2025年高考数学大题复习训练：条件概率与正态分布（原卷）

专题21条件概率与正态分布

一、条件概率

i.在二十大报告中，体育、健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育

强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟

举行羽毛球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上

场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根

据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为|,甲队其余4名队员对乙队每名队员

的胜率均为去(注：比赛结果没有平局)

(1)求甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率；

(2)已知甲队2:1获得最终胜利，求种子选手M上场的概率.

2.(1)若B和C是两个互斥事件，求证：P((BUC)M)=P(BM)+P(C|4)；

(2)在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为。D,Dd,dd,其中。为显性基因，d为隐性基因，且这三种基

因型的比为1:2:1,如果在子二代中任意选取2株豌豆进行杂交试验，试求出子三代中基因型为ZM的概率.

3.某地区举行数学核心素养测评，要求以学校为单位参赛，最终力学校和B学校进入决赛.决赛规则如下:

现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4道选择题和2道填空题，乙箱中有3道选择题和3道填空题，决赛由两

个环节组成，环节一：要求两校每位参赛同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱；

环节二：由4学校和B学校分别派出一名代表进行比赛.两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计

得分的高低决定名次.

(1)环节一结束后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道从A学校抽取12人,

其答对题目的平均数为1,方差为1，从B学校抽取8人，其答对题目的平均数为1.5,方差为0.25,求这20

人答对题目的均值与方差；

(2)环节二，A学校代表先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后B学校代

表再从乙箱中抽取题目，已知B学校代表从乙箱中抽取的第一题是选择题，求4学校代表从甲箱中取出的是

两道选择题的概率.

4.一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别标有数字0-9,先后从袋中随机取两只小球用事件/表

示“第二次取出小球的标号是2”，事件B表示“两次取出小球的标号之和是优”.

(1)若用不放回的方式取球，求PQ4)；

(2)若用有放回的方式取球，求证：事件/与事件2相互独立的充要条件是m=9.

5.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工

出来的零件混放在一起，已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.

(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率(结果用分数表示)；

(3)参照第(2)问给出判断，求第1,2,3台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.

6.某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有4B,C,D四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机

产生的号码对应的疫苗，号码机有4B,C,0四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一

次余下的三个号码中随机产生，张医生先接种与号码机产生的号码对应的A种疫苗后，再为居民们接种，记

第律位居民(不包含张医生)接种4B,C,。四种疫苗的概率分别为Pa⑷,Pn(B),Pn(C),Pn(D).

(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；

(2)张医生认为，一段时间后接种4B,C,D四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种

4B,C,D四种的概率，解释张医生观点的合理性.

参考数据:G)屋5.1x1。-5,(I)10X1.7x1。弋图工2.0x10-3,(茅。9.8x1L

7.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为123,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，

再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若

奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了

另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.

(1)计算主持人打开4号箱的概率；

(2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号

或3号箱？(以获得奖品的概率最大为决策依据)

8.杭州2022年第19届亚运会(The19thAsianGamesHangzhou2022)将于2023年9月23日至10月8日

举办.本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.同时，在保持40个大项目

不变的前提下，增设了电子竞技项目.与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多

赛事的青睐.

传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才

会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分

组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军.双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜

者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到

败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总

决赛的胜者即为冠军.双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛

就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因

此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？

这里我们简单研究:一下两个赛制.假设四支队伍分别为4B,C,D,其中4对阵其他三个队伍获胜概率均为p,

另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为今最初分组时4B同组，CD同组.

(1)若p=|,在淘汰赛赛制下，4c获得冠军的概率分别为多少？

(2)分别计算两种赛制下4获得冠军的概率(用p表示)，并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否

如很多人质疑的“对强者不公平”？

9.甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有5个红球，5个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除

颜色外完全一致.现从甲袋中一次性抽取2个小球，记录颜色后放入乙袋，混匀后从乙袋一次性抽取3个小

球，记录颜色.设随机变量x表示在甲袋中抽取出的红球个数，y(k)表示X=k时，在乙袋中抽取出的红球个

数，Z表示在乙袋中抽取出的红球个数.

