广西专升本（高等数学）模拟试卷2（共198题）

广西专升本（高等数学）模拟试卷2（共9套）（共198题）广西专升本（高等数学）模拟试卷第1套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求函数y=3x2-x3的单调区间、极值、凹凸区间与拐点．标准答案：函数的定义域为(﹣∞，+∞)．先求单调区间和极值．令y′=6x﹣3x2=3x(2-x)=0，得驻点x=0，x=2，用驻点将整个定义域分为三个区间(﹣∞，0)，(0，2)，(2，+∞)．当x∈(﹣∞，0)时，y′＜0，函数单调减少；当x∈(0，2)时，y′＞0，函数单调增加；当x∈(2，+∞)时，y′＜0，函数单调减少．故函数的单调增加区间为[0，2]，单调减少区间为(﹣∞，0]和[2，+∞)；极小值f(0)=0，极大值f(2)=4．再求凹凸区间和拐点．令y″=6-6x=0，得x=1．当x∈(﹣∞，1)时，y″＞0，函数为凹的；当x∈(1，+∞)时，y″＜0，函数为凸的，且当x=1时，y=2，故函数的凹区间为(﹣∞，1]，凸区间为[1，+∞)，拐点为(1，2)．知识点解析：暂无解析2、设f(x)的一个原函数为lnx，求∫f(x)f′(x)dx．标准答案：因lnx是f(x)的一个原函数，故f(x)=(lnx)′=，f(x)=从而∫f(x)f′(x)dx=说明：此题也可用分部积分法解之，步骤如下．因∫f(x)f′(x)dx=∫f(x)df(x)=f2(x)-∫f(x)f′(x)dx故∫f(x)f′(x)dx=知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)3、函数f(x)=丨x丨，在点x=0处f(x)()A、可导B、间断C、连续不可导D、连续可导标准答案：C知识点解析：由f(x)=丨x丨的图像可知，f(x)在点x=0处连续但不可导，选项(C)正确．说明：f(x)=丨x丨的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．4、设f(x)=，则等于()A、0B、不存在C、∞D、1标准答案：D知识点解析：，故选(D)．5、函数f(x)=lnx在区间[1，2]上满足拉格朗日公式中的ξ等于()A、ln2B、1n1C、lneD、标准答案：D知识点解析：对函数f(x)=lnx在区间[1，2]上应用拉格朗日中值定理，f(2)-f(1)=f′(ξ)(2-1)，即ln2-0=故ξ=选(D)．6、设f(x)在x0处可导，且f′(x0)≠0，则f′(x0)不等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：根据导数的定义，选项(C)符合题意．7、已知z=exy，则=()A、yexyB、xexyC、xyexyD、exy标准答案：A知识点解析：因(exy)=exy·y=yexy，故选项(A)正确．8、当x→0时，3x2是sin2x的()A、高阶无穷小B、同阶无穷小，但不等价C、低阶无穷小D、等价无穷小标准答案：B知识点解析：因=3，故选(B)．9、过点(a，0，0)且垂直于x轴的平面方程为()A、z=aB、y=aC、z=yD、x=a标准答案：D知识点解析：垂直于x轴的平面方程可设为x=C，又平面过点(a，0，0)，故所求的平面方程为x=0．选项(D)正确．10、与直线垂直的平面是()A、4x+y-z+10=0B、x﹣2y+3z+5=0C、2x-4y+4z﹣6=0D、x+y+z﹣9=0标准答案：C知识点解析：直线与平面垂直，故直线的方向向量与平面的法向量平行，的分量与的分量对应成比例．对比四个选项中的法向量，选项(C)的法向量且，故选项(C)正确．11、数项级数sinn(a为常数)是()级数A、发散的B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性由a确定标准答案：C知识点解析：因而级数收敛，故原级数绝对收敛．选项(C)正确．12、设D：x2+y2≤1，则等于()A、B、C、πD、2π标准答案：C知识点解析：二重积分当被积函数为1时，其值就等于积分区域的面积，而积分区域D为圆域x2+y2≤1，故=π·12=π．选项(C)正确．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、函数y=lnx+arcsinx的定义域为________．标准答案：(0，1]知识点解析：由题意，，故原函数的定义域为(0，1]．14、设数列xn有界，且yn=0，则xnyn=________·标准答案：0知识点解析：数列可看作特殊的函数，因数列xn有界，数列yn为无穷小，所以根据无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可得，xnyn=0．15、函数的反函数为________．标准答案：y=x3﹣1知识点解析：由可得，y3=x+1，x=y3﹣1，故反函数为y=x3﹣1．16、曲线y=x2+1在点(1，2)的切线的斜率等于________．标准答案：2知识点解析：由导数的几何意义可知，切线斜率k=y′丨(1,2)=2x丨(1,2)=2．17、由参数方程确定的=________．标准答案：﹣cott知识点解析：=﹣cott．四、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)18、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析19、求二元函数z=x3y+xy3的全微分．标准答案：因=3x2y+y3，=x3+3xy2，故dz=(3x2y+y3)dx+(x3+3xy2)dy．知识点解析：暂无解析20、求定积分∫0π/2xsinxdx．标准答案：用分部积分法，∫0π/2xsinxdx=∫0π/2xd(﹣cosx)=[﹣xcosx]0π/2+∫0π/2cosxdx=0+[sinx]0π/2=1知识点解析：暂无解析21、求微分方程ylnydx=xdy的通解．标准答案：此方程为可分离变量的方程，分离变量可得方程两边分别积分，得ln丨lny丨=ln丨x丨+ln丨C丨=ln丨Cx丨，即lny=Cx，故原方程的通解为y=eCx．