故f(x)/x在区间(0，a)内单调递减。9、设y=f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，若存在唯一点x0∈(a，b)，使f’(x0)=0，且在x0左右两侧f’(x)异号，则点x=x0必为f(x)的()A、极值点且为最值点B、极值点但不是最值点C、最值点但非极值点D、以上都不对标准答案：A知识点解析：根据题意知，x=x0为极值点，又f(x)在(a，b)内可导，且存在唯一极值点，所以x0也为f(x)的最值点。10、设f(x)为偶函数，且二阶可导，f″(0)≠0，则下列结论正确的是()A、x=0不是f(x)的驻点B、x=0不是f(x)的极值点C、x=0是f(x)的极值点D、(0，f(0))是f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由于f(x)为偶函数，因此有f(x)=f(-x)，则f’(x)=-f’(-x)，f’(0)=-f’(0)，得f’(0)=0。故x=0为f(x)的驻点，又f(0)≠0，所以x=0是f(x)的极值点，且(0，f(0))不是f(x)的拐点。11、设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且对任意的x1，x2，当x1＞x1时，都有f(x1)＞f(x2)，则()A、对任意的x，f’(x)＞0B、对任意的x，f’(-x)≤0C、函数f(-x)单调递增D、函数-f(-x)单调递增标准答案：D知识点解析：取f(x)=x3，有f’(x)=3x2，f’(0)=0，f’(-x)=3x2≥0，f(-x)=-x3单调递减，排除A，B，C，故选D。D项证明如下：令F(x)=-f(-x)，当xi＞x2，则-x1＜-x2，f(-x1)＜f(-x2)。所以F(x1)=-f(-xi)＞-f(-x2)=F(x2)，故-f(-x)单调递增。12、函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c为实数，当a2-3b＜0时，f(x)是()A、增函数B、减函数C、常数函数D、单调性与a、b取值有关的函数标准答案：A知识点解析：f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈R，f’(x)=3x2+2ax+b。当a2-3b＜0时，对于f’(x)=0，由判别式△=4(a2-3b)＜0，可知该方程无解，因此f’(x)＞0恒成立，所以f(x)为增函数。13、已知f(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=0，f(x)/(1-cosx)=1，则f(x)在点x=0处()A、不可导B、可导且f’(0)≠0C、取得极大值D、取得极小值标准答案：D知识点解析：因为[f(x)/(1-cosx)]＞0，在点x=0的某个去心邻域内有1-cosx＞0，则f(x)＞0=f(0)，所以f(x)在点x=0处取极小值，故选D。14、设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＜0，f”(x)＜0，又△y=f(x+△x)-f(x)，dy=f″(x)△x，则当△x＞0时，有()A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0标准答案：B知识点解析：由于f’(x)＜0，△x＞0，可知dy=f’(x)Ax＜0。因此应排除A、C项。由于f”(x)＜0，f’(x)＜0，因此曲线弧f(x)单调下降且为凸的，由曲线弧f(x)的图形可知△y＜dy，故选B。15、曲线y=x3-6x2+3x+4的拐点为()A、(2，-6)B、(-2，-34)C、(2，6)D、(1，2)标准答案：A知识点解析：y’=3x2-12x+3，y”=6x-12，令y”=0，得x=2，此时y=-6。当x＞2时，y”＞0；当x＜2时，y”＜0，故曲线的拐点为(2，-6)。16、曲线y=ex/(1+x)()A、有一个拐点B、有两个拐点C、有三个拐点D、无拐点标准答案：D知识点解析：函数y的定义域为x≠-1。因为y’=xe/(1+x)2，y”=[ex(1+x2)]/(1+x)3，所以y”在定义域内恒不等于0，且无二阶不可导点，所以曲线无拐点。17、曲线y=(x+3)5+3的凸区间为()A、(-∞，-3)B、(-3，+∞)C、(-∞，3)D、(3，+∞)标准答案：A知识点解析：y’=5(x+3)4，y”=20(x+3)3，令y”＜0，得x＜-3，所以曲线的凸区间为(-∞，-3)，故选A。