2023-2024学年上海市杨浦区复旦大学附中高一（上）月考数学试卷（11月份）（含解析）

2023-2024学年上海市杨浦区复旦大学附中高一（上）月考数学试卷（11月份）一.填空题（12题共54分，1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）幂函数的定义域为．2．（4分）集合，2，3，，的非空真子集有个．3．（4分）方程的实数根的个数为．4．（4分）设方程，的两个实数根为和，则5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）规定记号“△”表示一种运算，即，，，若1△，则函数的值域是．7．（5分）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为米．8．（5分）已知是偶函数，且不恒等于零，则的奇偶性是．9．（5分）设，函数的图象与的图象关于直线对称，则（3）．10．（5分）已知函数，记函数值域为，若，则的最小值为11．（5分）已知函数，若将函数图象绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则．12．（5分）已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是．二.选择题（4题共18分，13～14每题4分，15～16每题5分）13．（4分）“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件14．（4分）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级每月应纳税所得额元（含税）税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为A．1800 B．1000 C．790 D．56015．（5分）已知函数，函数是的反函数，若正数，，，，满足，则的值等于A．4 B．8 C．10 D．3216．（5分）下列命题组真命题的个数为①存在反函数的函数一定是单调函数②偶函数存在反函数③奇函数必存在反函数A．0 B．1 C．2 D．3三.解答题（共78分，17～19每题14分，20～21每题18分）17．（14分）阅读如下数学问题及解决过程：已知，求关于的表达式．解：由已知，得，，故．请解答下列问题：已知变量，满足关系；．（1）求关于的表达式并写出变量的取值范围；（2）若，求的值．18．（14分）画出函数图象一直以来是同学们头疼的问题，面对自己所不熟知的函数，如何研究它的图象，画出它的图象，一定是研究该函数的重中之重．（1）旧方法利用描点法画出函数的图象；（2）新技巧求：函数的反函数并在图中画出其图象；（3）小规律可知函数与它的反函数关于直线对称；（4）做实践画出函数的图象．19．（14分）对定义域分别为、的函数、，规定：函数（1）若函数，，写出函数的解析式；（2）求（1）问中函数的值域．20．（18分）某创业团队拟生产、两种产品，根据市场预测，产品的利润与投资额成正比（如图，产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图，（注利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将、两种产品的利润、表示为投资额的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入、两种产品的生产，求：生产、两种产品能获得最大利润．21．（18分）已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”．（1）①将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式②求函数图象对称中心的坐标；（2）求函数图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由（4）仿照题设中的真命题，将（3）中的命题改为一个真命题：．（5）已知函数图象对称中心坐标为，函数，若存在，，使得函数在区间，上的值域为，则实数的取值范围为．

参考答案一.填空题（12题共54分，1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）幂函数的定义域为．解：因为，所以．故答案为：．2．（4分）集合，2，3，，的非空真子集有30个．解：根据元素互异性集合中有5个元素，所以非空真子集有．故答案为：30．3．（4分）方程的实数根的个数为2．解：由，得，作出函数与的图象，如图所示：由此可得两函数有2个交点，所以方程有2个实数根．故答案为：2．4．（4分）设方程，的两个实数根为和，则解：令，则，解得或，即或，解得或，所以，或，，所以．同理可求，时，结果也为．故答案为：．5．（4分）不等式的解集为，．解：设函数，需满足，解得，函数的定义域为，．又，有因为，，所以函数在区间，上递增，且，则有，故答案为：，．6．（4分）规定记号“△”表示一种运算，即，，，若1△，则函数的值域是，．解：△，，，当时，，的值域为：，．故答案为：，．7．（5分）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为600米．解：因为，所以，所以，，又，所以，所以，所以，所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为（米．故答案为：600．8．（5分）已知是偶函数，且不恒等于零，则的奇偶性是奇函数．解：根据题意，设，则，则，则，则，是偶函数，即，又由，则，故为奇函数．