(1)求X的分布列；

(2)求y(k)的数学期望E[y(k)](用含k的代数式表示)；

⑶记x的所有可取值为由,。2,…,时,证明：E(Z)=2：=IP(X=/)矶丫(〃)],并求E(Z).

10.某车间在三天内，每天生产6件某产品，其中第一天、第二天、第三天分别生产出了2件、1件、1件

次品，质检部门每天要从生产的6件产品中随机抽取3件进行检测，若发现其中有次品，则当天的产品不

能通过.

（1）求第一天的产品通过检测的概率；

（2）求这三天内，恰有两天能通过检测的概率.

11.在数学研究性学习课程上，老师和班级同学玩了一个游戏.老师事先准备3张一模一样的卡片，编号为

1、2、3后，放入一个不透明的袋子中，再准备若干枚1元硬币与5角硬币和一个储蓄罐；然后邀请同学从

袋子中有放回地抽取1张卡片，若抽到的卡片编号为1或2,则将1枚1元硬币放入储蓄罐中，若抽到的卡

片编号为3,则将2枚5角硬币放入储蓄罐中，如此重复人次试验后，记储蓄罐中的硬币总数量为几.

⑴若k=4,求几>5的概率；

⑵若k=5,记第n（n=1,2,3,4,5）次抽卡且放置硬币后，5角硬币的数量为Xn，1元硬币的数量为七,求在S5>

7的条件下Xn=%的概率.

12.果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成.研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物.某学习

小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（N型，8型，C型）分别对三组（每组10瓶）相同的水果原液进

行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量，实验过程中部分发酵液因被污染而废弃，最终

得到数据如下（"Y’表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）：

酵母菌类型该酯类化合物的含量（〃g/L）

/型X27472688XX28172679X26922721

假设用频率估计概率

(1)从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率；

(2)设事件。为“从样本含/型，B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一

瓶品质高”，求事件。发生的概率P(D);

(3)设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件

E发生的概率P(E)与(2)中事件。发生的概率P(D)的大小.(结论不要求证明)

13.新冠病毒在传播过程中会发生变异，现在已有多种变异毒株，传播能力和重症率都各不相同.某地卫

生部门统计了本地新冠确诊病例中感染每种毒株的患者在总病例中的比例和各自的重症率，数据统计如下

表所示.

病毒类型在确诊病例中的比例重症率

阿尔法(a)10%2.4%

贝尔特(0)15%3.8%

德尔塔3)25%4%

奥密克戎

50%2%

(。)

已知当地将阿尔法、贝尔塔、德尔塔三种类型病例全部集中收治在甲医院，奥密克戎病例全部单独收治在

乙医院.以频率估计概率回答下列问题.

(1)某医生从甲医院新冠确诊病例名单中任取1人，求其为重症病例的概率；

(2)某医生从乙医院新冠确诊病例名单中任取2人，已知2人中有重症病例，求2人都是重症病例的概率(结

果保留4位小数).

14.甲、乙两个学校分别有n+1位同学和“位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率都是右所有

同学是否成功互不影响.记事件/="甲成功次数比乙成功次数多一次“，事件5="甲成功次数等于乙成功

次数

(1)若n=3,求事件N发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；

(2)证明:PQ4)=P(B).

15.双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编

入胜者组，失败者编入负者组继续比赛.之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类

似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、

C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.

(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%,求：

①队伍A和D在决赛中过招的概率；

②D在一共输了两场比赛的情况下，成为亚军的概率；

(2)若A的实力出类拔萃，即有/参加的比赛其胜率均为75%,其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先

前与对手已有过招的概率.

16.某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需

进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮,球员每罚进一

球则为本方获得1分,未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比

赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各

派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入

点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为今乙队每位球员罚进点球的概率均为：.假设

每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.