18、曲线y=(2-x)-1/3在(2，+∞)内()A、单调递增且为凸的B、单调递增且为凹的C、单调递减且为凸的D、单调递减且为凹的标准答案：A知识点解析：y’=(1/3)(2-x)-4/3，y”=(4/9)(2-x)-7/3，在(2，+∞)上，y’＞0，y”＜0，故曲线在(2，+∞)内是单调递增且为凸的。19、函数y=2+cos(x/2)在区间(π，2π)内的图形是()A、凹的B、凸的C、既有凹的又有凸的D、直线标准答案：A知识点解析：y=2+cos(x/2)，y’=(-1/2)sin(x/2)，y”=(-1/4)cos(x/2)，当x∈(π，2π)时，y”＞0，从而函数y的图形在(π，2π)内为凹的。故选A。20、若曲线f(x)在(a，b)内任意一点的切线总位于曲线弧上方，则该曲线在(a，b)内是()A、凹的B、凸的C、单调上升D、单调下降标准答案：B知识点解析：由凹凸性的定义可知答案选B。21、若点(0，1)是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有()A、a=1，b=-3，c=1B、a≠0，b=0，c=1C、a=1，b=0，c为任意实数D、a、b为任意实数，c=1标准答案：B知识点解析：因为(0，1)在曲线上，所以c=1；又y’=3ax2+2bx，y”=6ax+2b，(0，1)为拐点，所以y”(0)=2b=0，得b=0；当a=0时，y=c=1无拐点，所以a≠0，故选B。22、曲线y=1+[ln(1+x)/(x+1)]()A、有水平渐近线，无垂直渐近线B、无水平渐近线，有垂直渐近线C、既有水平渐近线，又有垂直渐近线D、既无水平渐近线，也无垂直渐近线标准答案：C知识点解析：对于y=1+[ln(1+x)/(x+1)]，因为[1+ln(1+x)/(x+1)]=1+/(1+x)=1，故曲线有水平渐近线y=1；又[1+ln(1+x)/(x+1)]=-∞，故曲线有垂直渐近线x=-1。23、曲线y=xsin(1/x)()A、仅有水平渐近线B、仅有垂直渐近线C、既有水平渐近线，又有垂直渐近线D、既无水平渐近线，又无垂直渐近线标准答案：A知识点解析：由于xsin(1/x)=[sin(1/x)/(1/x)]=1，xsin(1/x)=0，因此曲线y=xsin(1/x)只有水平渐近线。24、曲线y=[(x+xsinx)/(x2-1)]的水平渐近线是()A、y=2B、y=-2C、y=1D、y=-1标准答案：D知识点解析：[(x+xsinx)/(x2-1)]=[(1/x+sinx/x)/(1-1/x2)-1]=-1，所以曲线的水平渐近线为y=-1。广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第5套一、证明题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、欲做一个容积为Vm3的无盖圆柱形储粮桶，底面用铝制，侧壁用木板制，已知每平方米铝的价格是木板的价格的5倍，问怎样设计圆柱形桶的尺寸，才能使费用最少?标准答案：设储粮桶的底面半径为rm，高为hm，木板的单价为a元/m2，则有V=πr2h，记制作储粮桶的费用为S(r)。则S(r)=5a·πr2+a·2πr·h=5a·πr2+a·2πr·V/πr2=a(5πr2+2V/r)，r＞0，S’=a(10πr-2V/r2)，令S’=0得r=由于驻点唯一，且实际问题存在最值，所以S在r=处取得最小值，此时h=5，因此当储粮桶底面半径为m，高为5m时，所用材料费用最少。知识点解析：暂无解析2、设有底面为等边三角形的直三棱柱，体积为V，要使其表面积为最小，问底面三角形的边长应为多少?(提示：直三棱柱的体积V=S·h，其中S为底面积，h为高)标准答案：设底面三角形的边长为x，直三棱柱高为y，则V=x2y，y=，表面积知识点解析：暂无解析3、要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20cm，要使其体积为最大，问其高应为多少?(提示：圆锥的体积V=(1/3)S·h，其中S为底面积，h为高)标准答案：知识点解析：暂无解析4、设一物体下端为直圆柱，上端为半球体，如果此物体的体积为V，这个物体的尺寸是多少时，才能使其表面积最小?