知识点解析：暂无解析22、求广义积分∫0+∞标准答案：∫0+∞=知识点解析：暂无解析23、将函数展开成(x﹣2)的幂级数．标准答案：因xn，故f(x)=(x﹣2)n．其中，﹣1＜x﹣2＜1，即1＜x＜3．知识点解析：暂无解析广西专升本（高等数学）模拟试卷第2套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设a0，a1，…，an为满足式子的实数．试证：方程a0＋a1x＋a2x2＋…＋ann＝0在(0，1)内至少有一个实根．标准答案：设，则f’(x)＝a0＋a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn．显然f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝f(0)＝0．故由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝0，即，a0＋a1ξ＋a1ξ2＋…＋anξn＝0．这就是说，方程a0＋a1x＋a1x2＋…＋anxn＝0在(0，1)内至少有一实根．知识点解析：暂无解析2、过原点的抛物线y＝ax2及y＝0，x＝1所围图形绕x轴旋转一周的体积为，求此抛物线方程．标准答案：由题意知，即a2＝81，a＝±9．所以所求抛物线的方程为y＝－9x2或y＝9x2．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、当x→0时，tan(3x＋x3)与x比较是()．A、高阶无穷小B、等价无穷小C、同阶无穷小，但不是等价无穷小D、低阶无穷小标准答案：C知识点解析：．故选C．4、设f(x)是cosx的一个原函数，则∫df(x)()．A、sinx＋CB、－sinx＋CC、－cosx＋CD、cosx＋C标准答案：A知识点解析：暂无解析5、设级数an2收敛，则()．A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性要看具体的an标准答案：A知识点解析：因为均收敛，故由级数的性质知收敛．又由收敛，故由正项级数的比较判别法知收敛．故应选A．6、设f(x，y)在区域D：x2＋y2≤a2上连续，则f(x，y)dσ＝()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：对抽象函数，因为不知被积函数的奇偶性，故不可用对称性，故A，b都是错的．利用极坐标下计算二重积分的定限方法，易知C正确．7、方程y’’－5y’＋6y＝x2e2x的一个特解可设为()．A、y*＝(Ax2＋Bx)e2xB、y*＝(Ax2＋Bx＋C)e2xC、y*＝(Ax2＋C)xe2xD、y*＝(Ax2＋Bx＋C)xe2x标准答案：D知识点解析：微分方程y’’－5y’＋6y＝x2e2x的齐次方程的特征方程为r2－5r＋6＝0，所以，特征根为：r1＝2，r2＝3．这里右端项f(x)＝x2e2x，因为λ＝2是单特征根，故可设y*＝x1e2x(Ax2＋Bx＋C)＝(Ax2＋bx＋C)xe2x．故选D．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、微分方程dy/dx＝x2y满足初始条件y(0)＝2的特解是________．标准答案：知识点解析：暂无解析9、曲线y＝arcsin(x＋1)在x＝－1处的切线方程是________．标准答案：x－y＋1＝0知识点解析：暂无解析10、设函数f(u)＝eu，u＝g(x)＝x3，则f[g(x)]在x＝________取得最大值．标准答案：知识点解析：暂无解析11、＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设，则y’＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)13、求过点M0(3，0，－5)且平行于平面2x－8y＋z－2＝0的平面方程．标准答案：因为已知平面2x－8y＋z－2＝0的法向量为元＝(2，－8，1)，故可取所求平面的法向量也为334＝(2，－8，1)．由平面的点法式方程，所求平面即为π：2(x－3)－8(y－0)＋(z＋5)＝0，即2x－8y＋z－1＝0．知识点解析：暂无解析14、验证f(x)＝arctanx在区间[0，1]上拉格朗日中值定理的正确性．标准答案：①Ⅰ．f(x)＝arctanx为初等函数，其定义域是D＝(－∞，＋∞)．而[0，1]D，由基本结论：一切初等函数在其定义区间内必连续知f(x)＝arctanx在[0，1]上连续．Ⅱ．显然f(x)＝arctanx(0，1)内可导，且．因此f(x)在[0，1]上满足拉氏定理的条件．②由拉格朗日中值定理的结论：ξ∈(0，1)，使知识点解析：暂无解析15、求图形的面积：由曲线y＝2－x2及直线y＝－x所围成的图形．标准答案：联立方程组故得抛物线y＝2－x2与直线y＝－x的交点为(－1，1)或(2，－2)．A＝∫－12[(2－x2)－(－x)]dx＝｜－12＝9/2知识点解析：暂无解析16、求函数的反函数．标准答案：由得x＝y3－1，互换变量x，y的记号，得y＝x3＝1．因此，y＝x3－1是而的反函数．知识点解析：暂无解析17、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析18、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析19、若z＝xy，y＝y(x)，求dz/dx．标准答案：z＝eylnx，dz/dx＝eylnx[ylnx]’＝知识点解析：暂无解析20、解微分方程y’’＋6y’＋13y＝0．标准答案：微分方程y’’＋6y’＋13y＝0的特征方程为r2＋6r＋13＝0，即(r＋3)2＝－4＝(±2i)2．所以，特征根为：r1，2＝－3±2i，通解为y＝e－3x(C1cos2x＋C2sin2x)．知识点解析：暂无解析广西专升本（高等数学）模拟试卷第3套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、某工厂要造一个长方体形的库房，其体积为1500000m3，前墙和房顶的造价分别是其他墙面造价的3倍和1．