第二学期高二年级数学周末试卷

贺兰一中20232024学年第二学期高二年级数学周末试卷（20）一、单选题1．已知集合，下列式子错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合A，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解.【详解】，，故ABD正确；而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故C错误.2．“微信”和“QQ”是腾讯社交体系中的两款产品，小明为了解不同群体对这两款产品的首选情况，统计了周围老师和同学关于首选“微信”或“QQ”的比例，得到如图等高条形图．根据等高条形图中的信息，可判断下列说法正确的是（

）A．对老师而言，更倾向于首选“微信”B．对学生而言，更倾向于首选“QQ”C．首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多D．如果首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多，则小明统计的老师人数一定比学生多【答案】A【分析】先识图再结合图象进行简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】解：A对老师群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：，故对老师而言，更倾向于首选“微信”，即A正确，B对学生群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：，故对学生而言，更倾向于首选“微信”，即B错误，C由于老师群体与学生群体人数不定，即首选“微信”的老师比首选“微信”的同学无法比较，即C错误，D设老师群体人，学生群体人，则有，即，则小明统计的老师人数不一定比学生多，即D错误，3．某班班委由3名男同学和2名女同学组成，从中选择2名班委成员去参加交通值勤，则选出2名班委中至少有一名女同学的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】所有选法有种，其中选出2名班委中没有女同学有种，利用间接法即可求解.【详解】解：由题意，所有选法有种，其中选出2名班委中没有女同学有种，所以选出2名班委中至少有一名女同学的概率为，4．新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的大头，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分.从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2021年我国江西某企业的前5个月碳酸锂价格与月份的统计数据：月份代码x12345碳酸锂价格y（万元/）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为，则（

）A．0.28 B．0.29 C．0.30 D．0.31【答案】A【详解】由表中数据可得，代入线性回归方程，得.5．展开式的常数项为（

）A． B． C．100 D．220【答案】A【分析】先求得展开式的通项公式，分别求得展开式中常数项和项的系数，化简计算，即可得答案.【详解】由题意得展开式的通项公式为，令，解得，所以，令，解得，所以，所以展开式的常数项为.6．杭州亚运会共设个竞赛大项，包括个奥运项目和个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区、现需从名管理者中选取人分别到温州、金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且人中甲、乙两人不去温州赛区，则不同的选择方案共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】利用排列组合的知识分别求解甲、乙都没有被选派、甲、乙有且仅有一人被选派和甲、乙均被选派三种情况下的方案数，加和即可求得结果.【详解】若甲、乙都没有被选派，则共有种方案；若甲、乙有且仅有一人被选派，则共有种方案；若甲、乙均被选派，则共有种方案；综上所述：不同的选择方案有种.7．若是函数的极值点，则的极大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据极值点，求出参数，再据此求导，讨论单调性，求得最大值.【详解】因为，故可得，因为是函数的极值点，故可得，即，解得.此时令，解得，由可得或；由可得，所以在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，故的极大值点为.则的极大值为.8．已知函数在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得出在区间上恒成立，利用分离参数思想化为在上恒成立，求出的取值范围即可．【详解】∵函数在区间上为单调递增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，由于函数在上单调递减，所以，即实数的取值范围是，二、多选题9．下列说法中不正确的是（

）A．0与表示同一个集合；B．由1，2，3组成的集合可表示为或；C．方程的所有解组成的集合可表示为；D．集合可以用列举法表示．【答案】ACD【分析】根据集合的定义和表示方法分别进行判断．【详解】解：0表示元素，不是集合，所以A错误．根据集合元素的无序性可知，由1，2，3组成的集合可表示为，2，或，2，，B正确．根据集合元素的互异性可知，满足方程的解为，，所以C错误．满足的元素有无限多个，所以无法用列举法表示，所以D错误．10．下列命题中，正确的有（

）A．将一组数据中的每个数据都加上同一个正常数后，方差变大B．已知随机变量服从二项分布，若，则C．设随机变量服从正态分布，若，则D．从装有大小､形状都相同的5个红球和3个白球的袋子中一次抽出2个球，取到白球的个数记为，则【答案】BC【分析】对于A，利用方差的性质判断，对于B，利用二项分布的期望公式和方差公式判断，对于C，利用正态分布的对称性求解，对于D，直接求解判断【详解】解：对A，根据方差的计算公式可知，将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以A错，对B，因为随机变量服从二项分布，，所以，解得，所以B正确，对C，因为随机变量服从正态分布，，所以，所以，所以C正确，对D，由题意可得。所以D错，11．以下四个命题中，真命题的有（