(提示：球的表面积S=4πr2，球的体积V=(4/3)πr3，其中r为球的半径)标准答案：设圆柱底面半径为r，高为h，则该物体的体积V=πr2h+(2/3)πr2，表面积S=3πr2+2πrh，h=V/πr2-(2/3)r，代入S得S=(5/3)πr2+2V/r，所以S’=(10/3)πr-2V/r2，令S’=0得唯一驻点r=，此时h=，由于驻点唯一，且该实际问题最值一定存在，故r=也为最小值点，所以直圆柱的底面半径和高均为，表面积取得最小值。知识点解析：暂无解析5、一艘轮船甲以20海里/时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船乙在其正北82海里处以16海里/时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?标准答案：设经过t小时两船相距S海里，如图2-1所示，则S=，即S2=(82-16t)2+(20t)2，所以(S2)’=2·(82-16t)·(-16)+2·20t·20，令(S2)’=0，得驻点t=2，由于驻点唯一，实际问题最值存在，故t=2也为最小值点，故经过两小时后两船相距最近。知识点解析：暂无解析二、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)6、求曲线f(x)=的单调区间和极值。标准答案：x=1为函数的驻点，x=0与x=2为导数不存在的点。令f’(x)＞0，解得0＜x＜1或x＞2；令f’(x)＜0，解得x＜0或1＜x＜2，所以f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2，+∞)，单调递减区间为(-∞，0)和(1，2)；极大值为f(1)=1，极小值为f(0)=f(2)=0。知识点解析：暂无解析7、求函数f(x)=log4(4x+1)-(1/2)x-log42的单调区间和极值。标准答案：f(x)的定义域为(-∞，+∞)，f’(x)=4xxln4/(4x+1)ln4-1/2=(4x-1)/2(4x+1)。令f’(x)=0，解得x=0，当x＜0时，f’(x)＜0；当x＞0时，f’(x)＞0。所以f(x)在区间(-∞，0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增；f(0)=0是f(x)的极小值。知识点解析：暂无解析8、求函数y=e2x/x的单调区间和凹凸区间。标准答案：函数y的定义域为(-∞，0)(0，+∞)，且y’=(2xe2x-e2x)/x2=(2x-1)e2x/x2。令y’=0，得x=1/2，当x＞1/2时，y’＞0；当x＜1/2且x≠0时，y’＜0，故y=e2x/x的单调递增区间为(1/2，+∞)，单调递减区间为(-∞，0)，(0，1/2)。又因为y″=(4x2-4x+2)e2x/x3=4[(x-1/2)2+1/4]e2x/x3，所以当x＞0时，y″＞0；当x＜0时，y″＜0，故函数y=e2x/x的凹区间为(0，+∞)，凸区间为(-∞，0)。知识点解析：暂无解析9、已知函数f(x)=x-4lnx，求f(x)的单调区间、极值和凹凸区间。标准答案：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f’(x)=1-4/x=(x-4)/x。令f’(x)=0，解得驻点x=4。当0＜x＜4时，f’(x)＜0；当x＞4时，f’(x)＞0，f”(x)=4/x2＞0恒成立，因此函数f(x)的单调增加区间是(4，+∞)，单调减少区间是(0，4)；f(x)在x=4处取得极小值，极小值为f(4)=4-8ln2；曲线f(x)的凹区间为(0，+∞)。知识点解析：暂无解析10、求曲线y=x4-2x3+1的凹凸区间和拐点。标准答案：函数y=x4-2x3+1的定义域为(-∞，+∞)。且y’=4x3-6x2，y”=12x2-12x=12x(x-1)，令y”=0，得x1=0，x2=1。当x＜0或x＞1时，y”＞0；当0＜x＜1时，y”＜0。当x=0时，y=1；当x=1时，y=0，所以曲线y的凹区间是(-∞，0)，(1，+∞)，凸区间为(0，1)，点(0，1)和点(1，0)是这条曲线的两个拐点。知识点解析：暂无解析11、求曲线f(x)=x+2x/(x2-1)的凹凸区间和拐点。标准答案：函数f(x)的定义域为x≠±1，f’(x)=1+[2(x2-1)-4x2]/(x2-1)2=(x4-4x2-1)/(x2-1)2。令f”(x)=0，得x=0，此时y=0。当x＞1或-1＜x＜0时，f(x)＞0；当0＜x＜1或x＜1时，f″(x)＜0，所以曲线f(x)的凹区间为(-1，0)，(1，+∞)；凸区间为(0，1)，(-∞，-1)，拐点为(0，0)。