广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷1（共213题）

广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷1（共9套）（共213题）广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)1、函数y=(2/3)x-的驻点和极值点的个数分别是()A、1个驻点，2个极值点B、2个驻点，1个极值点C、1个驻点，1个极值点D、2个驻点，2个极值点标准答案：A知识点解析：y=(2/3)x-，x∈R，y’=(2/3)(1-)，令y’=0，得驻点x=1，且y在x=0处不可导。当x＜0时，y’＞0，当0＜x＜1时，y’＜0，当x＞1时，y’＞0，所以x=0和x=1是函数的极值点。因此y=(2/3)x-有1个驻点，2个极值点。2、设函数y=f(x)的导数y’=f’(x)的图形如图2-1所示，则下列结论正确的是()。A、x=-1是f(x)的驻点，但不是极值点B、x=-1为f(x)的极大值点C、x=0是f(x)的极小值点D、x=-1为f(x)的极小值点标准答案：D知识点解析：从图形上可知，f’(-1)=0，因而x=-1为f(x)的驻点。当x＜-1时，f’(x)＜0；当x＞-1时，f’(x)＞0。所以x=-1是y=f(x)的极小值点，故选D。3、设函数f(x)满足关系式f”(x)+[f’(x)]2=-2，且f’(0)=0，则()A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：由f’(0)=0及f”(x)4+[f’(x)]2=-2知f(0)=-2＜0，所以x=0是f(x)的极大值点，且(0，f(0))不是f(x)的拐点。4、设函数f(x)在点x0的某个邻域内可导，且f(x0)为f(x)的一个极大值，则[(x0+8h)-f(x0)]/4h()A、-2B、0C、1D、2标准答案：B知识点解析：因为f(x)在点x0处可导且取得极大值，于是f’(x0)=0，故5、设两个函数f(x)及g(x)都在点x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在点x=a处()A、必取极大值B、必取极小值C、不可能取极值D、是否取极值不能确定标准答案：D知识点解析：A、B项反例：f(x)=1-x2和g(x)=-1/(1-x2)都在点x=0处取得极大值，但f(x)·g(x)=-1在点x=0处不取极值；C项反例：f(x)=-x2和g(x)=-x4都在点x=0处取得极大值，但f(x)g(x)=x6在点x=0处取极小值。针对不同情形，F(x)在点x=a处是否取极佰不能确定，故选D。6、设x=x0为y=f(x)的驻点，则y=f(x)在x0处不一定()A、连续B、可导C、取得极值D、有平行于x轴的切线标准答案：C知识点解析：驻点是导数为零的点，所以A、B项一定成立，由导数的几何意义可知D项成立。驻点不一定是极值点，故选C。7、若x=x0为函数y=f(x)的极大值点，则下列结论正确的是()A、f(x0)比任何点的函数值都大B、不可能存在比f(x0)大的极小值C、x0也可能是区间的端点D、以上说法都不对标准答案：D知识点解析：由题意可知在x0的某个去心邻域内，有f(x)＜f(x0)．极值是局部概念，可能存在比f(x0)大的极小值。但极值点不可能在区间端点取到，故选D。8、设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，且xf’(x)-f(x)＜0，则f(x)/x在区间(0，a)内()A、单调递减B、单调递增C、有增有减D、不增不减标准答案：A知识点解析：在区间(0，a)内，(f(x)/x)’=[xf’(x)-f(x)]/x2＜0，故f(x)/x在区间(0，a)内单调递减。9、设y=f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，若存在唯一点x0∈(a，b)，使f’(x0)=0，且在x0左右两侧f’(x)异号，则点x=x0必为f(x)的()A、极值点且为最值点B、极值点但不是最值点C、最值点但非极值点D、以上都不对标准答案：A知识点解析：根据题意知，x=x0为极值点，又f(x)在(a，b)内可导，且存在唯一极值点，所以x0也为f(x)的最值点。10、设f(x)为偶函数，且二阶可导，f″(0)≠0，则下列结论正确的是()A、x=0不是f(x)的驻点B、x=0不是f(x)的极值点C、x=0是f(x)的极值点D、(0，f(0))是f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由于f(x)为偶函数，因此有f(x)=f(-x)，则f’(x)=-f’(-x)，f’(0)=-f’(0)，得f’(0)=0。故x=0为f(x)的驻点，又f(0)≠0，所以x=0是f(x)的极值点，且(0，f(0))不是f(x)的拐点。11、设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且对任意的x1，x2，当x1＞x1时，都有f(x1)＞f(x2)，则()A、对任意的x，f’(x)＞0B、对任意的x，f’(-x)≤0C、函数f(-x)单调递增D、函数-f(-x)单调递增标准答案：D知识点解析：取f(x)=x3，有f’(x)=3x2，f’(0)=0，f’(-x)=3x2≥0，f(-x)=-x3单调递减，排除A，B，C，故选D。D项证明如下：令F(x)=-f(-x)，当xi＞x2，则-x1＜-x2，f(-x1)＜f(-x2)。所以F(x1)=-f(-xi)＞-f(-x2)=F(x2)，故-f(-x)单调递增。12、函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c为实数，当a2-3b＜0时，f(x)是()A、增函数B、减函数C、常数函数D、单调性与a、b取值有关的函数标准答案：A知识点解析：f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈R，f’(x)=3x2+2ax+b。当a2-3b＜0时，对于f’(x)=0，由判别式△=4(a2-3b)＜0，可知该方程无解，因此f’(x)＞0恒成立，所以f(x)为增函数。13、已知f(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=0，f(x)/(1-cosx)=1，则f(x)在点x=0处()A、不可导B、可导且f’(0)≠0C、取得极大值D、取得极小值标准答案：D知识点解析：因为[f(x)/(1-cosx)]＞0，在点x=0的某个去心邻域内有1-cosx＞0，则f(x)＞0=f(0)，所以f(x)在点x=0处取极小值，故选D。14、设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＜0，f”(x)＜0，又△y=f(x+△x)-f(x)，dy=f″(x)△x，则当△x＞0时，有()A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0标准答案：B知识点解析：由于f’(x)＜0，△x＞0，可知dy=f’(x)Ax＜0。因此应排除A、C项。由于f”(x)＜0，f’(x)＜0，因此曲线弧f(x)单调下降且为凸的，由曲线弧f(x)的图形可知△y＜dy，故选B。15、曲线y=x3-6x2+3x+4的拐点为()A、(2，-6)B、(-2，-34)C、(2，6)D、(1，2)标准答案：A知识点解析：y’=3x2-12x+3，y”=6x-12，令y”=0，得x=2，此时y=-6。当x＞2时，y”＞0；当x＜2时，y”＜0，故曲线的拐点为(2，-6)。16、曲线y=ex/(1+x)()A、有一个拐点B、有两个拐点C、有三个拐点D、无拐点标准答案：D知识点解析：函数y的定义域为x≠-1。因为y’=xe/(1+x)2，y”=[ex(1+x2)]/(1+x)3，所以y”在定义域内恒不等于0，且无二阶不可导点，所以曲线无拐点。17、曲线y=(x+3)5+3的凸区间为()A、(-∞，-3)B、(-3，+∞)C、(-∞，3)D、(3，+∞)标准答案：A知识点解析：y’=5(x+3)4，y”=20(x+3)3，令y”＜0，得x＜-3，所以曲线的凸区间为(-∞，-3)，故选A。