(1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；

(2)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以2:0领先，求甲

队第5个球员需出场罚球的概率.

17.中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率

问题中.例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为5且每场比赛结果相互独立，则由对称性

可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为去现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一

枚质地均匀的硬币.

(1)若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；

(2)若甲抛掷(n+1)次，乙抛掷〃次，nGN*,求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率.

18.为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模

式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过

小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的

胜率均为甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为(注：比赛结果没有平局)

⑴求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；

(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；

(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.

19.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言

处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是…，X-2,

XtT，Xt,Xt+1,那么Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即p(Xt+il…，Xt_2，X-i，Xt)=

P(Xt+i|X)

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.

假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%,且每局赌赢可以赢得1元，每

一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束

赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的3元，赌徒停止赌博.记赌徒的

本金为力(力eN*,4<B),赌博过程如下图的数轴所示.

0.50.5

A-lAA+1

II2

0B

0.50.5

当赌徒手中有"元(OWnWB,n£N)时，最终输光的概率为P(n),请回答下列问题：

(1)请直接写出P(0)与P(B)的数值.

(2)证明｛P(n)｝是一个等差数列，并写出公差乩

(3)当4=100时，分别计算B=200,B=1000时，PQ1)的数值，并结合实际，解释当8时，PQ1)的

统计含义.

20.某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班(45人)和高三二班

(30人)进入决赛.决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有

3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽

取两题作答，作答后放回原箱.并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和

二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得

分，以累计得分的高低决定班级的名次.

(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计

数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1,方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5,方差为

0.25,求这20人答对题目的均值与方差；

(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题

目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率.

二、正态分布

21.抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系

成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对

这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x(单位：mg),

体内抗体数量为了(单位：AU/mL).

10101010

1=11=11=1i=l

29.2121634.4

九

12-

10-

8-

6-

4-

2-

62468101214161820222426*

(1)根据经验，我们选择y=c/作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量x的回归方程，将y=c/两边取对

数，得Iny=Inc+如1久，可以看出Inx与Iny具有线性相关关系，试根据参考数据建立y关于x的回归方程，

并预测抗体药物摄入量为25mg时，体内抗体数量y的值；

(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布N〜(0.48,0.032),那这

种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为多少？

附：①对于一组数据%)(i=12…,10),其回归直线彻+式的斜率和截距的最小二乘估计分别为8=

2着"但一而

a=v—pit；

>九岔一疝2,

4=1

②若随机变量Z-NQ,/),则有P(〃—(T<Z<〃+<T)=0.6826,P(〃—2。<Z<〃+2<7)=0.9544,P(ji-

3<J<Z<〃+3<T)X0.9974；

③取e«2.7.

22.法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师

声称自己所出售的面包的平均质量是1000g,上下浮动不超过50g.这句话用数学语言来表达就是：每个面

包的质量服从期望为1000g,标准差为50g的正态分布.

(1)已知如下结论：若X〜N(U《2),从X的取值中随机抽取人(卜6%*#22)个数据，记这4个数据的平均值

为匕则随机变量丫〜尺伞,")，利用该结论解决下面问题.

(i)假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为匕求P(Y<980)；

(ii)庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在(950,1050)上，并经计算25

个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的

理由；

(2)假设有两箱面包(面包除颜色外，其他都一样)，已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；

第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出

黑色面包个数的分布列及数学期望.

附：①随机变量4服从正态分布N(“,M),贝UP(〃一。〃W〃+0)=0.6827,P(/z-2CT<r]</J.+2(r)=

0.9545,P(/i—3cr<7j<jit+3CT)=0.9973；

②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.

23.为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，

并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如右图所示.

（1）用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

（2）可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N（〃,标）（用样本平均数和标准差s分别作为M、b的

近似值），已知样本标准差5^7.36,如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的

平均分约为多少？（结果取整数）

⑶从得分区间［80,90）和［90,100］的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机

抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间［80,90）的概率.