5倍，问库房前墙长和高为多少时，库房造价最小?(墙厚薄不计)标准答案：设长方体形的库房的前墙长、宽、高分别为x，y，z(m)，则长方体形的库房的体积为V＝xyz(其中V＝15000003)．并设长方体库房的前墙、房顶及其他各面的单位面积造价分别为3k，1．5k，k，则长方体库房的总造价为u＝3kxz＋1．5kxy＋(kxz＋2·k·yz)＝4kxz＋1．5kxy＋2kyz．令L(z，y，z，λ)＝(4kxz＋1．5kx)，＋2kyz)＋λ(xyz－V)，注意上述方程(*)的解法：x(1)，y(2)与z(3)，可得y＝2x，，代入(4)式即可解出x，y，z的值．知识点解析：暂无解析2、设函数f(x)＝在(－∞，＋∞)内连续，则a，b应该如何取值?标准答案：由f(x)在(－∞，＋∞)连续，知f(1－0)＝f(1＋0)＝f(1)．又f(1－0)＝limf(x)＝lim(b－x)＝b－1，f(1＋0)＝limf(x)＝lim(a＋x2)＝a＋1．f(1)＝2，所以a＝1，b＝3．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、以下各对函数是相同函数的有()．A、f(x)＝｜x｜与g(x)＝－xB、f(x)＝与g(x)＝｜cosx｜C、f(x)＝x/x与g(x)＝1D、f(x)＝｜x－2｜与g(x)＝标准答案：B知识点解析：暂无解析4、设z＝则其定义域是()．A、{(x，y)｜－1≤x≤1，－1≤y≤1}B、{(x，y)｜－1≤x＋y≤1}C、{(x，y)｜－2≤x＋y≤2}D、{(x，y)｜｜x＋y｜≥2}标准答案：C知识点解析：由≤1，解得｜x＋y｜≤2，即－2≤x＋y≤2．所以选C．5、二重积分，可以表示成累次积分为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析6、微分方程－y＋q(x)＝0的通解为()．A、y＝－x(∫dx＋C)B、y＝x(∫dx＋C)C、y＝ex(∫dx＋C)D、y＝－ex(∫xq(x)dx＋C)标准答案：A知识点解析：原式方程①可化为②②为一阶线性微分方程．由公式得其通解为所以选A．7、已知直线，直线外一点P(3，3，3)，则点P关于该直线L对称的点的坐标是()．A、(1，1，1)B、(1，－1，－3)C、(－3，－3，－3)D、(－1，1，3)标准答案：B知识点解析：设点P关于直线L对称的点是P’(a，b，c)，则P与P’的中点N的坐标为根据题意，知N在直线L上，故有即a－2b＋c＝0．③将②代入③可解得t＝1，将t＝1再代入②可求得a＝1，b＝－1，c＝－3．故选B．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、微分方程xdx＋ydy＝0的通解是________．标准答案：x2＋y2＝C知识点解析：暂无解析9、函数f(x)＝(x－1)2(x＋2)的极大值点是________．标准答案：x＝－1知识点解析：暂无解析10、若＝ek，则k＝________．标准答案：－2知识点解析：暂无解析11、设f(x)在x＝a处可导，且f’(a)＝1，则＝________．标准答案：－3知识点解析：暂无解析12、若∫f(x)dx＝arcsinx＋C，则∫cosf(sinx)dx＝________．标准答案：x＋C知识点解析：暂无解析四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)13、求微分方程cosx·y’＋ysinx－cos2x＝0满足初始条件y｜x＝π＝0的特解．标准答案：方程变为y’＋tanx·y＝cosx．p(x)＝tanx，q(x)＝cosx，∫tanxdx－lncosx＝．＝∫dx＝x－∫tamxdx＝lncosx．故所求通解为：y＝cosx(x＋C)．知识点解析：暂无解析14、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析15、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析16、求函数y＝的定义域与值域．标准答案：由已知显然有函数的定义域为(－∞，＋∞)，又当x≠0时，1/x可以是不为零的任意实数，此时可以取遍[－1，1]上所有的值，所以函数的值域为[－1，1]．知识点解析：暂无解析17、利用换元法求下列积分：(1)∫xcos(x2)dx；(2)(3)(4)∫cos3xd．标准答案：(1)原式＝(2)原式＝(3)(4)原式＝∫(1－sin2x)dsinx＝知识点解析：暂无解析18、求函数f(x)＝x3＋3x2－x－1的凹凸区间和拐点坐标．标准答案：定义域(－∞，＋∞)．f(x)＝3x2＋6x－1，f’’(x)＝6x＋6．令f’(x)＝0，得x＝－1．当x∈(－∞，－1)时，f’(x)＜0；当x∈(－1，＋∞)时，f’(x)＞0．f(－1)＝(－1)3＋3(－1)2－(－1)－1＝2．故凹区间为(－1，＋∞)，凸区间为(－∞，－1)，拐点为(－1，2)．知识点解析：暂无解析19、将边长为定值a的正方形铁皮各角剪去大小相同的正方形小块，做成无盖的盒子，问剪去的正方形小块的边长为何值时可使盒子的容积最大?标准答案：示意图见下图．设剪去的正方形小块的边长为x，记体积为V，则V＝(a－2x)2·x＝a2x－4ax2＋4x3，V’＝a2－8ax＋12x2．令V’＝0，由12x2－8ax＋a2＝0，得x＝a/6，x＝a/2(舍去)．故当正方形小块边长为a/6时小盒容积最大．知识点解析：暂无解析20、判断下列函数在定义域内的有界性及单调性：(1)(2))y＝x＋lnx．标准答案：(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，当x≤0时，有；当x＞0时，有．故x∈(－∞，＋∞)有y≤1/2，即函数)，有上界．又因为函数为奇函数，所以函数的图形关于原点对称．由对称性及函数有上界知，函数必有下界．因而函数有界．又由y1－y2＝知，当x1＞x2且x1x2＜1时，y1＞y2；而当x1＞x2且x1x2＞1时，y1＜y2．故函数在定义域内不单调．(2)函数的定义域为(0，＋∞)．因为且x1＞M；x1＞eM＞0，使lnx2＞M．取x0＝max{x1，x2}，则有x0＋lnx0＞x1＋Inx2＞2M＞M．