18、曲线y=(2-x)-1/3在(2，+∞)内()A、单调递增且为凸的B、单调递增且为凹的C、单调递减且为凸的D、单调递减且为凹的标准答案：A知识点解析：y’=(1/3)(2-x)-4/3，y”=(4/9)(2-x)-7/3，在(2，+∞)上，y’＞0，y”＜0，故曲线在(2，+∞)内是单调递增且为凸的。19、函数y=2+cos(x/2)在区间(π，2π)内的图形是()A、凹的B、凸的C、既有凹的又有凸的D、直线标准答案：A知识点解析：y=2+cos(x/2)，y’=(-1/2)sin(x/2)，y”=(-1/4)cos(x/2)，当x∈(π，2π)时，y”＞0，从而函数y的图形在(π，2π)内为凹的。故选A。20、若曲线f(x)在(a，b)内任意一点的切线总位于曲线弧上方，则该曲线在(a，b)内是()A、凹的B、凸的C、单调上升D、单调下降标准答案：B知识点解析：由凹凸性的定义可知答案选B。21、若点(0，1)是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有()A、a=1，b=-3，c=1B、a≠0，b=0，c=1C、a=1，b=0，c为任意实数D、a、b为任意实数，c=1标准答案：B知识点解析：因为(0，1)在曲线上，所以c=1；又y’=3ax2+2bx，y”=6ax+2b，(0，1)为拐点，所以y”(0)=2b=0，得b=0；当a=0时，y=c=1无拐点，所以a≠0，故选B。22、曲线y=1+[ln(1+x)/(x+1)]()A、有水平渐近线，无垂直渐近线B、无水平渐近线，有垂直渐近线C、既有水平渐近线，又有垂直渐近线D、既无水平渐近线，也无垂直渐近线标准答案：C知识点解析：对于y=1+[ln(1+x)/(x+1)]，因为[1+ln(1+x)/(x+1)]=1+/(1+x)=1，故曲线有水平渐近线y=1；又[1+ln(1+x)/(x+1)]=-∞，故曲线有垂直渐近线x=-1。23、曲线y=xsin(1/x)()A、仅有水平渐近线B、仅有垂直渐近线C、既有水平渐近线，又有垂直渐近线D、既无水平渐近线，又无垂直渐近线标准答案：A知识点解析：由于xsin(1/x)=[sin(1/x)/(1/x)]=1，xsin(1/x)=0，因此曲线y=xsin(1/x)只有水平渐近线。24、曲线y=[(x+xsinx)/(x2-1)]的水平渐近线是()A、y=2B、y=-2C、y=1D、y=-1标准答案：D知识点解析：[(x+xsinx)/(x2-1)]=[(1/x+sinx/x)/(1-1/x2)-1]=-1，所以曲线的水平渐近线为y=-1。广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第2套一、证明题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)1、设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)。证明：若f(x)不恒为常数，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0。标准答案：因为f(a)=f(b)，且f’(x)不恒为常数，所以至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)≠f(a)，则f(x0)＞f(a)或f(x0)＜f(a)。不妨设f(x0)＜f(a)，则对函数f(x)在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得至少存在ξ∈(x0，b)(a，b)，使得f’(ξ)=[f(b)-f(x0)]/(b-x0)=[f(a)-f(x0)/(b-x0)]＞0。同理可证对于f(x0)＞f(a)的情形结论也成立。知识点解析：暂无解析2、设f(x)在[a，b]上有连续，在(a，b)内可导，b-a≥4，求证：存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＜1+f2(＜)。标准答案：设F(x)=arctanf(x)，根据条件b-a≥4可知b-a＞π，且arctanf(b)-arctanf(a)≤｜arctanf(b)｜+｜arctanf(a)｜＜π，对函数arctanf(x)在区间[a，b]上应用拉格朗日中值定理，知存在ξ∈(a，b)，使得[arctanf(x)]’｜x=ξ=f’(ξ)/[1+f2(ξ)]=[arctanf(b)-arctanf(a)]/(b-a)＜1。故存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＜1+f2(ξ)。知识点解析：暂无解析3、设f(x)二阶可导，且f(x)/x=1，又f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f″(ξ)=0。标准答案：由f(x)二阶可导，[f(x)/x]=1得f(0)=0，f’(0)=1，故由拉格朗日中值定理得存在c∈(0，1)，使得f’(c)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=1，又f’(0)=f’(c)=1，所以由罗尔中值定理得存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得f(ξ)=0。知识点解析：暂无解析4、已知F(x)=arctanx-arcsin，x∈(-∞，+∞)，证明：F(x)=0恒成立。标准答案：则f(x)在[0，+∞)上单调递增，故当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx。知识点解析：暂无解析5、证明：当x＞1时，2＞3-1/x。标准答案：知识点解析：暂无解析6、证明：当x＞0时，(1+x)ln(1+x)＞arctanx。标准答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx，则f(x)在[0，+∞]上连续，且x＞0时，f’(x)=ln(1+x)+1-1/(1+x2)=ln(1+x)+x2/(1+x2)＞0，则f(x)在[0，+∞]上单调递增，故当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx。知识点解析：暂无解析7、设f(x)在[0，+∞)上连续，f(0)=0，f″(x)在(0，+∞)内恒大于零，证明g(x)=f(x)/x在(0，+∞)内单调递增。标准答案：g’(x)=[f’(x)-f(x)]/x2，令φ(x)=f’(x)x-f(x)，因为φ’(x)=f″(x)x+f’(x)-f’(x)=f″(x)x＞0(x＞0)，所以x＞0时φ(x)单调递增，即φ(x)＞φ(0)=0，所以g’(x)＞0，故当x＞0时，g(x)在(0，+∞)内单调递增。知识点解析：暂无解析8、证明：当0＜x＜π/2时，sinx+tanx＞2x。标准答案：设f(x)=sinx+tanx-2x，则f(x)在[0，π/2)上连续，f’(x)=cosx+sec2x-2，f″(x)=sinx+2sec2xtanx=sinx(2sec3x-1)＞0x∈(0，π/2)，因此f’(x)在(0，π/2)内单调递增，故f’(x)＞f’(0)=0，因此f(x)在(0，π/2)内单调递增，故f(x)＞f(0)=0，即sinx+tanx＞2x，x∈(0，π/2)。知识点解析：暂无解析9、已知函数f(x)=(alnx-xlna)/x，x∈(e，+∞)，证明：当a＞b＞e时，ab＜ba。标准答案：f’(x)=[(a/x-lna)x-(alnx-xlna)]/x2=[a(1-lnx)]/x2。因为x＞e，所以1-lnx＜0，且由题意知a＞0，故f’(x)＜0，故f(x)在(e，+∞)内单调递减，又e＜b＜a，则f(a)＜f(b)。而f(a)=0，则f(b)＞0，即alnb-blna＞0。即alnb＞blna，故ab＜ba。知识点解析：暂无解析10、当x＞0时，证明：。标准答案：知识点解析：暂无解析11、当0＜x＜π时，证明sinx/2＞x/π。标准答案：令F(x)=sin(x/2)-x/π，则F(0)=F(π)=0。而F’(0)=1/2-1/π＞0，F’(π)=-1/π＜0，判断不出F’(x)的正负。注意到F″(x)＜0，则F(x)在0＜x＜π时是凸的。由于F(0)=F(π)-0，故F(x)＞0，即sin(x/2)＞x/π，得证。知识点解析：暂无解析12、当x＞0时，证明：x-x/2＜ln(1+x)＜x。