故答案为：奇函数．9．（5分）设，函数的图象与的图象关于直线对称，则（3）0．解：由，得：，解得：，故，，故，故（3），故答案为：0．10．（5分）已知函数，记函数值域为，若，则的最小值为5解：函数的图象如下：所以，，函数在上单调递减，上单调递增，所以在时取得最小值，最小值为5．故答案为：5．11．（5分）已知函数，若将函数图象绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则或．解：函数的图象绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，故函数为一一映射，结合反比例函数的图象和性质可得：或，故答案为：或．12．（5分）已知为实数，用表示不大于的最大整数．对于函数，若存在且，使得，则称是“函数”．若函数是“函数”，则正实数的取值范围是，，，．解：由题设，且，，且，，所以能成立，即能成立，则，所以，，显然，2，3，，不存在满足题设；若，则满足题设；若，则满足题设；若，则满足题设；若，则满足题设；故且．正实数的取值范围是，，，．故答案为：，，，．二.选择题（4题共18分，13～14每题4分，15～16每题5分）13．（4分）“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件解：若“”则，当，有“”当，“无意义，即：“”推不出“”；若“”；则，且；解得：，则能推出，由充要条件的定义判断“”是“”的必要非充分条件．故选：．14．（4分）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级每月应纳税所得额元（含税）税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为A．1800 B．1000 C．790 D．560解：由题意可得：李某该月应纳税所得额（含税）（元，所以依据新的个税政策的税率，他该月应交纳的个税金额为：（元，故选：．15．（5分）已知函数，函数是的反函数，若正数，，，，满足，则的值等于A．4 B．8 C．10 D．32解：由，可得的反函数为，．．故选：．16．（5分）下列命题组真命题的个数为①存在反函数的函数一定是单调函数②偶函数存在反函数③奇函数必存在反函数A．0 B．1 C．2 D．3解：对①，取函数，，显然存在反函数，但不单调，①错误；对②，取偶函数函数，则，显然函数不存在反函数，②错误；对③，取奇函数函数，当时有和与之对应，即从到的映射不满足函数定义，故奇函数没有反函数，③错误．故选：．三.解答题（共78分，17～19每题14分，20～21每题18分）17．（14分）阅读如下数学问题及解决过程：已知，求关于的表达式．解：由已知，得，，故．请解答下列问题：已知变量，满足关系；．（1）求关于的表达式并写出变量的取值范围；（2）若，求的值．解：（1）由已知，，，；（2）时，，，，解得或2，或4．18．（14分）画出函数图象一直以来是同学们头疼的问题，面对自己所不熟知的函数，如何研究它的图象，画出它的图象，一定是研究该函数的重中之重．（1）旧方法利用描点法画出函数的图象；（2）新技巧求：函数的反函数并在图中画出其图象；（3）小规律可知函数与它的反函数关于直线对称；（4）做实践画出函数的图象．解：（1）列表：03012描点连线得图象如图：（2）由得，，所以的反函数为，，列表：01203描点连线得，的图象如图：（3）由（2）观察可知，函数与它的反函数关于直线对称．（4）由得，所以的反函数为，作出函数的图象如图：作函数关于直线对称的图形即可得的图象如图：19．（14分）对定义域分别为、的函数、，规定：函数（1）若函数，，写出函数的解析式；（2）求（1）问中函数的值域．解：（1）由，得，，，，，，则，，，且，且，又，根据规定可得：．（2）当时，，①若，，其中等号当时成立；②若，，其中等号当时成立；当时，；函数的值域是，，．20．（18分）某创业团队拟生产、两种产品，根据市场预测，产品的利润与投资额成正比（如图，产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图，（注利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将、两种产品的利润、表示为投资额的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入、两种产品的生产，求：生产、两种产品能获得最大利润．解：（1）由已知设，，又函数过点，，则，解得，即；函数过点，，则，解得，即；（2）设投入产业万元，投入产业万元，，则利润，所以当，即时利润取最大值为，即最大利润为4.0625万元．21．（18分）已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”．（1）①将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式②求函数图象对称中心的坐标；（2）求函数图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由（4）仿照题设中的真命题，将（3）中的命题改为一个真命题：函数关于直线成轴对称的充要条件是函数是偶函数．（5）已知函数图象对称中心坐标为，函数，若存在，，使得函数在区间，上的值域为，则实数的取值范围为．解：（1）①将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象对应解析式为，②因为的定义域为，且，所以为奇函数，即为奇函数，所以的图象关于点对称．（2），由得的定义域为，又，即，所以为奇函数，所