所以函数y＝x＋lnx在定义域内是无界的．又当0＜x1＜x2时，有x1－x2＜0，lnx1－lnx2＜0，故y1－y2＝(x1＋lnx1)－(x2＋lnx2)＝(x1－x2)＋(lnx1－lnx2)＜0，即当O＜x1＜x2时，恒有y1＜y2，所以函数y＝x＋lnx在(0，＋∞)内单调增加．知识点解析：暂无解析广西专升本（高等数学）模拟试卷第4套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设以向量为边做平行四边形，求平行四边形中垂直于边的高线向量．标准答案：设高线向量为，则因为垂直于，所以即所以则知识点解析：暂无解析2、求y=sinx，y=cosx，x=0，x=π/2所围成的平面图形的面积．标准答案：如图所示，所求面积知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)3、证明函数为奇函数．标准答案：设f(x)=f(﹣x)==﹣f(x)所以函数f(x)为奇函数知识点解析：暂无解析4、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且2∫1/21f(x)dx=f(0)．证明：存在ξ∈(0，1)，使f′(ξ)=0．标准答案：因为f(x)在[0，1]上连续，由积分中值定理可知，存在c∈，使得∫1/21f(x)dx=即f(c)=2∫1/21f(x)dx=f(0)．因此，f(x)在[0，c]上连续，在(0，c)内可导，且f(c)=f(0)，所以f(x)在[0，c]上满足罗尔定理，因此存在ζ∈(0，c)(0，1)，使得f′(ζ)=0．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、函数f(x)=+arcsin(x﹣1)的定义域为A、(0，2]B、[0，2]C、(1，2]D、[1，2]标准答案：C知识点解析：由已知函数，可得解不等式组可得其定义域为(1，2]．故应选C．6、若要使f(x)在(﹣∞，+∞)连续，则a=A、0B、1C、1/2D、2标准答案：B知识点解析：若f(x)在(﹣∞，+∞)连续，则f(x)在x=0处连续，所以即a=1．故应选B．7、若函数f(x)在点x0有极大值，则在x0点的某充分小邻域内，函数f(x)在点x0的左侧和右侧的变化情况是A、左侧上升右侧下降B、左侧下降右侧上升C、左右侧均先降后升D、不能确定标准答案：D知识点解析：若x0处为函数的振荡间断点，则无法确定。如函数在x=0处取得极大值，但是在x=0处左侧和右侧的变化情况无法确定。8、设f(x)是连续函数，则∫2x-1f(t)dt=A、f(2x)B、2f(2x)C、﹣f(2x)D、﹣2f(2x)标准答案：D知识点解析：∫2x-1f(t)dt=﹣f(2x)(2x)′=﹣2f(2x)，故应选D．9、若c1和c2为两个独立的任意常数，则y=c1cosx+c2sinx为下列哪个方程的通解A、y″+y=0B、y″+y=x2C、y″﹣3y′+2y=0D、y″+y′﹣2y=2x标准答案：A知识点解析：由通解公式可以看出，该微分方程对应的特征方程的两个特征根是r=±i，因此特征方程为r2+1=0，从而原齐次微分方程为y″+y=0．故应选A．四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、假设函数则f(x)的周期为()．标准答案：12π．知识点解析：因为的周期为4π，的周期为6π，所以f(x)=取两个函数周期的最小公倍数，为12π．11、x2[ln(x2+1)﹣2lnx]=()．标准答案：1．知识点解析：=lne=1，故应填1．12、设函数f(x)，g(x)均可导，且同为F(x)的原函数，且有f(0)=5，g(0)=2，则f(x)-g(x)=()．标准答案：3．知识点解析：因为f′(x)=g′(x)=F(x)，所以f(x)-g(x)=C，故C=f(0)-g(0)=5﹣2=3．故应填3．13、若z=x3+6xy+y3，则=()．标准答案：15．知识点解析：=3x2+6y，丨(1,2)=3x2+6y丨(1,2)=3+12=15，故应填15．14、当n→∞时根据敛散性判定方法，可以判定级数()．标准答案：发散．知识点解析：由正项级数比较审敛法的极限形式知，有相同的敛散性，而调和级数发散，所以也发散，故应填发散．五、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)15、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析16、若y=+esinx+求y′．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求的水平、垂直渐近线．标准答案：由可得是f(x)的水平渐近线．由可得是f(x)的垂直渐近线．知识点解析：暂无解析18、若∫xf(x)dx=arcsinx+c，求I=标准答案：对∫xf(x)dx=arcsinx+C两边同时求导可得xf(x)=即知识点解析：暂无解析19、计算积分I=∫1/41/2dyey/xdx+∫1/21dyey/xdx．标准答案：因为∫ey/xdx不能用初等函数表示，所以先交换积分顺序再求解．=∫1/21x(e-ex)dx=知识点解析：暂无解析20、求幂级数的收敛区间．标准答案：∴R=+∞．收敛区间为(﹣∞，+∞)知识点解析：暂无解析21、求微分方程(x2-y)dx-(x-y)dy=0的通解．标准答案：凑微分x2dx-(xdy+ydx)+ydy=0，，所以知识点解析：暂无解析广西专升本（高等数学）模拟试卷第5套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图)，问留下的扇形的中心角φ取多大时，做成的漏斗的容积最大?标准答案：斗的底周长l、底半径r、高h分别为l＝Rφj，r＝Rφ/2π，漏斗的容积为(0<φ＜2π)．由问题的实际意义，V一定咋(0，2π)内取得最大值，而V在(0，2π)内只有一个驻点，所以该驻点一定也是最大值点．因此当时漏斗的容积最大．知识点解析：暂无解析2、将一长方形硬纸裁去四个角后折成长方体无盖盒，若纸面积一定，问其长、宽、高为何值时可使盒的容积最大?