标准答案：令f(x)=ln(1+x)-x+x2/2，则f(x)在[0，+∞)上连续，f’(x)=1/(1+x)-1+x=x2/(1+x)，x＞0时，f’(x)＞0，f(x)为增函数，f(x)＞f(0)=0。所以x＞0时，ln(1+x)＞x-x2/2。令g(x)=x-ln(1+x)，则g(x)在[0，+∞)上连续，g’(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)。x＞0时，g’(x＞0，g(x)为增函数，g(x)＞g(0)=0，所以x＞0时，x＞ln(1+x)。综上所述，当x＞0时，x-x2/2知识点解析：暂无解析13、证明：方程x3-3x+1=0有且仅有三个实根。标准答案：令f(x)=x3-3x+1，则f’(x)=3(x+1)(x-1)。当-1＜x＜1时，f’(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1或x＜-1时，f’(x)＞0，f(x)单调递增。因为f(-2)=-1＜0，f(-1)=3＞0，f(1)=1＜0，f(2)=3＞0，所以由零点定理及f(x)的单调性知，在(-2，-1)，(-1，1)及(1，2)内，函数f(x)各只存在一个零点。故方程x3-3x+1=0有且仅有三个实根。知识点解析：暂无解析14、证明：方程5x+arctanx+4sinx-1=0在区间(0，1)内有唯一实根。标准答案：设f(x)=5x+arctanx+4sinx-1，则f(x)在[0，1]上连续，f(0)=-1＜0，f(1)=4+4sin1+arctan1＞0，即f(0)·f(1)＜0，所以由零点定理可知，存在一点ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0。又f’(x)=5+1/(1+x2)+4cosx＞0，则f(x)是单凋递增的，故存在唯一的ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0，即方程5x+arctanx+4sinx-1=0在区间(0，1)内有唯一实根。知识点解析：暂无解析15、证明：方程lnx-x/e+1/2=0在(0，+∞)内有且仅有两个实根。标准答案：令f(x)=lnx-x/e+1/2，f(x)=-∞，f(e2)=5/2-e＜0，而f(e)=1/2>＞0，所以f(x)在(0，e)内至少有一个零点，在(e，e2)内至少有一个零点。又f’(x)=1/x-1/e，令f’(x)=0，得x=e。当0＜x＜e时，f’(x)＞0，f(x)单调增加；当x＞e时，f’(x)＜0，f(x)单调减少。所以f(x)在(0，e)，(e，e2)内各仅有一个零点，综上可知方程lnx-x/e+1/2=0在(0，+∞)内有且仅有两个实根。知识点解析：暂无解析16、证明：当x＞0时，arctanx+1/x＞π/2。标准答案：令f(x)=arctanx+1/x，则f(x)在(0，+∞)内连续，且f’(x)=1/(1+x2)-1/x2，所以f(x)在(0，+∞)内单调递减，又因为[*]91f(x)=π/2，所以f(x)＞π/2，即arctanx+1/x＞π/2。知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)17、已知曲线y=1/x2+2x2，则曲线在点(1，3)处的切线与x轴的交点坐标为()A、(-1/2，0)B、(1，3)C、(1，0)D、(0，0)标准答案：A知识点解析：y’=-2/x3+4x，y’(1)=2，所以曲线在点(1，3)处的切线方程为y-3=2(x-1)，即y=2x+1，令y=0，得x=-1/2，所以曲线在点(1，3)处的切线与x轴的交点坐标为(-1/2，0)。18、若函数y=f(x)满足f’(x0)=1/6，则当△x→0时，该函数在点x=x0处的微分dy是()A、与△x等价的无穷小B、与△x同阶非等价的无穷小C、与△x低价的无穷小D、比△x高阶的无穷小标准答案：B知识点解析：按照微分定义可知在点x=x0处，dy=f’(x0)dx=f’(x0)△x=(1/6)△x，当△x→0时，dy与△x为同阶非等价的无穷小，故选B。三、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)19、设y=ecos2x，则y’=__________。标准答案：-2sin2xecos2xB21知识点解析：y’=ecos2x(cos2x)’=ecos2x(-sin2x)·(2x)’=-2sin2xecos2x。20、设函数y=y(x)是由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定的函数，则dy/dx｜x=0=__________。标准答案：1知识点解析：把x=0代入方程ln(x2+y)=x3y+sinx，得lny=0，则y=1。方程两边关于x求导，得1/(x2+y)(2x+dy/dx)=3x2y+x3(dy/dx)+cosx，把x=0，y=1代入上式，得(dy/dx)｜x=0=1。四、解答题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)21、a，b为何值时，函数f(x)=在x=1处可导?标准答案：欲使f(x)在x=1处可导，首先应使f(x)在x=1处连续．因为f(1)=1，且故当a=-1，b=2时，f(x)在x=1处可导。知识点解析：暂无解析22、设函数x=x(y)由方程x=cos(xy)确定，求dx/dy。标准答案：方程两边同时微分，可得dx=-[sin(xy)]·d(xy)=-[sin(xy)]·(ydx+xdy)，整理后得xsin(xy)dy=[-1-ysin(xy)]dx，从而(dx/dy)=-[xsin(xy)/(1+ysin(xy))]。知识点解析：暂无解析广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第3套一、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、曲线y=2lnx+x2+5的凸区间是__________。标准答案：(0，1)知识点解析：函数y的定义域为(0，+∞)，y’=2/x+2x，y”=-2/x2+2=2(x2-1)/x2，当y”＜0时，0＜x＜1，所以曲线y的凸区间为(0，1)。2、已知点(1，1)是曲线y=x2+alnx的拐点，则a=__________。标准答案：2知识点解析：函数y的定义域为(0，+∞)，由y=x2+alnx得y2=2x+a/x，y”=2-a/x2。由于点(1，1)是曲线的拐点，且函数在定义域内二阶可导，因此y”｜t=0=2-a=0，解得a=2。3、设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1，2]上的最大值为2，最小值为-30，又知a＞0，则a=__________，b=__________。标准答案：2，2知识点解析：f(x)=3ax2-12ax，令f’(x)=0，则x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]上，故舍去。f(-1)=-a-6a+6=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因为a＞0，故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小，所以b-16a=-30，即16a=2+30=32，故a=2。4、设曲线y=x3+ax2-6x+1的拐点横坐标为x=1，则其拐点是__________。标准答案：(1，-7)知识点解析：函数的定义域为(-∞，+∞)，y’=3x2+2ax-6，y”=6x+2a，由于曲线拐点横坐标为x=1，因此y”｜x=1=6+2a=0，解得a=-3。此时y”=6x-6。当x＜1时，y″＜0；当x＞1时，y”＞0。且当x=1时，y=-7，因此点(1，-7)是曲线的拐点。已知函数y=f(x)在(-∞，+∞)上具有二阶连续的导数，且其一阶导函数f’(x)的图形如图2-2所示，则5、函数f(x)的驻点是__________。标准答案：x=-2，x=0，x=2知识点解析：由图形可知f’(-2)=f’(0)=f’(2)=0，所以驻点为x=-2，x=0，x=2。6、f(x)的单调递增区间为__________．标准答案：(-∞，-2)，(2，+∞)知识点解析：因为在(-∞，-2)，(2，+∞)内f’(x)＞0，所以函数的单调递增区间为(-∞，-2)，(2，+∞)。