知识点解析：暂无解析12、求函数y=x2+2/x的极值、单调区间、凹凸区间、拐点和渐近线。(只考虑水平和垂直渐近线)标准答案：函数的定义域为(-∞，0)(0，+∞)，y’=2x-2/x2=2(x3-1)/x2，令y’=0，得x=1。当x＞1时，y’＞0；当x＜1且x≠0时，y’＜0，所以函数y=x2+2/x在点x=1处取得极小值，且极小值为y(1)=3；函数的单调增加区间为(1，+∞)，单调减少区间为(-∞，0)，(0，1)。因为y″=2(x3+2)/x3，令y”=0，得x=，此时y=0。当x＜时，y”＞0；当＜x＜0时，y”＜0；当x＞0时，y”＞0，所以点(，0)是拐点。函数的凹区间为(-∞，)，(0，+∞)；凸区间为(，0)。又因为(x2+2/x)=∞，(x2+2/x)=∞，所以曲线y=x2+2/x有垂直渐近线x=0，没有水平渐近线。知识点解析：暂无解析13、已知点(1，1)是曲线y=ae1/x+bx2的拐点，求常数a，b的值。标准答案：由题意知ae+b=1，①又因为y’=(-a/x2)e1/x+2bx，y”=(2a/x3)e1/x+(a/x4)e1/x+26，点(1，1)是曲线的拐点，且函数在该点处二阶可导。所以y”｜x=1，即2ae+ae+2b=3ae+2b=0，②由①和②解得a=-2/e，b=3。知识点解析：暂无解析14、设x=±1是f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点，求曲线f(x)的拐点。标准答案：f’(x)=3x2+2ax+b，由于x=±1是f(x)的两个极值点，则，解得a=0，b=-3，故f’(x)=3x2-3，f″(x)=6x，当x＞0时，f(x)＞0；当x＜0时，f”(x)＜0，且x=0时，f(0)=0，所以f(x)的拐点为(0，0)。知识点解析：暂无解析15、设函数y=alnx+6x2+5x在x=1处取得极值且x=1/2为其拐点的横坐标，求a，b的值。标准答案：由题意知y的定义域为(0，+∞)，y’=a/x+2bx+5，y”=-a/x2+26，又由已知条件可得y’(1)=a+2b+5=0，y″(1/2)=-4a+2b=0，联立解得a=-1，b=-2。知识点解析：暂无解析16、试确定常数a，b，c，使曲线y=ax2+bx+cex有拐点(1，e)，且在该点处的切线与直线x+y=0平行。标准答案：已知直线的斜率k=-1，由条件y(1)=e，y’(1)=-1，y”(1)=0即可确定待定常数。又y’=2ax+b+cex，y”=2a+cex，由以上条件可得方程组解得a=-1-e，b=-1，c=2(1+1/e)。知识点解析：暂无解析17、设f(x)=ax3-3ax2+b(a＞0)在区间[-1，3]上的最大值为1，最小值为-3，试求常数a和b的值。标准答案：f’(x)=3ax2-6ax，令f’(x)=0，解得驻点x1=0，x2=2，因此函数在[-1，3]上的最值可能在x=0，由于a＞0，因此f(0)=f(3)=b为函数f(x)在[-1，3]上的最大值，f(-1)=f(2)=-4a+b为f(x)在[-1，3]上的最小值，即有b=1，-4a+b=-3，解得b=1，a=1。知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)满足df(x)/de-x=x，求曲线y=f(x)的凹凸区间。标准答案：由题意得df(x)=xde-x=-xe-xdx，即f’(x)=-xe-x，f″(x)=(x-1)e-x，故f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，当x＞1时，f″(x)＞0；当x＜1时，f(x)＜0，所以曲线y=f(x)的凹区间为(1，+∞)，凸区间为(-∞，1)。知识点解析：暂无解析19、已知f(x)=sinx/[x(x-1)]，求曲线f(x)的水平渐近线和垂直渐近线。标准答案：因为[sinx/x(x-1)]，所以y=0为曲线的水平渐近线；因为[(sinx/x·1/(x-1))]=-1，[sinx/x(x-1)]，所以x=1为曲线的垂直渐近线。知识点解析：暂无解析20、设k＞0，求函数f(x)=ln(1+2x)+kx2-2x的极值，并判断是极大值还是极小值。标准答案：函数f(x)的定义域为(-1/2，+∞)。f’(x)=2/(1+2x)+2kx-2=[4kx2+(2k-4)x]/(1+2x)=[2kx(2x+(k-2)/k)]/(1+2k)，令f’(x)=0，解得x=0或x=(2-k)/2k。