标准答案：纸的面积为A；设长方体的长、宽、高分别为z，y，z，则长方体无盖盒的容积为V＝xyz．又据题意(x＋2z)(y＋2z)＝A．今L(x，y，z，A)＝xyz＋λ[(x＋2z)(y＋2z)－A]．注意：上述方程(*)的解法：由①，得⑤由②，得⑥比较⑤、⑥式，得x＝y．⑦由③，得⑧比较⑤、⑥、⑦式，得⑨将x＝y代入⑨式，得整理，得x2－2xz－8z2＝0，即(x＋2z)(x－4z)＝0，故有x＝－2z(舍去)，或x＝4z．将y＝x，代入④，可解出x，y，z的值．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、当x→1时，下列变量中为无穷大量的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为，故当x→1时，不是无穷大量．因为，故当x→1时，不是无穷大量．因为，故当x→1时，是无穷大量．因为，故当x→1时，不是无穷大量．综上分析，选C．4、微分方程y’’－2y’＝x的特解y*的形式为()．A、axB、ax＋6C、ax2D、ax2＋bx标准答案：D知识点解析：微分方程y’’－2y’＝x的齐次方程的特征方程为r2－2r＝0，所以，特征根为：r1＝0，r2＝2．这里右端项f(x)＝x＝e0xx，因为λ＝0是单特征根，故可设y*＝x1e0x(ax＋b)＝ax2＋bx．故选D．5、下列级数中，条件收敛的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：A错．因为记，n＝(1，2，…)，则绝对收敛．B对．其理由如下：一方面，此为交错级数．记(n＝1，2，…)，显然{un}单调减少，且，故由莱布尼茨收敛法知，收敛．另一方面，又因为发散．综上分析，知条件收敛．C错．因为发散．D错．因为绝对收敛．故应选B．6、设f(x)＝xlnx，则F(x)()．A、在(0，1/e)内单调减少B、在(1/e，＋∞)内单调减少C、在(0，＋∞)内单调减少D、在(0，＋∞)内单调增加标准答案：A知识点解析：①D＝(0，＋∞)．②f(x)＝1＋lnx．③令f’(x)＝0x1＝1/e．定义域内无不可导点．④列表判断．根据上表知应选A．7、设f(x)＝x2＋，则x＝1是f(x)的()．A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、振荡间断点标准答案：B知识点解析：因为．故选B．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、设y＝3u，u＝v2，v＝tanx，则复合函数y＝f(x)＝________．undefined标准答案：知识点解析：暂无解析9、设积分区域D为[*]≤1，则积分[*]dxdy＝________．标准答案：πab知识点解析：dxdy＝S(D)＝πab．10、设y＝In[In(1nx)]，则y’＝________．标准答案：知识点解析：y’＝{ln[ln(lnx)]}’＝11、设级数收敛，且其和为2，则＝________．标准答案：4知识点解析：暂无解析12、f(x)＝在点x＝0处连续，则a与b的关系为________．标准答案：知识点解析：由题意知应有四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)13、夹逼定理求下列数列的极限：(1)[(n＋1)k－nk]，0＜k＜1；(2)，其中a1，a2，…，am为给定的正常数；(3)(1＋2n＋3n)1/n；(4)．标准答案：(1)因为0＜(n＋1)k－nk＝，而当k＜1时，．所以[(n＋1)k－nk]＝0．(2)记a＝max{a1，a2，…，am}则有而，即＝max{a1，a2，…，am}．(3)因为而(4)因为知识点解析：暂无解析14、计算标准答案：知识点解析：暂无解析15、设二元函数z＝z(x，y)由方程z＋y＋z＝sin(xyz)所确定，求．标准答案：知识点解析：暂无解析16、求方程xy－ln(x＋y)＝0所确定的函数y＝f(x)的微分dy．标准答案：对xy－ln(x＋y)＝0两边同时求微分，得d[xy－ln(x＋y)]＝0知识点解析：暂无解析17、求极限标准答案：＝1/6．知识点解析：暂无解析18、设点(－1，2)是曲线y＝x3－ax2＋b的拐点，求a，b的值．标准答案：y’＝3x2－2ax，y’’＝6x－2a．依题设，应有6·(－1)－2a＝0，从而a＝－3．又拐点在曲线上，知2＝(－1)3－a(－1)2＋b，于是b＝0．直线2x－y＋1＝0的斜率为2．知识点解析：暂无解析19、求曲线平行于直线2z－y＋1＝0的切线方程．标准答案：设切点为(x0，y0)，y’(x0)＝．依题意，应有＝2，可解得x0＝－1，y0＝1，即切点为(－1，1)．故所求为：y－1＝2(x＋1)，2x－y＋3＝0．知识点解析：暂无解析20、用L米塑钢做一个矩形窗框，如何设计尺寸使采光最好?标准答案：设矩形的宽、高分别为x，y，记面积为S，依题意S＝xy且2(x＋y)＝L，即y＝1/2(L－2x)，从而．．因此，当宽、高相等时采光最好．知识点解析：暂无解析广西专升本（高等数学）模拟试卷第6套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、有一杠杆，支点在它的一端．住距支点0．1m处挂一重量为49kg的物体．加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图)．如果杠杆的线密度为5kg／m，求最省力的杆长．标准答案：设杆长为x(m)，加于杠杆一端的力为F，则有xF＝·5x＋49·0．1，即(x＞0)．，得驻点为x＝1．4．由问题的实际意义知，F的最小值一定在(0，＋∞)内取得，而F在(0，＋∞)内只有一个驻点x＝1．4，所以F一定在x＝1．4m处取得最小值，即最省力的杆长为1．4m．知识点解析：暂无解析2、求平面x＝0，y＝0，x＋y＝1，z＝0及抛物面x2＋y2＝6－z所围成的立体的体积．标准答案：由二重积分的几何意义知，V＝[(6－2x2－y2)－(x2＋2y2)]dσ，其中D为圆域x2＋y2≤2．(D的求法：，消z．)