7、f(x)的极大值点为__________。标准答案：x=2知识点解析：因为x＜-2时f’(x)＞0；-2＜x＜0时f’(x)＜0，所以函数的极大值点是x=-2。8、f(x)的极小值点为__________。标准答案：x=2知识点解析：因为0＜x＜2时，f(x)＜0；x＞2时f’(x)＞0，所以函数的极小值点是x=2。9、曲线y=f(x)的凸区间为__________。标准答案：(5)(-∞，-1)，(0，1)知识点解析：由于f(x)具有二阶连续的导数，且f’(x)在(-∞，-1)，(0，1)内是单调递减的，所以在(-∞，-1)，(0，1)内f″(x)＜0，所以曲线的凸区间为(-∞，-1)，(0，1)。10、曲线y=f(x)的凹区间为__________。标准答案：(6)(-1，0)，(1，+∞)知识点解析：由于f(x)具有二阶连续的导数，且f’(x)在(-1，0)，(1，+∞)内是单调递增的，所以在(-1，0)，(1，+∞)内f″(x)＞0，所以曲线的凹区间为(-1，0)，(1，+∞)。11、曲线y=(2x2-5)/(x-9)的垂直渐近线为__________。标准答案：x=9知识点解析：[(2x2-5)/(x-9)]=∞，故x=9为曲线的垂直渐近线。12、设曲线y=(x3+2x+3)/(1-2x3)，则该曲线的水平渐近线为__________。标准答案：y=-1/2知识点解析：y=[(x3+2x+3)/(1-2x3)]，故曲线的水平渐近线为y=-1/2。二、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)用洛必达法则求下列极限：13、(x2-4x+4)/(x3-3x2+4)标准答案：[(x2-4x+4)/(x3-3x2+4)]=[(2x-4)/(3x2-6x)]=[2/(6x-6)]=1/3；知识点解析：暂无解析14、(ex-1)/(x2-x)标准答案：(ex-1)/(x2-x)=[ex/(2x-1)]=-1；知识点解析：暂无解析15、[1/x-(1/x2)ln(1+x)]标准答案：[1/x-(1/x)ln(1+x)]=[x-ln(1+x)]/x2=[1-1/(1+x)]/2x=[1/2(1+x)]=1/2；知识点解析：暂无解析16、[x/(x-1)-1/lnx]标准答案：[x/(x-1)-1/lnx]=[xlnx-x+1]/[(x-1)lnx]=[(lnx+1-1)/(lnx+1-1/x)]=[(1/x)/(1/x+1/x2)]=1/2；知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、[ln(ex+x)/x]标准答案：[ln(ex+x)/x]=[(ex+1)/(ex+x)]=[ex/(ex+1)]=ex/ex=1；知识点解析：暂无解析19、xcot2x标准答案：xcot2x=(x/tan2x)=(1/2sec22x)=1/2；知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、(lnx)1/lnx标准答案：知识点解析：暂无解析24、[(π/2-x)tanx]标准答案：知识点解析：暂无解析25、[(xcotx-1)/x2]标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、(x+ex)1/x标准答案：知识点解析：暂无解析广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第4套一、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所确定，求dy/dx。标准答案：对方程两端关于x求导，得cos(x2+y2)·(2x+2y·(dy/dx))+ex-y2-x·2y·(dy/dx)=0。整理得dy/dx=[y2-ex-2xcos(x2+y2)]/[2ycos(x2+y2)-2xy]。知识点解析：暂无解析2、设s=s(t)是由方程sin(ts)+ln(s-t)=t确定的函数，求(ds/dt)｜t=0。标准答案：sin(ts)+ln(s-t)=t两边对t求导，得cos(ts)·(s+f·ds/dt)+[1/(s-t)]·(ds/dt-1)=1。而当t=0时，s=1，代入上式得(ds/dt)｜t=0=1。知识点解析：暂无解析3、已知由方程x2+xy+y2=4所确定的隐函数为y=y(x)，求dy/dx与d2y/dx2。标准答案：方程两端对x求导，得2x+y+x(dy/dx)+2y(dy/dx)=0，解得dy/dx=-(2x+y)/(x+2y)，从而d2y/dx2=[(2+dy/dx)(x+2y)-(2x+y)(1+2(dy/dx))]/(x+2y)2=-[6(x2+xy+y2)]/(x+2y)3=-24/(x+2y)3。知识点解析：暂无解析4、设y=xx+xa+ax+aa(x＞0，a＞0且a≠1)，求dy/dx。标准答案：由于(xx)’=(exlnx)’=exlnx(xlnx)’=exlnx(1+lnx)=(1+lnx)xx，(xa)’=axa-1，(ax)’=axlna，(aa)’=0，故dy/dx=(1+lnx)xx+axa-1+axlna。知识点解析：暂无解析5、求函数y=的导数。标准答案：知识点解析：暂无解析6、求幂指函数y=(lnx)x的导数。标准答案：b=(lnx)x两端取对数得lny=xln(lnx)，上式两端对x求导数得(1/y)y’=ln(lnx)+[x(1/lnx)]·(1/x)=ln(lnx)+1/lnx，于是y’=(lnx)x[ln(lnx)+1/lnx]。知识点解析：暂无解析7、设y=(1+x)1/cosx，求y’。标准答案：因为y=(1+x)1/cosx=e[ln(1+x)/cosx]，所以知识点解析：暂无解析8、已知y=，求y’。标准答案：等式两边取对数，得lny=2ln(x+2)+(1/2)ln(x-3)-3ln(1-x)-x，知识点解析：暂无解析9、设y=y(x)由所确定，求dy/dx。标准答案：知识点解析：暂无解析10、设y=y(x)由所确定，求dy/dx。标准答案：dx/dt=5t4，dy/dt=lnt+t·(1/t)=lnt+1，故dy/dx=(1+lnt)/5t4。知识点解析：暂无解析11、设y=y(x)由所确定，求dy/dx。标准答案：dx/dt=3cost,dy/dt=-2sintcostdy/dx=-2sintcost/3cost=(-2/3)sint。知识点解析：暂无解析12、设y=y(x)由方程所确定，求(dy/dx)｜x=1。标准答案：dx/dt=2et+2tet=2(t+1)et，dy/dt=3t2-3，dy/dx=(3t2-3)/[2(t+1)et]=3(t-1)/2et。当x=1时，t=0，所以(dy/dx)｜x=1=[3(t-1)/2et]｜t=0=-3/2。知识点解析：暂无解析13、设函数y=y(x)参数方程所确定，求d2y/dx2。标准答案：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(3t2+2t)/[1-1/(1+t)]=(t+1)(3t+2)=3t2+5t+2，d2y/dx2=[(d/dt)(dy/dx)]/(dx/dt)=(6t+5)/[1-1/(1+t)]=[(6t+5)(t+1)]/t。知识点解析：暂无解析14、求曲线在t=0的对应点处的切线方程和法线方程。标准答案：将t=0代入方程，得切点(2，1)。又dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=-e-t/2et=-1/2e2t，故曲线在t=0的对应点处的切线斜率k切=(-1/2e2t)｜t=0=-1/2，法线斜率k法=2，所以所求切线方程为y-1=(-1/2)(x-2)，即x+2y-4=0，法线方程y-1=2(x-2)，即2x-y-3=0。知识点解析：暂无解析15、求曲线y+2exy=2在点(0，0)处的切线方程。标准答案：曲线方程两边对x求导，得y’+2(y+xy’)exy=0，所以y’=-2yexy/(1+2xexy)，因为y’｜(0，0)=0，所以曲线在点(0，0)处的切线方程为y=0。知识点解析：暂无解析16、设y=cosx/(3+sinx)(0＜x＜π)，求其反函数x=φ(y)在y=0处的导数。标准答案：y’=[-sinx(3+sinx)-cos2x]/(3+sinx)2=[(-3sinx-1)/(3+sinx)2](0＜x＜π)，令y=0得x=π/2，y’(π/2)=-1/4，所以x=φ(y)在y=0处的导数为1/[y’(π/2)]=-4。