参考数据：若X-N{/J,cr）,则P（JU-（T<X</z+cr）»0.68,P（/J-2<7<X<JU+2CT）~0.95,尸（〃一3cr<

XW〃+3b）a0.99.

24.随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放

出新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮.某省某校为了

了解高二年级全部1000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测

试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.

(1)根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数(单位：分)；(同一组中的数据用该组区间

的中点值为代表)

(2)若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布NQ,169),其中〃近似为样本平均数，规定“古

诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；(取整数)

(3)现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”.

该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与,

在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分.若学生甲在三个环节中获胜的概率依

次为也I，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的.记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随

机变量求f的分布列和数学期E(f).

(参考数据：若X〜N("),则P®—CTVXWN+CT)=0.6826,PQt—2。<XW4+2。)=0.9544,PQt-

3cr<X</z+3(r)=0,9974.

25.随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽

查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：

凤梨数量(盒)[100,200：[200,3001[300,400：[400,500'[500,600

购物群数量(个)12m2032m

(1)求实数爪的值，并用组中值估计这100个购物群销售风梨总量的平均数(盒)；

(2)假设所有购物群销售凤梨的数量X服从正态分布NO，。?)，其中〃为(1)中的平均数，02=12100.若该

凤梨基地参与销售的购物群约有1000个，销售风梨的数量在［266,596)(单位：盒)内的群为“一级群”，销

售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”.该凤梨基地对每个

“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该风梨基地大约需要准备多少资金？

(群的个数按四舍五入取整数)

附：若X服从正态分布X〜N(〃,O2),则p(〃+0.683,P(〃-2CT<X<g+2<T)«0.954,

P(〃-3crVXV〃+3a)a0.997.

26.为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第

一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间(满时

长15小时)，将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图

(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

⑴求。的值；

(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间f近似服从正态分布N(“,02),其中A近似为样本的平均数，经计

算知。x2.39.若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数；

(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在[7,9),[9,11)内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3

人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数.(四舍五入取整数)

参考数据：若随机变量f服从正态分布N(〃《2),贝!]「(〃—。<+=0.6827,—2。<f<〃+

2。)«0.9545,P(/z-3cr<f</z+3<r)«0.9973.

27.某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规

定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败,

且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.

(1)若甲第一关通过的概率为|,第二关通过的概率为,，求甲可以进入第三关的概率；

(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前

400名发放奖励.

①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励,

请说明理由；

②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请

结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.

附：若随机变量Z〜则—a<X<(J.+a)0.6827；P(〃—2a<X<fj.+2a)~0.9545；P(ji—

3a<X<{j.+3<T)~0.9973.

28.2022年，随着最低工资标准提高，商品价格上涨，每个家庭的日常消费也随着提高，某社会机构随机

调查了200个家庭的日常消费金额并进行了统计整理，得到数据如下表：

[3,4：[4,5：[5,6：[6,7：

消费金额(千元)[2,3：[7,8

人数406040302010

以频率估计概率，如果家庭消费金额可视为服从正态分布N(〃,O2),出小分别为这200个家庭消费金额的平

均数万及方差s2(同一区间的花费用区间的中点值替代).

(1)求元和s2的值；

⑵试估计这200个家庭消费金额为［2.86,7.18］的概率(保留一位小数)；

(3)依据上面的统计结果，现要在10个家庭中随机抽取4个家庭进行更细致的消费调查，记消费金额为

［2.86,7.18］的家庭个数为X,求X的分布列及期望.

参考数据：V2^06=1.44；

若随机变量f〜NRM),贝ijp缶-0.6827,P(〃-2。<fW〃+2。)=0.9545,PQi-3(r<

f</z+3(r)=0,9973.