知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、当自变量x由x0变到x0＋△x，y＝f(x)的改变量△y＝()．A、f(x0＋△x)B、f’(x0)＋△xC、f(x0＋△x)－(x0)D、f’(x0)△x标准答案：C知识点解析：暂无解析4、下列定积分的结果正确的有()．A、∫abf’(x)dx＝f(x)＋cB、∫abf’(x)dx＝f(b)＋f(a)C、∫abf’(2x)dx＝1/2[f(2b)－f(2a)]D、∫abf’(2x)dx＝f(2b)－f(2a)标准答案：C知识点解析：由牛－莱公式，知∫abf’(x)dx＝f(b)｜ab＝f(b)－f(a)．故A，B均不对．由凑微分法，∫abf’(2x)dx＝1/2∫abf’(2x)d(2x)＝1/2(2x)｜ab＝1/2[f(2b)－f(2a)]．故选C．5、直线L：2x＝5y＝z－1与平面π：4x－2z＝5的位置关系是()．A、L∥πB、L在π上C、L与π有一个交点，垂直D、L与π只有一个交点，但不垂直标准答案：A知识点解析：直线L可化为，L的方向向量为．平面π的法向量是．因为，故L∥π．所以选A．6、x＝0是函数的()．A、可去间断点B、跳跃间断点C、振荡间断点D、无穷间断点标准答案：A知识点解析：因为，所以x＝0是函数f(x)＝的可去间断点．故选A．7、设函数y＝f(x)的定义域是[0，1]，则f(x＋1)的定义域是()．A、[－2，－1]B、[－1，0]C、[0，1]D、[1，2]标准答案：B知识点解析：0≤x＋1≤1，所以－1≤x≤0．故选B．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、________．标准答案：－1/2知识点解析：9、已知y＝x3－x在x0＝2处，△x＝0．01时，△y＝________，dy＝________．标准答案：0．110601；0．11知识点解析：△y＝f(x0＋△x)－f(x0)＝f(2．01)－f(2)＝0．110601．又y’＝3x2－1，y’(2)＝11，dy｜x＝2＝y’(2)·△x＝11×0．01＝0．11．10、f(x，y)＝xy＋yx，则f(xy，x＋y)＝________．标准答案：xyx＋y＋(x＋y)xy知识点解析：f(xy，x＋y)＝xyx＋y＋(x＋y)xy．11、如果，那么m＝________，a＝________．标准答案：2；5知识点解析：因为，故有m＝2．且3/a＝3/5，所以，m＝2，a＝5．12、直线与平面π：x＋y＋2z－11＝0的夹角θ＝________．标准答案：π/6知识点解析：直线L的方向向量为＝(2，－1，1)，平面π的法向量为＝(1，1，2)，故．四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)13、已知，求a，b的值．标准答案：知识点解析：暂无解析14、如果f(x，y)＝，求f(1，y/x)．标准答案：由原式①，得知识点解析：暂无解析15、求平行于向量＝(6，7，－6)的单位向量．标准答案：，故平行于向量的单位向量为知识点解析：暂无解析16、证明：当x≠0时，arctanx＋＝π/2．标准答案：设f(x)＝arctanx＋，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则所以，由拉格朗日中值定理的推论知，f(x)＝f(1)＝π/2．知识点解析：暂无解析17、设f(x)可导，求下列函数y的导数dy/dx．(1)y＝f(x2)；(2)y＝f(sin2x)＋f(cos2x)．标准答案：(1)y’＝f(x2)·(2)‘＝f’(x2)·2x＝2x·f’(x2)．(2)y’＝f’(sin2x)·(sin2x)’＋f’(cos2x)·(cos2x)’＝f’(sin2x)·2sinx·cosx＋f’(cos2x)·2cosx·(－sinx)＝sin2x[f’(sin2x)－f’(cos2x)]知识点解析：暂无解析18、设f(x)＝sinx，将其展开为x＝－π/4的幂级数．标准答案：f(x)＝sinx知识点解析：暂无解析19、求曲线y＝ex在点(0，1)处的切线方程．标准答案：y’＝ex，y’｜x＝0＝1，故在(0，1)处的切线方程为y－1＝1·(x－0)，即y＝x＋1．知识点解析：暂无解析20、求不定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析广西专升本（高等数学）模拟试卷第7套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求介于y=x2，与y=2x之间的图形面积．标准答案：解方程组解方程组解方程组于是三条线的交点分别为(0，0)，(2，4)，(4，8)，故所求面积S=∫02(x2-)dx+∫24(2x-)dx=4知识点解析：暂无解析2、求，D：x2+y2=1，x2+y2=2x，y=0所围区域在第一象限部分且x≥标准答案：设由于则由图示得积分区域D满足于是知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)3、证明方程x=asinx+b(a＞0，b＞0)至少有一个不超过(a+b)的正根．标准答案：设f(x)=x-asinx-b，则f(x)在[0，a+b]上连续．因为f(a+b)≥01)f(a+b)＞0时，又f(0)＜0，由零点定理得，f(x)=x-asinx-b在(0，a+b)内至少有一个零点．2)f(a+b)=0时，x=a+b即为不超过a+b的正根．综上所述方程x=asinx+b(a＞0，b＞0)至少有一个不超过a+b的正根．知识点解析：暂无解析4、设0＜a＜b，证明不等式标准答案：y=lnx在[a，b]上连续，(a，b)内可导，满足拉格朗日定理，于是∈(a，b)，使得，，a＜ξ＜b，因为所以即知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、函数的定义域是A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由己知函数，可得解不等式组可得其定义域为故应选B．6、如果函数在(﹣∞，+∞)内连续，则a=A、0B、1/2C、1D、2标准答案：D知识点解析：若f(x)在(﹣∞，+∞)连续，则f(x)在x=﹣1和x=1处连续，所以即a=2．