）A．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；B．回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；C．对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大．D．已知随机变量服从二项分布，若，则．【答案】AB【分析】根据相关指数的定义确定A；根据残差的性质确定B；根据独立性检验确定C；根据二项分布与均值的运算确定D.【详解】对A，由相关指数的定义知：越大，模型的拟合效果越好，A正确；对B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确；对C，由独立性检验的思想知：值越大，“与有关系”的把握程度越大，C错．对D，，，又，，解得：，D错．12．下列关于多项式的展开式的结论中，正确的是（）A．各项系数之和为 B．各项系数的绝对值之和为C．不存在项 D．常数项为【答案】AD【分析】赋值法判断A、B；根据已知多项式，结合二项式定理判断C、D的正误.【详解】令得，故A正确﹔取多项式，将代入多项式可得，故B错误﹔由题设，，若要得到含项，只需个因式中个取，剩下个取，故C错误;个因式中个取，个取，剩下个取，得5个因式中个取个取，剩下个取，得，5个因式中均取，得.故常数项为，D正确.三、填空题13．已知函数在点处的切线方程为，则.【答案】【分析】讲切线方程变形，代入可得，而切线斜率即为，由此即可得解.【详解】由题意函数在点处的切线方程为，所以.14．若的展开式式中含的项为.【答案】【分析】利用二项展开的通项公式求解即可.【详解】的展开式中通项公式为，令时，展开式中含的项为.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15．某校团委组织了一场“承五四精神，谱青春华章”的学生书画比赛，评出一､二､三等奖作品若干，其中二等奖和三等奖作品数量相等，高二年级作品分别占.现从获奖作品中任取一件，记事件“取出一等奖作品”，“取出获奖作品为高二年级”，若，则.【答案】【分析】设出一、二、三等奖作品件数，由可得，进而可求得，结合条件概率公式计算可得结果.【详解】设一、二、三等奖作品分别有x，y，y件，所以，解得：，所以0.46，所以.16．若函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是．【答案】【分析】求出函数的导数，根据在上有极值转化为在上有变号零点即可求解.【详解】由，得，因为函数在区间上存在极值，所以在上有变号零点，因为，所以，即在上有解，转化为在上有解.因为，所以，即，于是，得.由此可得.实数a的取值范围是.四、解答题17．利用展开式（n∈N*）回答下列问题：（1）求（1+2x）10的展开式中x4的系数；（2）通过给a，b以适当的值，将下式化简：；（3）把（2）中化简后的结果作为an，求的值．【答案】（1）3360．（2）．（3）．【分析】（1）利用二项展开式的通项即可求解；（2）根据展开式的特点，考虑令a＝1，b即可求解；（3）结合等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1）因为，所以，即（1+2x）10的展开式中x4的系数为3360．（2）令a＝1，，得．（3）．18．已知函数，若曲线在处的切线方程为．(1)求a，b的值；(2)讨论函数在区间上的单调性．【答案】(1)；(2)在和上单调递增，在上单调递减【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）先求函数的导函数，判断函数单调性.【详解】（1）令，由，则，由，可得．又，所以.（2）由（1）可知，，令，解得或；令，解得，所以在和(1，2)上单调递增，在上单调递减．19．某公司为了提高利润，从2014年至2020年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：年份2014201520162017201820192020投资金额(万元)4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长(万元)6.07.07.48.18.99.611.1（1）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；（2）如果2021年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？(结果保留两位小数)参考公式：.参考数据：.【答案】（1）；（2）11.44万元.【分析】(1)先求出的值，然后由最小二乘法公式求出，然后再求出，即可得出答案.（2）将2021年所对应的值代入回归方程即可【详解】（1）由题意计算，得，又，所以，所以，所以经验回归方程为，（2）2021年所对应的值为将代入方程，得，即该公司在该年的年利润增长大约为11.44万元.20．甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，设各局比赛相互之间没有影响且无平局.(1)求甲校以获胜的概率；(2)记比赛结束时已比赛的局数为，求的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）甲校以3：1获胜的情况有：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛中甲负，第四局比赛甲胜，②前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛中甲胜，第四局比赛甲胜，由此能求出甲校以3：1获胜的概率．（2）记比赛结束时比赛的局数为ξ，则ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的概率分布．【详解】（1）甲校以3：1获胜的情况有：①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜，概率为：，②前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，概率为：，甲校以3：1获胜的概率为.（2）的可能取值为3，4，5，，，345P，的分布列为：数学期望.21．2023年11月10日，第六届中国国际进口博览会圆满落下帷幕.在各方共同努力和大力支持下，本届进博会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献.本届进博会优化了志愿者服务，为参展商提供了更加准确、细致的服务.为了解参展商对志愿者服务的满意度，组委会组织了所有的参展商对志愿者服务进行评分（满分100分），并从评分结果中随机抽取100份进行统计，按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求出的值和参展商对志愿者服务评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.(2)以频率估计概率，样本估计总体，从所有参展商的评分结果中随机抽取3份，将记为评分不低于90分的份数，求的分布列和数学期望.【答案】(1)，(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和为1求出的值，再利用平均数求解公式求解平均数即可；（2）根据二项分布求出对应的概率，列表得分布列，然后利用期望公式求解即可.【详解】（1）因为，所以评分结果在的频率为0.2，所以，所以参展商对志愿者服务评分的平均数为；（2）由题意，评分不低于90分的概率为0.3，故，01230.3430.4410.1890.027则，，，，所以的分布列为所以.（或者）22．已知函数.(1)当时，求在最小值；(2)若存在单调递减区间，求的取值范围；(3)求证：.【答案】(1)1；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）可先求，从而判断在上的单调性，利用其单调性求在最小值；（2）求，可得，若存在单调递减区间，需有正数解．从而转化为在上有解．通过对分，与当三种情况讨论解得的取值范围；（3）（法一）根据（1）的结论，当时，即，再构造函数，令有，从而，问