初中++数学+正多边形与圆（第1课时）（同步课件）+九年级数学上册（苏科版）

2.6正多边形与圆（1）第1课时正多边形与圆的关系学习目标1．了解正多边形的概念；2．了解正多边形与圆的关系，能进行有关的计算.情境引入观察下列图形：你能说出这些图形的特征吗？概念学习各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.特征1特征2思考与探索

我们知道，三边相等的三角形是正三角形，三角相等的三角形也是正三角形.能否说各边相等的多边形是正多边形？或者说各角相等的多边形是正多边形？试举例说明.

注意：判定一个多边形(边数大于3)是正多边形必须同时具备

“各边相等”、“各角相等”这两个条件.操作与思考如图，已知⊙O，(1)用量角器把⊙O五等分，依次连接各等分点，得五边形ABCDE；

●

O●

E●

A●

D●

C●

B(2)五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∴∠A=∠B.同理∠B=∠C=∠D=∠E.∴五边形ABCD是正五边形.

∵证明：点A、B、C、D、E把⊙O五等分.

操作与思考如图，已知⊙O，(1)用量角器把⊙O五等分，依次连接各等分点，得五边形ABCDE；(2)五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？

●

O●

B●

A●

C●

D●

E圆被多边形的顶点等分各边相等，各角相等多边形是正多边形弧相等弦相等，圆周角相等数学实验室如图，点A、B、C、D、E、F把⊙O六等分．(1)在一张透明纸上画与下图形状、大小相同的图形，并把它们叠合在一起；(2)把所画图形绕点O旋转60°，你发现了什么？再旋转60°呢？●

A●

B

●

O●

F●

E●

C●

D●

A●

B

●

O●

F●

E●

C●

D●

A●

B●

F●

E●

C●

D●

A●

B●

F●

E●

C●

D旋转后的图形与原图完全重合.数学实验室●

A●

B

●

O●

F●

E●

C●

D你能用图形运动的方法证实六边形ABCDEF是正六边形吗？

把所画图形绕圆心O旋转60°再旋转60°，可以发现这两个图形仍然重合.

这说明所画六边形的每一条边都与它的邻边相等，每一个角都与它的邻角相等.

因此，所画六边形的六条边相等，六个角也相等，所画六边形是正六边形.新知归纳

一般地，只有用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点就得到这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆.

正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径.半径(r)

●

O●

F●

E●

A●

B●

C●

D(中心)∟边心距(d)任何正多边形都有一个外接圆.等分圆周，就可以得到圆内接正多边形.例题讲解EFCDABOG.∟解:

作半径OA，OB，根据题意，得∠AOB=360°÷6=60°.∵OA=OB，∴△OAB为等边三角形，AB=OA＝4.正六边形的周长l=4×6=24.过点O作OG⊥AB，垂足为G.

例

如图，正六边形ABCDEF的半径为4，

求这个正六边形的周长和面积.半径边心距边长的一半及时归纳EFCDABOG.∟

在解决正多边形的有关计算时，通过连接正n边形的中心和各顶点，可以把正n边形划分为n个全等的等腰三角形，再过正n边形的中心作各边的垂线，可以把正n边形划分为2n个全等的直角三角形，从而把一些正多边形的计算问题转化为相应的等腰三角形、直角三角形的计算问题.及时归纳正六边形的特殊性：(1)正六边形的半径等于它的外接圆的半径，等于它的边长；(2)连接正六边形相邻的两个顶点与中心，构成的三角形是等边三角形；(3)正六边形可以看成是由一个等边三角形绕着一个顶点连续旋转五次得到的．EFCDABOG.∟新知巩固

FAEDCBO·C新知巩固

60°

●

O

FEAB

C

DM新知巩固3.如图，正三角形ABC的外接圆的半径为6.求：(1)△ABC的边长；(2)△ABC的面积.BAC

O·D

120°

4.探索正多边形的半径r和边长之间的关系.边数内角半径边长边心距周长面积346

90°60°60°90°120°rrr

r

6r

···

新知巩固EFCD半径r边心距dABO边长a.新知归纳1.基本模型

正n边形的有关计算2.正n边形的周长:

3.正n边形的面积：

4.正n边形的每个内角:

5.正n边形的每个外角:

6.正n边形的中心角:

知识窗

刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率.刘徽(约225年-约295年)

他指出圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”从而计算出魏晋期间伟大的数学家

知识窗正多边形的有关概念正多边形与圆的关系课堂总结正多边形的有关计算添加辅助线的方法：连半径，作边心距当堂检测基础过关1.下列说法中正确的是()A．各角相等的圆内接多边形是正多边形B．各边相等的多边形是正多边形

C．一个圆有且只有一个内接正多边形

D．正多边形的各边相等，各角相等D当堂检测基础过关

A

FAEDCBO·当堂检测基础过关

10当堂检测基础过关4.正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是______.

185.若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数为_____．126.已知正四边形的外接圆的半径为1，则正四边形的周长是

．

当堂检测基础过关7.正五边形被过它的顶点的半径分成多少个等腰三角形？这些等腰三角形全等吗？为什么？正六边形、正八边形呢？

CDEBA

●

O解：如图，正五边形ABCDE的中心为O，则OA＝OB＝OC＝OD＝OE，∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∴△AOB＝△BOC＝△COD＝△DOE＝△EOA.即：正五边形被过它的顶点的半径分成5个等腰三角形，这些等腰三角形全等；同理可得，正六边形被过它的顶点的半径分成6个等腰三角形，这些等腰三角形全等；正八边形被过它的顶点的半径分成8个等腰三角形，这些等腰三角形全等.当堂检测基础过关

当堂检测基础过关

当堂检测基础过关9.求证：正五边形的对角线相等.B

AC

D

E

已知：五边形ABCDE是正五边形.求证：BD＝CE.当堂检测基础过关10.如图，正六边形ABCDEF的边长为5，求对角线AD、AC的长.

FEAB

C

D

当堂检测能力提升

D

CDEBA

●

O当堂检测能力提升

DM

FAEDCBO·当堂检测能力提升3．(2023·山东临沂·中考真题)将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是

()A．60° B．90° C．180° D．360°B当堂检测能力提升

C当堂检测能力提升5.用长24m的木栅栏围成正三角形或正方形或正六边形的绿地.

这三种围法中，围成的绿地面积最大是______________.正六边形

2当堂检测能力提升7．(2023·湖南·中考真题)如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是

个．10当堂检测能力提升

·OCBA解：连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC＝60°.∵BC是⊙O的内接正八边形的一边，∴∠BOC＝45°.∴∠AOB=15°，∴AB是⊙O的内接正二