f″(x)=2k-4/(1+2x)2，故x=0时，f″(0)=2k-4；x=(2-k)/2k时，f″[(2-k)/2k]=k(2-k)，当2k-4＞0，即k＞2时，f(0)>0，x=0为极小值点，极小值f(0)=0；f″[(2-k)/2k]＜0，x=(2-k)/2k为极大值点，极大值f[(2-k)/2k]=ln(2/k)+(k2-4)/4k；当2k-4＜0，即0＜k＜2时，f″(0)＜0，x=0为极大值点，极大值f(0)=0；f″[(2-k)/2k]＞0，x=(2-k)/2k为极小值点，极小值f[(2-k)/2k]=ln(2/k)+(k2-4)/4k；当k=2时，f’(x)=8x2/(1+2x)≥0，函数f(x)不存在极值。知识点解析：暂无解析已知函数y=x3/(x-1)2，求：21、函数的单调区间及极值；标准答案：所给函数的定义域为(-∞，1)(1，+∞)。y’=[x2(x-3)]/(x-1)3，令y’=0，得驻点x=0及x=3。y″=6x/[(x-1)4]，令y″=0，得x=0。列表讨论如下：由上表可知函数的单调递增区间为(-∞，1)，(3，+∞)，单调递减区间为(1，3)；极小值为y｜x=3=27/4；知识点解析：暂无解析22、函数的凹凸区间及拐点；标准答案：由上表可知函数的凸区间是(-∞，0)，凹区间(0，1)，(1，+∞)，拐点为点(0，0)；知识点解析：暂无解析23、函数图形的垂直渐近线。标准答案：由x3/(x-1)2=+∞知，x=1是函数图形的垂直渐近线。知识点解析：暂无解析广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第6套一、填空题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)1、设y=f(x)由方程e2x+y-cos(xy)=e-1所确定，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为__________。标准答案：x-2y+2=0知识点解析：等式e2x+y-cos(xy)=e-1两端同时对x求导数，得e2x+y(2+y’)+(y+xy’)sin(xy)=0，将x=0，y=1代入可得曲线在点(0，1)处的切线斜率k=y’(0)=-2，则法线斜率为1/2，因此曲线y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为y-1=(1/2)(x-0)，即x-2y+2=0。2、若x=1/(t+1)，y=t5，则dy/dx=__________。标准答案：-5t4(t+1)2知识点解析：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=5t4/[-1/(t+1)2]=-5t4(t+1)2。3、设y=y(x)由所确定，其中f可导，且f’(0)≠0，则dy/dx｜t=0=__________。标准答案：1/2知识点解析：dy/dt=(dy/dt)/(dx/dt)=f’(t)/[f’(e2t-1)·2e2t]，因此(dy/dx)｜t=0=f’(0)/[f’(0)·2]=1/2。4、若x=atcost,y=atsint，则dy/dx｜t=π/2=__________。标准答案：-2/π知识点解析：(dy/dx)｜t=π/2=[(dy/dt)/(dx/dt)]｜t=π/2=[(asint+atcost)/(acost-atsint)]｜t=π/2=a/(-a·π/2)=-2/π。5、若由参数方程所确定的函数y=y(x)满足dy/dx=y+e-x，则常数a=__________。标准答案：-1/2知识点解析：由题意知dy/dx=[(dy/dt)/(dx/dt)]=(asect·tant)/(-tant)=-asect，y+e-x=asect+e-x=asect+sect=(a+1)sect，所以由(dy/dx)=y+e-x得-asect=(a+1)sect,则-a=a+1，故a=-1/2。6、曲线在点(0，1)处的切线斜率为__________。标准答案：1/2知识点解析：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=[(etcost-etsint)/(etsin2t+2etcos2t)]=(cost-sint)/(sin2t+2cos2t)，当x=0，y=1时，t=0，从而(dy/dx)｜t=0=1/2，所以曲线在(0，1)处的切线斜率k=1/2。