知识点解析：暂无解析17、设函数f(x)=求f(x)的导数。标准答案：当x＞0时，f’(x)=cosx；当x＜0时，f’(x)=2x。当x=0时，f(0)在x=0处的导数不存在。所以f(x)在x=0处的导数不存在。知识点解析：暂无解析18、已知函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定，求dy。标准答案：将ey=sin(x+y)两边对x求导得ex·y’=cos(x+y)·(1+y’)，知识点解析：暂无解析19、设y=y(x)是由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)确定的隐函数，求dy。标准答案：利用一阶微分形式的不变性得2dy-dx=(dx-dy)ln(x-y)+(x-y)·[1/(x-y)](dx-dy)，所以[3+ln(x-y)]dy=[2+ln(x-y)]dx，因此dy=[(2+ln(x-y))/(3+ln(x-y))]dx。知识点解析：暂无解析求下列函数的微分：20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、y=log2(1+x2)标准答案：dy=[1/(1+x2)ln2](1+x2)’dx=[2x/(1+x2)ln2]dx。知识点解析：暂无解析广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、曲线y=的垂直渐近线为()A、x=1B、y=0C、y=1D、x=0标准答案：D知识点解析：因为，所以x=0为曲线的垂直渐近线。2、曲线y=(1/x)+ln(1+ex)的水平和垂直渐近线的总条数为()A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：因为y=[1/x+ln(1+ex)]=+∞，y=+ln[(1/x)+ln(1+ex)]=0，所以y=0是曲线的水平渐近线。因为y=[1/x+ln(1+ex)]=∞，所以x=0是曲线的垂直渐近线。综上所述，曲线y=1/x+ln(1+ex)有水平与垂直渐近线共2条。3、要制作一个圆柱形有盖铁桶，其容积为V，要想所用铁皮最省，则底面半径和高的比例为()A、1：2B、1：1C、2：1D、标准答案：A知识点解析：设圆柱形铁桶的底面半径为r，高为h，则有V=πr2h，铁皮的表面积S=2πrh+2πr2=2V/r+2πr2，S’(r)=-2V/r2+4πr=(4πr3-2V)/r2，令S’(r)=0，得r=，由于驻点唯一，且实际问题最值一定存在，所以r=必是最小值点，此时h=，则r：h=1:2。二、填空题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)4、函数f(x)=x3-(3/2)x2在区间[0，3/2]上满足罗尔中值定理结论的ξ__________。标准答案：1知识点解析：f’(x)=3x2-3x=3x(x-1)，因为f(x)在[0，3/2]上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点ξ∈(0，3/2)，使得3ξ(ξ-1)=0，解得ξ=1。5、函数f(x)=sin2x在区间[-π/4，π/4]上满足罗尔中值定理结论的ξ=__________。标准答案：0知识点解析：f’(x)=sin2x，因为函数在[-π/4，π/4]上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点ξ∈(-π/4，π/4)，使得sin2ξ=0，所以ξ=0。6、函数f(x)=e2x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理结论的ξ=__________。标准答案：(1/2)ln[(e2-1)/2]知识点解析：f’(x)=2e2x，f(x)在[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)，所以ξ=(1/2)ln[(e2-1)/2]。7、函数f(x)=(x-1)/x在[1，2]上满足拉格朗日中值定理结论的ξ=__________。标准答案：知识点解析：f’(x)=1/x2，f(x)在[1，2]上满足拉格朗日中值定理的条件，则至少存在一点ξ∈(1，2)，使得f(2)-f(1)=f’(ξ)(2-1)，即1/ξ2=1/2-0，解得ξ=。8、设函数f(x)=x2+px+q，则函数在[a，b]上满足拉格朗日中值定理结论的ξ=__________。标准答案：(a+b)/2知识点解析：f’(x)=2x+p，由拉格朗日中值定理得存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=(b2+pb+q-a2-pa-q)/(b-a)=b+a+p，即有2ξ+p=b+a+p，故ξ=(a+b)/2。9、如果f(x)=c2+kx+3在区间[-1，3]上满足罗尔中值定理的条件，则k=__________。标准答案：-2知识点解析：f(x)=x2+kx+3在[-1，3]上连续，在(-1，3)内可导，若f(x)在[-1，3]上满足罗尔中值定理的条件，则f(-1)=f(3)，即4-k=12+3k，解得k=-2。10、已知当x→0时，sinx-x是atanx3的等价无穷小，则a=__________。标准答案：-1/6知识点解析：11、(x2-1)/e2x=__________。标准答案：0知识点解析：[(x2-1)/e2x]=(2x/2e2x)=(2/4e2x)=0。12、ln(cosx)/x2=__________。标准答案：-1/2知识点解析：13、f(x)=ln(1+x2)的单调递增区间为__________。标准答案：(0，+∞)知识点解析：f(x)=ln(1+x2)的定义域为(-∞，+∞)，f’(x)=2x/(1+x2)，令f’(x)＞0得x＞0，所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)。14、f(x)=arctanx2的单调递减区间为__________。标准答案：(-∞，0)知识点解析：f(x)的定义域为(-∞，+∞)，f’(x)=2x/(1+x4)，令f’(x)<0得x＜0，所以f(x)的单调递减区间为(-∞，0)。15、f(x)=x2-3x2+6x-2在[-1，1]上的最大值为__________。标准答案：2知识点解析：f’(x)=3x2-6x+6=3[(x-1)2+1]＞0，函数在R上单调递增，故f(x)在[-1，1]上的最大值为f(1)=1-3+6-2=2。16、点(1，3)是曲线y=ax3+bx2+1的拐点，则a=__________，b=__________。标准答案：-1，3知识点解析：由已知得y’=3ax2+2bx，y″=6ax+2b，因为点(1，3)是曲线y=ax3+bx2+1的拐点，则有y(1)=a+b+1=3，y″(1)=6a+2b=0，解得a=-1，b=3。17、已知函数f(x)=e-xln(ax)在x=1/2处取得极值，则正数a=__________。标准答案：2e2知识点解析：f(x)=e-xln(ax)，a＞0，x＞0，f’(x)=-e-xln(ax)+e-x·(1/x)，又x=1/2为函数f(x)的极值点，所以f(1/2)=0，从而得a=2e2，经验证，当a=2e2时，在x=1/2两侧邻域内f’(x)异号，即x=1/2是函数的极值点。18、当x=1时，f(x)=x3+3px+q取到极值(其中q为任意常数)，则p=__________。标准答案：-1知识点解析：f’(x)=3x2+3p，f(x)在点x=1处取得极值，则f’(1)=3+3p=0，所以P=-1。19、若f(x)=xex，则f(n)(x)的极小值点为__________。标准答案：x=-(n+1)知识点解析：f’(x)=ex+xex=(x+1)ex，f″(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f?(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，…，f(n)(x)=(x+n)ex，令(f(n)(x))’=f(n+1)(x)=(x+n+1)ex=0，则x=-(n+1)，显然当x＞-(n+1)时，f(n+1)(x)＞0；当x＜-(n+1)时，f(n+1)(x)＜0，因此f(n)(x)的极小值点为x=-(n+1)。