备考2025年高考数学一轮复习第四章考点测试20

第四章三角函数与解三角形考点测试20任意角和弧度制、任意角的三角函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，低等难度考点研读1.了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义一、基础小题1.扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素．小明制作了一把如图所示的扇子，其半径为16cm，圆心角为eq\f(3π,4)，则这把扇子的弧长为()A．6πcm B．12πcmC．18πcm D．24πcm答案B解析因为扇形的半径为16cm，圆心角为eq\f(3π,4)，所以弧长为eq\f(3π,4)×16＝12πcm.故选B.2．已知钝角α的终边经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)，sin\f(π,6)))，则α＝()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(5π,6) D.eq\f(7π,8)答案B解析由题意得，钝角α的终边经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，所以tanα＝－1，所以α＝eq\f(3π,4).3．若角α与角β的终边关于y轴对称，则()A．α＋β＝π＋kπ(k∈Z)B．α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)C．α＋β＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)D．α＋β＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)答案B解析∵π－α是与α关于y轴对称的一个角，∴β与π－α的终边相同，即β＝2kπ＋(π－α)(k∈Z)，∴α＋β＝α＋2kπ＋(π－α)＝(2k＋1)π(k∈Z)．故选B.4．已知α是第二象限角，P(x，eq\r(5))为其终边上一点，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，则x的值为()A.eq\r(3) B．±eq\r(3)C．－eq\r(2) D．－eq\r(3)答案D解析∵cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))＝eq\f(\r(2),4)x，∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3.∵α是第二象限角，∴x＝－eq\r(3).故选D.5．一个钟表的分针长为10，经过35分钟，分针扫过图形的面积是()A.eq\f(35π,3) B.eq\f(175π,3)C．105π D.eq\f(175π,6)答案B解析经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格30°，则分针走过的度数为7×30°＝210°，因为钟表的分针长为10，所以分针扫过图形的面积是eq\f(210,360)×π×102＝eq\f(175π,3).故选B.6．若角α满足sinαcosα<0，cosα－sinα<0，则α在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析∵sinαcosα<0，∴α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，cosα<0，sinα>0，满足cosα－sinα<0；当α是第四象限角时，cosα>0，sinα<0，则cosα－sinα>0，不符合题意．综上所述，α是第二象限角．7．圆心角相同的两个扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形的周长之比为()A．1∶2 B．1∶4C．1∶eq\r(2) D．1∶8答案C解析设两扇形的半径分别为r1，r2，面积分别为S1，S2，由扇形面积公式S＝eq\f(1,2)αr2得eq\f(S1,S2)＝eq\f(\f(1,2)αreq\o\al(2,1),\f(1,2)αreq\o\al(2,2))＝eq\f(req\o\al(2,1),req\o\al(2,2))＝eq\f(1,2)，得eq\f(r1,r2)＝eq\f(1,\r(2))，则两个扇形的周长之比为eq\f(2r1＋αr1,2r2＋αr2)＝eq\f(1,\r(2)).故选C.8．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值为()A．1 B．－1C．3 D．－3答案B解析由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1.9．(多选)下列结论中正确的是()A．若0<α<eq\f(π,2)，则sinα<tanαB．若α是第二象限角，则eq\f(α,2)为第一象限或第三象限角C．若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝eq\f(4,5)D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度答案ABD解析若0<α<eq\f(π,2)，则sinα<eq\f(sinα,cosα)＝tanα，A正确；若α是第二象限角，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋π))，k∈Z，则eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，eq\f(α,2)为第一象限或第三象限角，B正确；若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝eq\f(4k,\r(9k2＋16k2))＝eq\f(4k,5|k|)，不一定等于eq\f(4,5)，C错误；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6－2×2＝2，其圆心角的大小为eq\f(2,2)＝1弧度，D正确．故选ABD.10．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝eq\f(1,3)，则sinβ＝________．答案eq\f(1,3)解析由角α与角β的终边关于y轴对称，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sinα＝eq\f(1,3)，∴sinβ＝sin[(2k＋1)π－α]＝sinα＝eq\f(1,3)(k∈Z)．11．角α是第四象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，则角eq\f(α,2)是第________象限角．