29.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日

为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人

每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数元(单位：分钟)；(同一组数据用该组

数据区间的中点值表示)

(2)若年轻人每天阅读时间X近似地服从正态分布N(出100),其中〃近似为样本平均数总求P(64<XW94)；

(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60),

[60,70),[80,90)的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于[80,90)的人

数f的分布列和数学期望.

附参考数据：若，则①P(〃-8<X</i+8)=0.6827；②P(〃-28<X<n+28)=0.9545；③P(〃-38<

X<fi+36)=0.9973.

30.为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查.调查的样本中

高一年级有70%的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有65%的学生每周运动总时间超过5小时，

高三年级有56%的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为9:6:5,用样本的频率

估计总体的概率.

(1)从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率；

(2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X〜N(5.542).现从这三个年级中随机

抽取5名学生，设这5名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为匕求随机变量丫的期望.

31.2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比

赛启用了新的排球用球M/K4S4J200lV已知这种球的质量指标f(单位：g)服从正态分布X〜其

中“=270,行=5.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分

规则如下(比赛采取5局3胜制)：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以

3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，I班

排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概

率为p(0<p<1).

(1)令贝的〜N(0,l),且①(a)=Pg<a),求中(一2),并证明：①(一2)+①⑵=1；

⑵第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为f(p),求出f(p)的最大值点po,并以Po作为P的值，解

决下列问题.

(i)在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为X,求X的分布列；

(ii)已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无论最后

一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.

参考数据：X〜则PQ—。<X<n+a)-0.6827,P(〃-2。<XW4+2。)=0.9545,PQ-3。<

XW〃+3。)=0.9973.

32.2020年受疫情影响，我国企业曾一度停工停产，中央和地方政府纷纷出台各项政策支持企业复工复产,

以减轻企业负担.为了深入研究疫情对我国企业生产经营的影响，帮扶困难职工，在甲、乙两行业里随机抽

取了200名工人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现他们的月薪在2000元到8000元之间，具体统计数

据见下表.

月薪/

[2000,3000)[3000,4000)[4000,5000)[5000,6000)[6000,7000)[7000,8000)

元

人数203644504010

将月薪不低于6000元的工人视为“I类收入群体”，低于6000元的工人视为“n类收入群体”，并将频率视为

概率.

（1）根据所给数据完成下面的2x2列联表：

I类收入群体II类收入群体总计

甲行业60

乙行业20

总计

根据上述列联表，判断是否有99%的把握认为“n类收入群体”与行业有关.

附彳牛./-----n(ad_be}-----中九=Q+b+c+d

叫十•X(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)丹十,

k3.8416.63510.828

PN

0.0500.0100.001

Nk)

（2）经统计发现该地区工人的月薪X（单位：元）近似地服从正态分布N0,14002）,其中4近似为样本的平均

数元（每组数据取区间的中点值）.若X落在区间（〃-+2。）外的左侧，则可认为该工人“生活困难”，政

府将联系本人，咨询月薪过低的原因，并提供帮助.

①已知工人王强参与了本次调查，其月薪为2500元，试判断王强是否属于“生活困难”的工人；

②某超市对调查的工人举行了购物券赠送活动，赠送方式为：月薪低于〃的获得两次赠送，月薪不低于〃的

获得一次赠送.每次赠送金额及对应的概率如下：

赠送金额/元100200300

111

概率

236

求王强获得的赠送总金额的数学期望.

33.某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成

绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽

取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：

02040608010。学生的预赛成绩(百分制)

(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求

至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望；

(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(〃R2),其中〃可近似为样

本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且/=362,已知小明的预

赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？

(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量打，每一

题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=l,2,

Q；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完〃题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，己

知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8,且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复

赛成绩，则他的答题数量n应为多少？

附：若Z〜N(〃42),贝一。<Z<"+<T)=0.6827,P(〃―217Vz<〃+2。)=0.9545,P(〃-3。<Z<

〃+3。)=0.9973；V362«19.

