人教A版（2019）必修第二册8.3简单几何体的表面积与体积(精讲)(原卷版+解析)

8.3简单几何体的表面积与体积（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一多面体的体积与表面积【例1-1】（2022春·江西上饶·高一校联考期末）已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的体积为（

）A．8 B． C． D．【例1-2】（2022·高一课时练习）如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（）A．1∶1 B．1∶C．1∶ D．1∶2【例1-3】（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一中学校考阶段练习）正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______．【【例1-4】（2022春·广东东莞·高一校联考期中）一个正四棱锥的底面边长为，高为，则该正四棱锥的表面积为（

）A． B． C． D．【例1-5】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（

）A． B． C． D．【例1-6】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______.【一隅三反】1（2022·天津东丽·高一天津市第一百中学校考期末）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是cm，则这个正三棱锥的侧面积为（

）A．27 B． C．9 D．2．（2022·高一单元测试）已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（

）A． B．C． D．3．（2022·课时练习）如果正四棱柱的对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为____.4．（2022春·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）若正三棱台的上､下底面的面积分别是和，体积为，则其侧棱长为___________.5．（2022·甘肃兰州）在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积是______．考点二旋转体的体积与表面积【例2-1】（2022春·海南海口·高一海口一中校考期中）在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____.【例2-2】（2022春·重庆·高一统考期末）已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为，母线长为2，则该圆台的高为（

）A．2 B． C． D．1【例2-3】．（2023秋·浙江衢州）（多选）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（

）A．圆锥的高是 B．圆锥的母线长是4C．圆锥的表面积是 D．圆锥的体积是【一隅三反】1．（2022·湖南郴州）已知某圆锥的侧面积为底面积的倍，体积为，则该圆锥的母线长为（

）A． B． C． D．2．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．3．（2022春·福建莆田·高一统考期末）已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为___．考点三组合体的体积与表面积【例3-1】（2022·全国·高一假期作业）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（

）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为【例3-2】（2022秋·福建南平）毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为3米，圆柱的高为2.5米，底面直径为8米，则建造该毡帐需要毛毡（

）平方米.A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023福建宁德）在世界文化史上，陀螺的起源甚早，除了南极洲外，在其他大陆都有发现．<<世界图书百科全书>>这样写道：“没有人准确知道人们最初玩陀螺的时间．但古希腊儿童玩过陀螺，而在中国和日本，陀螺成为公众娱乐已有几百年的时间．”已知一陀螺圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，底面圆的直径，这个陀螺的表面积（

）A． B． C． D．2．（2022四川眉山）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（）A．m2 B．3.6m2 C．7.2m2 D．11.34m23．（2023浙江）早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（

）A． B． C． D．考点四外接球与内切球【例4-1】（2022春·广西贵港·高一校考期中）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（

）A． B． C． D．【例4-2】（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【例4-3】（2022春·安徽池州·高一统考期中）已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的表面积是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·陕西咸阳·高一统考期末）在直三棱柱中，，，则该直三棱柱的外接球的体积是______.3．（2022新疆）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，，，求球的表面积___________.4．（2022·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为________.5．（2022春·北京昌平·高一校考期中）已知棱长为2的正四面体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为___________.6．（2022春·辽宁抚顺·高一校联考期末）已知的顶点都在半径为的球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积为___________.8.3简单几何体的表面积与体积（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一多面体的体积与表面积【例1-1】（2022春·江西上饶·高一校联考期末）已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的体积为（

）A．8 B． C． D．【答案】C【解析】由于直观图是正方形，所以ABCD是水平边长为2，且水平边上的高为的平行四边形，则ABCD面积是，所以直四棱柱的体积是.故选：C.【例1-2】（2022·高一课时练习）如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（）A．1∶1 B．1∶C．1∶ D．1∶2【答案】C【解析】设正方体的边长为，则表面积，因为三棱锥的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线．则面对角线长为，三棱锥D1­AB1C的表面积，所以.故选：C【例1-3】（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一中学校考阶段练习）正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______．【答案】【解析】如图，设上下底面中心分别为，分别为的中点，则即为斜高，过点作于点，则，，所以，所以，上底面面积，下底面面积，所以棱台的体积.故答案为：.【例1-4】（2022春·广东东莞·高一校联考期中）一个正四棱锥的底面边长为，高为，则该正四棱锥的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下图所示，在正四棱锥中，底面的边长为，设点在底面的射影点为点，则四棱锥的高，则为的中点，且，，取的中点，连接，则，且，，故正四棱锥的表面积为.故选：B.【例1-5】（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设上底面边长为，则下底面边长为，高为，上底面正方形对角线长为，下底面正方形对角线长为，又侧棱长为，所以，解得，所以侧面等腰梯形的高为，所以该棱台的侧面积为.故选：A.【例1-6】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______.【答案】10【解析】由题意可得，因为是的中点，所以，，，，所以，故答案为：10.【一隅三反】1（2022·天津东丽·高一天津市第一百中学校考期末）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是cm，则这个正三棱锥的侧面积为（