20、函数y=x3-12x在区间[-3，33上的最小值为__________。标准答案：-16知识点解析：令y’=3x2-12=0，解得x=2或x=-2。又y(-3)=9，y(-2)=16，y(2)=-16，y(3)=9，比较可得y在[-3，3]上的最小值为-16。21、函数y=(x-2)2(x+1)2/3在区间[-2，2]上的最大值是__________，最小值是__________。标准答案：16，0知识点解析：由于y’=[2(x-2)(4x+1)]/[3(x+1)1/3]，因此函数y在区间(-2，2)内有驻点x=-1/4、不可导点x=-1，依次求出函数在驻点、不可导点及区间端点处的值为y(-1/4)=(-9/4)2(3/4)2/3，y(-1)=0，y(-2)=16，y(2)=0，通过比较这些值的大小可知，函数y在[-2，2]上的最大值为y(-2)=16，最小值为y(-1)=y(2)=0。22、若函数f(x)在[0，1]上满足f”(x)＞0，则f’(0)，f’(1)，f(1)-f(0)的大小顺序为__________。标准答案：f’(1)＞f(1)-f(0)＞f’(0)知识点解析：f″(x)＞0，则f’(x)在[0，1]上单调递增。又由拉格朗日中值定理得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)=f’(ξ)，ξ∈(0，1)，故有f’(1)＞f’(ξ)>f’(0)，即f’(1)＞f(1)-f(0)＞f’(0)。23、曲线f(x)=arctanx+2x+3，则其拐点坐标为__________。标准答案：(0，3)知识点解析：函数的定义域为(-∞，+∞)，f’(x)=[1/(1+x2)]+2，f″(x)=-2x/(1+x2)2，令f″(x)=0，得x=0，f(0)=3，又当x＜0时，f(x)＞0；当x＞0时，f(x)＜0，故点(0，3)是其拐点。24、设点(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，且函数f(x)存在二阶导数，则f”(x0)=__________。标准答案：0知识点解析：拐点为二阶导数为0的点或是二阶不可导点，又由题意可知函数在x=x0处二阶可导，故f″(x0)=0。广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、设函数f(x)可导，则y=f{f[f(x)]}的导数为()A、f’[f(x)]B、f’{f’[f’(x)]}C、f’{f[f(x)]}f’(x)D、f’{f[f(x)]}f’[f(x)]f’(x)标准答案：D知识点解析：y’={f{f[f(x)])}’=f’{f[f(x)])f’[f(x)]f’(x)，故选D。2、若函数f(x)=5x，则f’(x)=()A、5x-1B、x5x-1C、5xln5D、5x标准答案：C知识点解析：f’(x)=(5n)’=5xln5。3、设f(x)=e2+，则f’(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：f’(x)=(e2)’+()’=1/2。4、设函数f(x)=sin2x+sin2x，则f’(π/2)=()A、0B、-2C、π/2D、2π标准答案：B知识点解析：因为f’(x)=2sinxcosx+2cos2x，所以f’(π/2)=2sin(π/2)cos(π/2)+2cosπ=-2。5、若f(x-1)=x2-1，则f’(x)=()A、2x+2B、x(x+1)C、x(x-1)D、2x-1标准答案：A知识点解析：因为f(x-1)=x2-1=(x-1)(x-1+2)，故f(x)=x2+2x，则f’(x)=2x+2。6、已知f(x)在其定义域内为可导的偶函数，且f’(-3)=-7，则f’(3)=()A、-7B、7C、3D、-3标准答案：B知识点解析：因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x)，则f’(x)=f’(-x)，故f’(3)=-f’(-3)=7。7、设函数f(x)可导，则y=f(2/π)的导数y’=()A、(2/x2)f’(2/x)B、(x/2)f’(2/x)C、(-1/x2)f’(2/x)D、(-2/x2)f’(2/x)标准答案：D知识点解析：y=f(2/x)，则y’=f’(2/x)·(2/x)’=(-2/x2)f’(2/x)。8、设函数g(x)可微，h(x)=e3+2g(x)，h’(2)=4，g’(2)=2，则g(2)=()A、ln2-1B、-ln2-1C、-3/2D、3/2标准答案：C知识点解析：由已知条件h(x)=e3+2g(x)可得h’(x)=2e3+2g(x)g’(x)。令x=2，并将h’(2)=4，g’(2)=2代入得4=4e3+2g(2)，从而g(2)=-3/2。9、设函数y=x2+3x+5，则y”=()A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：y’=2x+3，y”=2。10、设y=，则y”=()A、2/xB、1/2x2C、-1/2xD、-1/2x2标准答案：D知识点解析：y″=-1/2x2。11、已知函数．y=ln(1+2x)，则y‴=()A、8/(1+2x)3B、-8/(1+2x)3C、16/(1+2x)3D、-16/(1+2x)3标准答案：C知识点解析：y’=2/(1+2x)，y”=[2(1+2x)-1]’=-2(1+2x)-2·2=-4(1+2x)-2，y?=(-4)·(-2)·(1+2x)-3·2=16(1+2x)-3=16/(1+2x)3。12、已知函数y=cos2x，则y(n)=()A、sin2xB、2nsin[2x+(2/2)π]C、cos2xD、2ncos[2x+(n/2)π]标准答案：D知识点解析：(cos2x)’=-2sin2x=2cos(2x+π/2)，(cos2x)”=-2·2sin2(2x+π/2)=22cos(2x+2π/2)，…，(cos2x)(n)=2ncos(2x+nπ/2)。13、已知函数f(x)=x212+3x210-2x120-5x110+x10-1，则f(211)(2)=()A、2212B、2211C、2．211!D、2．212!标准答案：D知识点解析：因为(xn)(m)=，故f(211)(x)=[212!/(212-211)!]·x+0=212!·x，因此f(211)(2)=2·212!。14、设y=ex+e-x，则y(100)=()A、ex+e-xB、ex-e-xC、-ex+e-xD、-ex-e-x标准答案：A知识点解析：因为(ex)(n)=ex，(e-x)(n)=(-1)ne-x，所以(ex)(100)=(-1)100e-x=e-x，故y(100)=ex+e-x。15、设y=f(x2+a)，其中f二阶可导，a为常数，则y”=()A、2f’(x2+a)+4x2f″(x2+a)B、2xf’(x2+a)C、2f(x2+a)+4x2f’(x2+a)D、4xf”(x2+a)标准答案：A知识点解析：y’=f’(x2+a)·(x2+a)’=2xf’(x2+a)，y”=2f’(x2+a)+2xf(x2+a)·(x2+a)’=2f’(x2+a)+4x2f(x2+a)。16、已知y=y(x)是由方程y2-x-y+9=0确定的函数，则dy/dx=()A、1-2yB、2y-1C、1/(1-2y)D、1/(1-2y)标准答案：D知识点解析：方程两边对x求导得2y(dy/dx)-1-dy/dx=0，整理得dy/dx=1/(2y-1)。17、设y=f(x)是由方程ex-ey=xy确定的隐函数，则y’｜x=0=()A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：当x=0时，y=0。方程两边同时对x求导数，得ex-eyy’=y+xy’，所以y’｜x=0=1。18、已知y=f(x)由方程cos(xy)-lny+x=1确定，则[*]91n[f(2/n)-f(0)]=()A、2B、1C、-1D、-2标准答案：A知识点解析：19、已知y=x1/x，则dy/dx=()A、(1-lnx)/x2B、x1/x-2(1-lnx)C、x1/x-1(1-lnx)D、x1/x-2(lnx-1)标准答案：B知识点解析：y=x1/x联对lny=(1/x)lnx，两边关于x求导得(1/y)·(dy/dx)=(1-lnx)/x2，整理得dy/dx=y[(1-lnx)/x2]=x1/x-2(1-lnx)。