34.为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教育，某校组织了全体学生参加禁毒知识竞赛，现随机抽取50

名学生的成绩(满分100分)进行分析，把他们的成绩分成以下6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

(1)求图中。的值并估计全校学生的平均成绩〃.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)在(1)的条件下，若此次知识竞赛得分X〜N(〃,122),为了激发学生学习禁毒知识的兴趣，对参赛学生

制定如下奖励方案：得分不超过57分的不予奖励，得分超过57分但不超过81分的可获得学校食堂消费券

5元，得分超过81分但不超过93分的可获得学校食堂消费券10元，超过93分可获得学校食堂消费券15

元.试估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券多少元.(结果四舍五入保留整数)

参考数据：P(fi-(T<X<ft+a)^0.6827,P(M-2<T<X</Z+2<T)«0.9545,P(〃-3。<XW〃+

3a)«0.9973.

35.一水果连锁店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量(单位：kg),

得到如下频率分布直方图.

(1)求过去30天内苹果的日平均销售量元和方差s2(同一组数据用该组区间中点值代表)；

(2)若该店苹果的日销售量X近似服从正态分布N(4,M),其中4近似为样本平均数礼接近似为样本方差s2,

试估计360天中日销售量超过79.9kg的天数(结果保留整数)；

(3)该水果店在店庆期间举行“赢积分，送奖品”活动，规定：每位会员可以投掷〃次骰子，若第一次掷骰子

点数大于2,可以获得100个积分，否则获得50个积分，从第二次起若掷骰子点数大于2,则获得上一次

积分的两倍，否则获得50个积分，直到投掷骰子结束.记会员甲第〃次获得的积分为Yn,求数学期望E(〃).

参考数据：若X〜贝I]P(4-(T<XWA(+G=0.6827,P(〃-2。<XW〃+2(T)=0.9545,V119«

10.9.

36.据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标(如肺活量、柔韧度、力量、速

度、耐力等)自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并

向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量、柔初度、力量、速度、而力等多项指标出现好转，但肥胖、近

视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，

学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩(单位：秒)，整理得到如图所示

的频率分布直方图(每组区间包含左端点，不包含右端点).

(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；(同一组的数据用该组区间的中点值为代表)

(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X〜N(〃,O2),其中“近似为女生短跑平均成绩无02近

似为样本方差s2,经计算得$2=5.79,若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在(11.34,20.98］内

的人数为匕求P(YW8)(结果保留2个有效数字).

附参考数据：V579«2.41,随机变量X服从正态分布N(〃,O2),贝Up(〃—cr<XW〃+0)=0.6827,P(〃—

2a<X<［i+2a)=0.9545,P(〃-3。<XW〃+3。)=0.9974,O.682710~0.0220,0.954510-

0.6277,0.997410«0.9743,0,68279«0.0322,0,95459«0.6576.

37.为调查学生数学建模能力的总体水平，某地区组织10000名学生(其中男生4000名，女生6000名)

参加数学建模能力竞赛活动.

(1)若将成绩在［70,85］的学生定义为“有潜力的学生”，经统计，男生中有潜力的学生有2500名，女生中有潜

力的学生有3500名，完成下面的2x2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有

关？

性别

是否有潜力合计

男生女生

有潜力

没有潜力

合计

(2)经统计，男生成绩的均值为80,方差为49,女生成绩的均值为75,方差为64.

(i)求全体参赛学生成绩的均值〃及方差。2；

(ii)若参赛学生的成绩X服从正态分布N(〃,板),试估计成绩在［61,93］的学生人数.

参考数据：

P(K2

0.10.050.010.0050.001

Nk)

k2.7063.8416.6357.87910.828

②若X〜则P(〃—=0.6827,P(〃一2(rWXW〃+2。)=0.9545,P(ji-3a<X<

〃+3。)=0.9973.

n(ad—bc')2

参考公式：K27i=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

38.某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会,

通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)数据，统计结果如下表所示.

组别[30,40][40,50][50,60][60,70][70,80][80,90[90,100]

频数