）A．27 B． C．9 D．【答案】A【解析】由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：，所以正三棱锥的斜高为：，所以这个正三棱锥的侧面积为：．故选：．2．（2022·高一单元测试）已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】结合题目边长关系，三棱锥如图所示，，由题意是等腰直角三角形,则,，则表面积为.故选：C.3．（2022·课时练习）如果正四棱柱的对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为____.【答案】【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则且，所以，，所以，所以该棱柱的体积为.故答案为：.4．（2022春·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）若正三棱台的上､下底面的面积分别是和，体积为，则其侧棱长为___________.【答案】【解析】因为棱台体积公式V（SS′）h，所以，所以高，又因为正三棱台上､下底面的面积分别是和，所以上下底面边长分别是2和4，如图所示，O′､O分别是上､下底面的中心，连接OO′､O′B′､OB，在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于E，∵是边长为2的等边三角形，O′是中心，∴O′B′，OB，∴在中，，BE，∴B′B，∴该三棱台的侧棱长为.故答案为：5．（2022·甘肃兰州）在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积是______．【答案】【解析】过点作平面，则为正方形的中心，连接，易知．因为，所以，又，所以，则四棱锥的体积.故答案为：.考点二旋转体的体积与表面积【例2-1】（2022春·海南海口·高一海口一中校考期中）在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____.【答案】【解析】挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，故几何体的表面积为.故答案为：.【例2-2】（2022春·重庆·高一统考期末）已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为，母线长为2，则该圆台的高为（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍，所以下底面的半径为，又母线长，圆台的侧面积为，则，解得，则圆台的高．故选：B．【例2-3】．（2023秋·浙江衢州）（多选）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（

）A．圆锥的高是 B．圆锥的母线长是4C．圆锥的表面积是 D．圆锥的体积是【答案】BD【解析】设圆锥母线为，高为，侧面展开图的弧长与底面圆周长相等，由弧长公式得，即；所以圆锥的母线长是4，即B正确；高为，所以选项A错误；圆锥的表面积是，故C错误；圆锥的体积是，即D正确.故选：BD【一隅三反】1．（2022·湖南郴州）已知某圆锥的侧面积为底面积的倍，体积为，则该圆锥的母线长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的侧面积为：，圆锥的底面积为：，圆锥的体积为：，由题意得，解得：，．所以母线长为：．故选：C．2．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，设圆台的母线为，则圆锥的底面半径为，圆锥的母线为，圆锥的侧面积记为，截去的小圆锥的侧面积即为，故圆台的侧面积为,故选：C3．（2022春·福建莆田·高一统考期末）已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为___．【答案】【解析】如图所示，依题意，设下底面圆半径为，上底面圆半径为，圆台的高为，过点作交于点，在中，，，，，则圆台轴截面的面积，则圆台的侧面积.故答案为：.考点三组合体的体积与表面积【例3-1】（2022·全国·高一假期作业）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（

）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为【答案】AC【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；圆台的体积，则选项错误；圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．故选：AC．【例3-2】（2022秋·福建南平）毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为3米，圆柱的高为2.5米，底面直径为8米，则建造该毡帐需要毛毡（

）平方米.A． B． C． D．【答案】B【解析】圆柱的侧面积为平方米；圆锥的母线长为，侧面积为平方米.所以建造该毡帐需要毛毡平方米.故选：B【一隅三反】1．（2023福建宁德）在世界文化史上，陀螺的起源甚早，除了南极洲外，在其他大陆都有发现．<<世界图书百科全书>>这样写道：“没有人准确知道人们最初玩陀螺的时间．但古希腊儿童玩过陀螺，而在中国和日本，陀螺成为公众娱乐已有几百年的时间．”已知一陀螺圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，底面圆的直径，这个陀螺的表面积（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得圆锥体的母线长为，所以圆锥体的侧面积为，圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为，故选:C．2．（2022四川眉山）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（）A．m2 B．3.6m2 C．7.2m2 D．11.34m2【答案】A【解析】由圆台的轴截面图，母线，所以该圆台侧面积.故选：A.3．（2023浙江）早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得一个石磨底面积为：底=，侧=所以一个石磨的表面积为：，所以两个石磨的表面积为：.故选：D考点四外接球与内切球【例4-1】（2022春·广西贵港·高一校考期中）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】】由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为7，所以该圆柱的侧面积为．故选：B．【例4-2】（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以为等腰直角三角形，将直三棱柱补全为如图长方体，则长方体的外接球即直三棱柱的外接球，因为，，所以外接球直径，所以外接球半径，表面积.故选：C.【例4-3】（2022春·安徽池州·高一统考期中）已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示：设为正三角形的中心，连接，则平面，球心在上，设球的半径为，连接，∵正三角形的边长为4，∴，又∵，∴在中，，在中，，，，∴，解得，∴球的表面积为．故选：D．【一隅三反】1（2