故应选D．7、曲线y=(x+6)e1/x的单调减区间的个数为A、0B、1C、3D、2标准答案：D知识点解析：定义域为(﹣∞，0)∪(0，+∞)令y′=0，则x1=3，x2=﹣2由此可得，单调减区间有两个，分别为(﹣2，0)，(0，3)．故应选D．8、若连续函数f(x)满足则f(7)=A、1B、2C、1/12D、1/2标准答案：C知识点解析：方程两边同时求导=f(x3﹣1)(x3﹣1)′=3x2f(x3﹣1)，得f(x3﹣1)·3x2=1，则f(x3﹣1)=令x=2，则f(7)=故应选C．9、微分方程xy′+y=满足的解在x=1处的值为A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：方程恒等变形为此为一阶线性非齐次微分方程．由通解公式可得代入初始条件解得C=0，从而可得y丨x=1=arctan1=故应选A．四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)10、函数f(x)=lnsin(cos2x)的图像关于________对称．标准答案：x=0或y轴．知识点解析：因为f(﹣x)=lnsin[cos2(﹣x)]=lnsin(cos2x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，因此函数图象关于x=0对称．故应填x=0或y轴．11、=________．标准答案：e-3．知识点解析：=e-3，故应填e-3．12、的第一类间断点为________．标准答案：x=0，x=1．知识点解析：f(x)=的间断点为x=0，x=1，x=﹣1，分别求这三个点处的函数极限其中，极限存在的为第一类间断点，极限不存在的为第二类间断点．由此可得第一类间断点为x=0，x=1．故应填x=0，x=1．13、设则=________．标准答案：{﹣7，2，1}．知识点解析：14、直线与平面2x-y﹣3z+7=0的位置关系为________．标准答案：平行．知识点解析：直线的方向向量平面法向量为n={2，﹣1，﹣3}，s·n=18×2+6×(﹣1)+10×(﹣3)=0，所以两向量垂直，直线与平面平行．又因为点在直线上但不在平面内，所以直线与平面平行五、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)15、设存在，求a的值．标准答案：因为所以a=2．知识点解析：暂无解析16、已知当x→0时，与sin2x是等价无穷小，求a的值．标准答案：因为所以a=2．知识点解析：暂无解析17、求由方程确定的隐函数y=y(x)的导数．标准答案：方程可化为方程两边同时对x求导，得解之，得知识点解析：暂无解析18、设f(x)=∫0x，求f(x)的极值．标准答案：根据积分上限求导数公式可得，由得x=0，又由得f″(0)＞0，故由极值存在的第二充分条件得f(0)=0为函数的极小值．知识点解析：暂无解析19、设z=z(x，y)是由x2z+2y2z2+y=0确定的函数，求标准答案：令F(x，y，z)=x2z+2y2z2+y，则知识点解析：暂无解析20、改变积分∫01dxf(x，y)dy+∫14dxf(x，y)dy的积分次序．标准答案：根据原积分，写出两个二次积分对应的积分区域满足的不等式D1：和D2：将D1与D2合并成D，合并后的D是由y=x﹣2，y2=x所围成的区域，可以看成Y型，故D：因此∫01dxf(x，y)dy+∫14dxf(x，y)dy=∫-12dyf(x，y)dx．知识点解析：暂无解析21、求幂级数的收敛域．标准答案：因为an=(﹣1)n所以收敛半径当x=﹣1时，发散；当x=1时，收敛．所以，原级数的收敛域为(﹣1，1]．知识点解析：暂无解析广西专升本（高等数学）模拟试卷第8套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、求下列函数在指定点M0处沿指定方向l的方向导数：(1)z＝x2＋y2，M0(1，2)，l为从点(1，2)到点的方向；(2)u＝，Mo(1，2，－2)，＝(1，1，－1)．标准答案：(1)(2)知识点解析：暂无解析2、问函数u＝xy2z在点P(1，－2，2)处沿什么方向的方向导数最大?并求此方向导数的最大值．标准答案：沿梯度方向的方向导数最大，知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、曲面z＝x2＋y2与平面z＝9所围成的立体的体积可用二重积分表示为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：所围成的立体的体积＝所以选B．4、当x→0时，x3/2与1－cosx比较，可得()．A、x3/2是较1－cosx的高阶无穷小量B、x3/2是较1－cosx的低阶无穷小量C、x3/2是较1－cosx的同阶但非等价无穷小量D、x3/2与1－cosx是等价无穷小量标准答案：B知识点解析：因为，因此1－cosx是较x3/2手更高阶的无穷小量，即x3/2是较1－cosx的低阶无穷小量．所以选B．5、下列结论正确的有()．A、f(x0)＝[f(x0)]’B、f(x)在x＝x0处不可导，则f(x)在x＝x0处不一定连续C、f(x)在x＝x0处不连续，则f(x)在x＝x0处—定不可导D、f(x)在x＝x0处存在切线，则f(x0)必存在标准答案：C知识点解析：记号f’(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数值，其存在与否以及存在时等于何值取决于具体的函数及具体点的坐标；而记号[f(x0)]’是常值函数f(x0)的导函数，其结果肯定为零，与函数f(x)的具体表达式无关．连续是可导的必要条件，而非充分条件，即若f(x)在x＝x0处可导，则f(x)在x＝x0处一定连续：反之未必．看曲线y＝f(x)在对应点x＝x0处存在铅直的切线，则f’(x0)＝∞，故此时f’(x0)并不存在．综上分析，选C．6、设三矢量满足关系式，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：取，可以同时排除A，B，C，故选D．事实上，由于，所以，必有．