20、已知函数y=y(x)由参数方程确定，则dy/dx｜t=π/3=()A、0B、C、D、-2标准答案：A知识点解析：dy/dx=[(dy/dt)/(dx/dt)]=-3sin3t/2cos2t，则(dy/dx)｜t=π/3=(-3sin3t/2cos2t)｜t=π/3=0。21、已知y=y(x)是由参数方程确定的函数，则dy/dx｜(4，27)=()A、27/4B、-27/4C、4、27D、-4/27标准答案：B知识点解析：22、设则d2y/dx2=()A、1B、1/(1+t)C、1/(-1+t)D、-1/(1+t)标准答案：B知识点解析：23、设y=+1，则其反函数x=φ(y)在点y=2处的导数是()A、3B、1/3C、-1/3D、-3标准答案：A知识点解析：广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第7套一、填空题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、设y=[ln(1+x)]/(1+x)，则y’｜x=0=__________。标准答案：1知识点解析：2、设y=1/x3-2+0．2x5+e5，则y’__________。标准答案：-3/x4-1/+x4知识点解析：y’=-3/x4-2/2+0．2·54+0=-3/x4-1/+x4。3、设y=，则y’=__________。标准答案：知识点解析：4、已知y=ln(cos4x)，则y’=__________。标准答案：-4tan4x知识点解析：y’=(1/cos4x)·(cos4x)’=(-sin4x/cos4x)·4=-4tan4x。5、已知y=arccos(2x+3)，则y’=__________。标准答案：知识点解析：6、已知y=e-x/2cos3x，则y’=__________。标准答案：(-1/2)e-x/2(cos3x+6sin3x)知识点解析：y’=(e-x/2)’cos3x+e-x/2(cos3x)’=(-1/2)e-x/2cos3x-3e-x/2sin3x=(-1/2)e-x/2(cos3x+6sin3x)。7、已知f(x)=1/(1+x)满足f(x0)=2，则f’(x0)=__________。标准答案：-4知识点解析：f(B5x0)=1/(1+x0)=2，所以x0=-1/2。又f’(x)=-1/(1+x)2，所以f’(x0)=f’(-1/2)=4。8、设f’(x)=g(x)，则(d/dx)[f(sin2x)]=__________。标准答案：g(sin2x)sin2x知识点解析：(d/dx)[f(sin2x)]=f’(sin2x)·(sin2x)’=2sinxcosx·f’(sin2x)=g(sin2x)sin2x。9、设f(x)=x2e1/x，而h(t)满足条件h(0)=3，h’(t)=sin2(t+π/4)，则(d/dt)[h(t)]｜t=0=__________。标准答案：(5/2)e1/3知识点解析：因为f’(x)=2xe1/x-e1/x，所以(d/dt)f[h(t)]｜t=0={f’[h(t)]·h’(t)}｜t=0=f’[h(0)]·sin2(0+π/4)=f’(3)·(1/2)=(5/2)e1/3。10、设y=f(3x)，其中f(x)为可导函数，则y’=__________。标准答案：3f’(3x)知识点解析：y’=f’(3x)·(3x)’=3f’(3x)。11、已知(d/dx)[f(1/x2)]=1/x，则f’(1/2)=__________。标准答案：-1知识点解析：因为(d/dx)[f(1/x2)]=-f’(1/x2)(2/x3)=1/x，所以f’(1/x2)=(-x2/2)。令x2=2，则f’(1/2)=-1。12、设f具有一阶连续导数，且y=ef(2sinx)，则y’=__________。标准答案：2ef(2sinx)f’(2sinx)cosx知识点解析：y’=[ef(2sinx)]’=ef(2sinx)·[f(2sinx)]’·ef(2sinx)·f’(2sinx)·(2sinx)’=ef(2sinx)·f’(2sinx)·2cosx=2ef(2sinx)f’(2sinx)cosx。13、若f(t)=(1+1/x)2tx，则f’(t)=__________。标准答案：(2t+1)e2t知识点解析：f(t)=t(1+1/x)2tx=t[(1+1/x)x]=te2t，f’(t)=e2t+2te2t=(2t+1)e2t。14、设函数y=cos(3+2x)，则y?=__________。标准答案：8sin(3+2x)知识点解析：因为y=cos(3+2x)，所以y’=-2sin(3+2x)，y”=-4cos(3+2x)，y?=8sin(3+2x)。15、已知y=，则y”=__________。标准答案：[-a2/(a2-x2)]3/2知识点解析：y’==[-a2/(a2-x2)]3/216、已知y=(1+x2)arccotx，则y”=__________。标准答案：2arccotx-2x/(1+x2)知识点解析：y’=2xarccotx+(1+x2)[-1/(1+x2)]2xarccotx-1，y”=2arccotx-2x/(1+x2)。17、设y=cos2x·lnx，则y”=__________。标准答案：-2cos2x·lnx-2sin2x/x-cos2x/x2，y’=-2cosx·sinx·lnx·lnx+cos2x·(1/x)=-sin2x·lnx+cos2x·(1/x)知识点解析：y”=-2cos2x·lnx-sin2x·(1/x)-2cosx·sinx·(1/x)-2cosx·-cos2x·(1/x2)=-2sin2x·lnx-2sin2x/x-cos2x/x2。18、已知y=x2ex，则y(10)｜x=0=__________。标准答案：90知识点解析：y’=2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex[(x+1)2-1]，y”=ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex(x2+4x+2)=ex[(x+2)2-2]，y?=ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex[(x+3)2-3]，y(10)=ex[(x+10)2-10]，所以y(10)｜x=0=90。19、设y=(x2+x+1)66，则y(168)=__________。标准答案：0知识点解析：函数y=(x2+x+1)66中x的最高次项为x132，所以y(168)=0。20、设y=x3+sinx，则y(10)=__________。标准答案：-sinx知识点解析：因为(x3)’=3x2，(x3)”=6x，(x3)?=6，…，(x3)k=0(k≥4)，(sinx)(n)=sin(x+nπ/x)，所以y(10)=(x3+sinx)(10)=0+sin(x+5π)=-sinx。21、已知y(n-2)=f(3x)，其中f任意阶可导，则y(n)=__________。标准答案：3xln23[f’(3x)+3xf″(3x)]知识点解析：y(n-1)=f’(3x)·(3x)’=3xln3·f’(3x)，y(n)=[3xln3·f’(3x)]’=3xln23f’(3x)+32xln23f”(3x)=3xln23[f’(3x)+3xf″(3x)]。22、设y=y(x)是由方程y2+2lny=x2所确定的函数，则dy/dx=__________。标准答案：xy/[y2+1]知识点解析：方程两边对x求导得2y(dy/dx)+(2/y)(dy/dx)=2x，整理得dy/dx=xy/(y2+1)。23、设函数y=y(x)由方程exy+y2=cosx确定，则dy/dx=__________。标准答案：-(yexy+sinx)/(xexy+2y)知识点解析：方程两端关于x求导，得exy[y+x(dy/dx)]+2y(dy/dx)=-sinx，整理得dy/dx=-(yexy+sinx)/(xexy+2y)。广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第8套一、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、讨论函数f(x)=max{x，x4}在(-∞，+∞)内的不可导点的个数。标准答案：故f(x)在x=1处也不可导。故函数f(x)在(-∞，+∞)内的不可导点的个数为2。