答案二解析由角α是第四象限角，可得2kπ－eq\f(π,2)＜α＜2kπ，k∈Z，∴kπ－eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)＜kπ，k∈Z，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，∴coseq\f(α,2)＜0，∴2kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，∴2kπ＋eq\f(3π,4)＜eq\f(α,2)＜2kπ＋π，k∈Z，∴eq\f(α,2)是第二象限角．12．已知扇形AOB的周长为8，在这个扇形的面积取得最大值时，其对应的圆心角的大小为________，弦长AB为________．答案24sin1解析设半径为r，弧AB的长为l，圆心角为α，则l＝8－2r，扇形面积S＝eq\f(1,2)lr＝(4－r)r＝－r2＋4r，利用二次函数性质可得，当且仅当r＝2时S取得最大值，此时l＝4，所以α＝eq\f(l,r)＝2，由垂径定理得AB＝2rsineq\f(α,2)＝4sin1.二、高考小题13．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则()A．cos2α>0 B．cos2α<0C．sin2α>0 D．sin2α<0答案D解析当α＝－eq\f(π,3)时，cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＜0，A错误；当α＝－eq\f(π,6)时，cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＞0，B错误；由α为第四象限角可得sinα＜0，cosα＞0，则sin2α＝2sinαcosα＜0，C错误，D正确．故选D.14．(2020·北京高考)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay)．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是()A．3neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n)))B．6neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n)))C．3neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(60°,n)＋tan\f(60°,n)))D．6neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(60°,n)＋tan\f(60°,n)))答案A解析单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆心角为eq\f(360°,6n)＝eq\f(60°,n)，每条边长为2sineq\f(30°,n)，所以单位圆的内接正6n边形的周长为12nsineq\f(30°,n).单位圆的外切正6n边形的每条边长为2taneq\f(30°,n)，其周长为12ntaneq\f(30°,n)，所以2π＝eq\f(12nsin\f(30°,n)＋12ntan\f(30°,n),2)＝6neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n)))，则π＝3neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(30°,n)＋tan\f(30°,n))).故选A.三、模拟小题15．(2023·福建泉州月考)若A＝{θ|θ＝k·360°，k∈Z}，B＝{θ|θ＝k·180°，k∈Z}，C＝{θ|θ＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是()A．A＝B＝C B．A⊆B⊆CC．A⊆B＝C D．C⊆B⊆A答案B解析集合A的元素表示终边落在x轴非负半轴上的所有角，集合B的元素表示终边落在x轴上的所有角，集合C的元素表示终边落在x轴和y轴上的所有角．故选B.16．(2023·安徽滁州金阳光高级中学月考)在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)，cos\f(2π,3)))，则角α的最小正值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(5π,6) D.eq\f(11π,6)答案D解析因为sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，所以角α的终边经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，所以角α是第四象限角，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(3),3)，所以α＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，则角α的最小正值为eq\f(11π,6).故选D.17．(2023·河南部分学校高三仿真适应测试)已知α是第二象限角，则点(cos(sinα)，sin(cosα))所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析因为α是第二象限角，所以0<sinα<1，－1<cosα<0，所以cos(sinα)>0，sin(cosα)<0，所以点(cos(sinα)，sin(cosα))在第四象限．故选D.18．(2023·福州一中高三三模)为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离．如图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进(车身始终保持与地面垂直)，直到前轮与点B接触．经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方(以如图为观察视角)，且到地面的垂直高度为0.45m．已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为(参考数值：π≈3.14)()A．20.10m B．19.94mC．19.63m D．19.47m答案D解析由题意知，前轮转动了eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(1,3)))圈，所以A，B两点之间的距离为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(1,3)))×2π×0.3＝6.2π≈6.2×3.14≈19.47m.19.(202