7、设，则f(x＋y，x－y)＝()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：f＝(x＋y，x－y)＝．故选B．三、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、方程(y’’)3－xy’＋cosy＝x2＋1是________阶微分方程．标准答案：二知识点解析：微分方程的阶定义为方程中所含的未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数．9、级数收敛的范围是________．标准答案：P＞0知识点解析：暂无解析10、当f(x)的二阶导数存在时，f’’(x0)＝0是曲线在(x0，f(x0))为拐点的________条件．标准答案：必要知识点解析：暂无解析11、设y＝ln[ln(1nx)]，则y’＝________．标准答案：知识点解析：暂无解析12、x＝a是函数的第________类间断点，且为________间断点．标准答案：一；跳跃知识点解析：函数在x＝a处无定义，但在其附近有定义．所以x＝a是函数的第一类跳跃型间断点．四、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)13、求函数f(x，y)＝e2x(x＋y2＋2y)的极值．标准答案：A＝＝e2x(4x＋4y2＋8y＋4)＝2e，B＝＝4e2x(y＋1)＝0，C＝＝2e2x＝2e，B2－AC＝－4e2＜0，A＝2e＞0．故f(x，y)在(1/2，－1)处取得极小值f(1/2，－1)＝．知识点解析：暂无解析14、求过点A(0，－3，2)和两点B(3，4，－7)，C(1，2，7)连线中点的直线方程．标准答案：B(3，4，－7)和C(1，2，7)的连线中点为D(2，3，0)．可取L的方向向量为＝(2，6，－2)∥(1，3，－1)．故所求直线方程为L：．知识点解析：暂无解析15、求图形的面积：抛物线y＝x2，y＝(x－2)2与直线y＝0所围成的图形．标准答案：联立方程组．故得抛物线y＝x2与抛物线y＝(x－2)2的交点为(1，1)．知识点解析：暂无解析16、求不定积分∫(2x＋3x)2dx．标准答案：∫(2x＋3x)2dx＝[∫4x＋2(6x)＋9x]dx＝知识点解析：暂无解析17、求函数的间断点，并指出其类型．标准答案：在x＝1处无定义，从而x＝1为间断点．因为，所以x＝1为第一类间断点，且为可去间断点．知识点解析：暂无解析18、求方程y3－3y＋4ax＝0所确定的隐函数的导数y’．标准答案：方程两边对自变量x求导，有3y2y’－3y’＋4a＝0，即3(y2－1)y’＝－4a．所以知识点解析：暂无解析19、求曲线的水平渐进线和垂直渐进线．标准答案：因为，故曲线有一条水平渐进线y＝0．注意到在x＝－1处无定义，但在其附近有定义，故x＝－1是的间断点．又因为，所以直线x＝1是曲线的一条垂直渐进线．知识点解析：暂无解析20、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析广西专升本（高等数学）模拟试卷第9套一、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、已知f(x)为连续的奇函数，证明∫0xf(t)dt为偶函数．标准答案：设F(x)=∫0xf(t)dt，则F(﹣x)=∫0﹣xdt，令u=﹣t，则t=﹣u，dt=﹣du，且当t=0时，u=0，t=﹣x时，u=x，则F(﹣x)=∫0﹣xf(t)dt=∫0xf(﹣u)(﹣du)=∫0xf(u)du=∫0xf(t)dt=F(x)，故∫0xf(t)dt为偶函数．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)2、函数的定义域是()A、[﹣3，4]B、(﹣3，4)C、[＜0，2]D、(0，2)标准答案：C知识点解析：由函数arcsin可知，解得﹣3≤x≤4；由函数可知，2x-x2≥0，解得O≤x≤2．故原函数的定义域为两者的交集[＜0，2]，选项(C)正确．3、极限等于()A、0B、2C、1D、﹣1标准答案：B知识点解析：选项(B)正确．4、曲线在点的切线方程是()A、x+4y﹣4=0B、x-4y-4=0C、4x+y-4=0D、4x-y-4=0标准答案：A知识点解析：由于故曲线在点处的切线斜率k=故切线方程为即x+4y﹣4=0，选项(A)正确．5、函数f(x)在x0点可导，且f(x0)是函数f(x)的极大值，则()A、f′(x0)＜0B、f″(x0)＞0C、f′(x0)=0，且f″(x0)＞0D、f′(x0)=0标准答案：D知识点解析：根据可导函数在点x0取得极值的必要条件可知，选项(D)正确．6、函数的铅直渐近线是()A、x=1B、x=0C、x=2D、x=﹣1标准答案：A知识点解析：由于故x=1是原函数的铅直渐近线，选项(A)正确．说明：由于故x=0不是铅直渐近线．7、定积分∫02的值是()A、2πB、πC、π/2D、4π标准答案：B知识点解析：根据定积分的几何意义，∫02就等于圆x2+y2=4位于第一象限内的面积(圆面积)，故∫02·π·22=π，选项(B)正确．8、已知f′(0)=3，则等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据导数的定义，选项(D)正确．9、已知点A(1，1，1)，点B(3，x，y)，且向量与向量=(2，3，4)平行，则x等于()A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：由于向量=(2，x﹣1，y﹣1)，由向量与向量=(2，3，4)平行可知，对应分量成比例，故解得x=4，选项(D)正确．10、如果级数un(un≠0)收敛，则必有()A、级数发散B、级数丨un丨收敛C、级数(﹣1)nun收敛D、级数收敛标准答案：D知识点解析：由于级数un收敛，且un≠0，所以un=0，则所以级数发散，选项(A)正确；级数un收敛但丨un丨不一定收敛(如)，选项(B)错误；级数un收敛但(﹣1)nun不一定收敛(如)，选项(C)错误；由于而级数发散，故发散，选项(D)错误．11、函数f(x)=丨x丨在点x=0处()A、不连续B、连续，