知识点解析：暂无解析2、求曲线y=3x2-4x+5在点(1，4)处的切线方程和法线方程。标准答案：由y=3x2-4x+5得y’=6x-4。由导数的几何意义可知曲线在点(1，4)处的切线斜率为y’(1)=2。又切线过点(1，4)，所以切线方程为y=4=2(x-1)，即2x-y+2=0。又知法线的斜率为-1/y’(1)=-1/2，从而可得法线方程为y-4=-1/2(x-1)，即x+2y-9=0。知识点解析：暂无解析3、求经过点(0，4)，且与曲线y=2/x相切的直线方程。标准答案：设切点为(x0，2/x0)，因为==-2/x02，所以曲线在点(x0，2/x0)处的切线方程为y-2/x0=-2/x02(x-x0)。把(0，4)代入上式，解得x0=1，故所求直线方程为y-2=-2(x-1)，即2x+y-4=0。知识点解析：暂无解析4、求曲线y=e-x上通过原点的切线方程及与直线x+y=2垂直的法线方程。标准答案：y’=-e-x，曲线y=e-x上任一点(x0，)处的切线方程为y-=-(x-x0)。因为切线过原点，则将x=0，y=0代入得x0=-1，则切点为(-1，e)，故过原点的切线方程为y=-ex。又曲线y=e-x上任一点(x0，)处的法线方程为y-=(x-x0)，因为所求法线与x+y=2垂直，故有·(-1)=-1，得x0=0，则y0=1，从而所求法线方程为y=x+1。知识点解析：暂无解析5、已知曲线y=ax4+bx3+x2+3在点(1，6)处与直线y=11x-5相切，求a，b。标准答案：曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线方程，所以6=a+b+4，①又y’=4ax3+3bx2+2x，且曲线在点(1，6)处与y=11x-5相切，所以y’｜x=1=ta+3b+2=11②联立①②解得a=3，b=-1。知识点解析：暂无解析6、设y=x3+ln3x+ln5，求y’。标准答案：y’=3x2log3x+x3·1/xln3+0=3x2log3x+x2/ln3。知识点解析：暂无解析7、设y=cos/(x2-1)，求y’。标准答案：y’=[(x2-1)·(cosx)’-cosx·(x2-1)’]/(x2-1)=[-(x2-1)sinx-2xcosx]/(x2-1)2知识点解析：暂无解析8、设y=arctanx+5sinx，求y’标准答案：y’=(arctanx+5sinx)’=1/(1+x2)+5sinxln5·(sinx)’=1/(1+x2)+5sinxcosx·ln5。知识点解析：暂无解析9、设y=cos3(1-2x)，求y’。标准答案：y’=3cos2(1-2x)·[cos(1-2x)]’=3cos2(1-2x)[-sin(1-2x)]·(-2)=6sin(1-2x)cos2(1-2x)。知识点解析：暂无解析10、已知f(x)=(1/4)ln[(x2-1)/(x2+1)]，求f’(2)。标准答案：f’(x)=(1/4)·[(x2+1)/(x2-1)]·[2x(x2+1)-(x2-1)2x]/(x2+1)2=x/[(x2-1)(x2+1)]=x/(x4-1)，f’(2)=2/15。知识点解析：暂无解析11、设函数f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2，求f’(π)。标准答案：由f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2可得f’(x)=[(1-sinx+xcosx)/(1-sinx)2]+x，则f’(π)=(1-sinπ+πcosπ)/(1-sinπ)2+π=1-π+π=1。知识点解析：暂无解析12、已知y=arccos，求y’。标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)=x2，g(x)=ln(1/x)，求f’[g’(x)]。标准答案：因为f’(x)=2x，g’(x)=[1/(1/x)]·(-1/x2)=-1/x，所以f’[g’(x)]=f’(-1/x)=-2/x。知识点解析：暂无解析14、设f(1/x)=x2+1/x+1，求f’(-1)。标准答案：令1/x=t，则x=1/t，f(t)=1/t2+t+1，f’(t)=-2/t3+1，f’(-1)=(-2)/(-1)3+1=3。知识点解析：暂无解析15、设f(x)=(x985-1)g(x)，其中g(x)可导，且g(1)=1，求f’(1)。标准答案：由f(x)=(x985-1)g(x)可得f’(x)=985x984g(x)+(x985-1)g’(x)。又g(1)=1，且g’(1)存在，因此f’(1)=985g(1)+(1-1)g’(1)=985。知识点解析：暂无解析16、已知y=，其中f具有一阶连续导数，求y’。标准答案：知识点解析：暂无解析17、已知y=f(2x)，f’(x)=arctanx2，计算(dy/dx)｜x=1/2。标准答案：令y=f(u)，u=2x，则dy/dx=f’(u)·(du/dx)=arctanu2·2=2arctan(2x)2，所以(dy/dx)｜x=1/2=2arctan1=π/2。知识点解析：暂无解析18、设y=+ex+(1-x)/(1+x)，求y″。标准答案：y=+ex+(1-x)/(1+x)=x1/2+ex+2/(1+x)-1，y’=(1/2)x-1/2+ex-2/(1+x)2，y″=(-1/4)x-3/2+ex+4/(1+x)3知识点解析：暂无解析19、求函数y=ln(x+)的二阶导数y”(1)。标准答案：知识点解析：暂无解析20、求函数y=excosx的n阶导数。标准答案：知识点解析：暂无解析21、设y=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，求y(6)。标准答案：因为y=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，x的最高次项为2233x6，故y(6)=22336!=77760。知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)在(-∞，+∞)内n阶可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，计算f(n)(2)。标准答案：对f’(x)=ef(x)两边对x求导数得f″(x)=ef(x)·f’(x)=e2f(x)，上式两边再对x求导数得f’’’(x)=e2f(x)·2f’(x)=2e3f(x)，上式两边再对x求导数得f(4)(x)=2e3f(x)·3f’(x)=3!e4f(x)。由以上求导规律可得fn(x)=(n-1)!enf(x)，所以f(n)(2)=(n-1)!en。知识点解析：暂无解析23、设y=y(x)是由方程y3=x+arccosy所确定的函数，求dy/dx。标准答案：方程两边对x求导得3y2(dy/dx)=1-(dy/dx)，整理可得dy/dx=。知识点解析：暂无解析广东专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第9套一、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、证明：若f(x)为可导的奇函数，则其导函数f’(x)为偶函数。标准答案：因为f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)。知识点解析：暂无解析2、已知g(x)=且f’(x)=1/[lna·f(x)]，其中a＞0且a≠1，证明：g’(x)=2g(x)。标准答案：知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)3、在区间[-1，1]上，下列函数不满足罗尔中值定理条件的是()A、B、f(x)=ln(1+x2)C、f(x)=D、f(x)=1/(1+x2)标准答案：C知识点解析：f(x)=在[-1，0)上无意义，所以f(x)=在[-1，1]上不满足罗尔中值定理的条件。4、下列函数在给定区间上满足罗尔中值定理条件的是()A、y=(1-x2)/(1+x2)，[-1，1]B、y=xe-x，[-1，1]C、y=1/(1+x)，[-1，1]D、y=lnx2，[-1，1]标准答案：A知识点解析：B选项中，y(-1)≠y(1)。C选项中，函数在x=-1处无定义。D选项中，函数在x=0处无定义。A选项中，函数在[-1，1]上连续，在(-1，1)内可导，y(-1)=y(1)，符合罗尔中值定理的