7、设x=φ(y)是严格单调的连续函数y=f(x)的反函数，且f(1)=9，f’(1)=-，则φ’(9)=__________。标准答案：知识点解析：因为φ’(y)=[1/f’(x)]，而f(1)=9，f’(1)=，所以φ’(9)=1/f’(x)=。8、设f(x)是可导函数，且f’(x)=sin(x+1)，f(0)=4，x=g(y)是y=f(x)的反函数，则g’(4)=__________。标准答案：1/sin1知识点解析：根据反函数的求导法则，有g’(y)=dx/dy=1/(dy/dx)=1/f’(x)=1/sin(x+1)，于是g’(4)=[1/sin(x+1)]｜x=0=1/sin1。9、设y=sin2(x4)，则dy==__________d(x3)。标准答案：(4/3)sin(2x4)知识点解析：dy/d(x3)=d[sin2(x4)]/d(x3)=[2sin(x4)cos(x4)·4x3dx]/3x2dx=(8/3)xsin(x4)cos(x4)=(4/3)xsin(2x4)，所以dy=(2x4)d(x3)。10、已知函数f(x)满足=f(x)d[arcsin(2x)]，则f(x)=__________。标准答案：-2x知识点解析：11、设y=cos(e1/x)，则dy=__________。标准答案：(1/x2)e(1/x)sin(e1/x)dx知识点解析：y=cos(e1/x)，则y’=-sin(e1/x)·e1/x·(-1/x2)，dy=(1/x2)e1/xsin(e1/x)dx。12、设y=ex/(1+x)，则dy=__________。标准答案：[xex/(1+x)2]dx知识点解析：y=[ex(1+x)-ex]/(1+x)2，所以dy=[xex/(1+x)2]dx。13、已知dy=(x6+6x)dx，则y?=__________。标准答案：30x4知识点解析：由题意可知y’=x6+6x，则y”=6x5+6，y?=30x4。14、设y=y(x)是由方程tany=x+y确定的函数，则dy=__________dx。标准答案：cot2y(或1/(x+y)2)知识点解析：等式tany=x+y两端求微分，得d(tany)=d(x+y)，即sec2ydy=dx+dy，所以dy=[1/(sec2y-1)]dx=cot2ydx=[1/(x+y)2]dx。15、设函数y=(x2-2)3，则dy=__________。标准答案：6x(x2-2)2dx知识点解析：y’=3(x2-2)2·2x=6x(x2-2)2，则dy=6x(x2-2)2dx。16、已知y=y(x)是由方程xy=ey-x确定的函数，则dy=__________。标准答案：[(y+xy)/(xy-x)]dx知识点解析：方程两边对x求导，得y+zy’=ey-x(y’-1)，所以y’=[(y+ey-x)/(ey-x-x)]=(y+xy)/(xy-x)，即dy=[(y+xy)/(xy-x)]dx。17、的近似值为__________。(保留4位小数)标准答案：2．0025知识点解析：18、e0．03的近似值为__________。(保留2位小数)标准答案：1．03知识点解析：令f(x)=ex，则f’(x)=ex，f(x+△x)≈f(x)+f’(x)△x，所以e0．03=e0+0．03≈e0+e0·0．03=1．03。二、解答题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)19、设f(x)在点x0处可导，求[f(x0+x2)-f(x0)]/(1-cosx)。标准答案：[f(x0+x2)-f(x0)]/(1-cosx)=[f(x0+x2)-f(x0)]/(1/2)x2=2[f(x0+x2)-f(x0)]/x2=2f(x0)=2f’+(x0)=2f’(x0)。知识点解析：暂无解析20、设f(x)为可导函数，且[f(2x-1)-f(1)]/(x-1)=1/2，求f’(1)。标准答案：令t=x-1，则[f(2x-1)-f(1)]/(x-1)=[f(2t+1)-f(1)]/t=2[f(2t+1)-f(1)]/2t=2f’(1)=1/2，所以f’(1)=1/4。知识点解析：暂无解析21、设f(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且[f(x)/x]=0，f″(0)=4，求[1+f(x)/x]1/x。标准答案：知识点解析：暂无解析22、讨论函数f(x)=x｜x｜在x=0处的可导性。标准答案：f’(0)=[f(x)-f(0)]/(x-0)=[x｜x｜-0]/(x-