2025届高三物理暑假复习讲义-平抛运动（含解析）

2025届高三暑假培优物理讲义2025届高三暑假培优讲义—第9

讲平抛运动(含解析)第9讲抛体运动

考点一平抛运动的基本规律

考点二斜面上的平抛运动问题

考点三平抛运动的临界问题

考点四类平抛运动模型

题型1平抛运动基本规律的应用

(题型2平抛运动的两个些要推论的应用

(题型3平抛运动与斜面相结合

［题型4平抛运动与圆面相结合

〔题型5平抛运动与竖直面相结合

题型6平抛运动在球类问题中的临界问题

题型7类平抛运动

题型8斜抛运动

知被•夏习。林

1.掌握平抛运动的特点和性质.

2.掌握研究抛体运动的方法，并能应用解题.

知3,务实知M

考点一平抛运动的基本规律

1.性质

加速度为重力加速度R的匀变速曲线运动,运动轨迹是抛物线.

2.基本规律

以抛出点为原点，水平方向(初速度V0方向)为X轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，贝I」：

(1)水平方向：做匀速直线运动,速度吸=地，位移了=辿.

(2)竖直方向：做自由落体运动,速度岭=/，位移＞=%产.

(3)合速度：丫=会后+、,方向与水平方向的夹角为仇则tand=¥=g.

yxVQ

(4)合位移：s=ylx1+y2,方向与水平方向的夹角为a,tana=?=券.

3.对规律的理解

⑴飞行时间：由，='樗知，时间取决于下落高度〃，与初速度W无关.

⑵水平射程：x=w=vo\隹，即水平射程由初速度w和下落高度K共同决定,与其他因素无关.

(3)落地速度：必=7梃+F=ylv8+2gh,以。表示落地速度与无轴正方向的夹角，有tan<=，="乎，所以落地速度

也只与初速度也和下落高度h有关.

(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g,所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔At内的速度

改变量Av=gA/相同，方向恒为竖直向下，如图所示.

(5)两个重要推论

①做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B

点所示.

②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为a,位移方向与水平方

向的夹角为仇则tana=2tan9.

探秘•创题样析

[例题1](2024•麦积区二模)如图所示，一小球从。点水平抛出后的轨迹途经A、B两点，已知小球经过A点时

的速度大小为13m/s,从O到A的时间和从A到B的时间都等于0.5s,取重力加速度大小g=lOm/s2,不计空

气阻力，下列说法正确的是()

A.小球做平抛运动的初速度大小为10m/s

B.0、A两点间的距离为5m

C.A、B两点间的距离为10m

D.O、B两点间的距离为13m

［例题2］（多选）（2024•黔南州二模）如图（a）所示，在小球的抛出点O处固定有一点光源，它的正前方水平距离

为L=1.00m处竖直放置一块毛玻璃屏。用弹射器将小球以某一速度从O点水平向右抛出后，在毛玻璃屏上可

以看到小球影子的运动，利用闪光频率为f=20Hz的频闪相机拍摄了影子的位置照片如图（b）所示。空气阻

力不计，当地的重力加速度g=9.78m/s2。下列说法正确的是（）

A.影子做匀速直线运动

B.影子做自由落体运动

C.实验测得小球抛出时的初速度约为6m/s

D.实验测得小球抛出时的初速度约为10m/s

［例题3］（2024•天津模拟）如图所示，正方体框架ABCD-AiBiCiDi的底面AiBiCiDi处于水平地面上。从顶点

A沿不同方向水平抛出小球（可视为质点），不计空气阻力。关于小球的运动，下列说法正确的是（）

A.落点在棱BB1上的小球，落在B1点时平抛的初速度最大

B.落点在面AiBiCiDi内的小球，落在C1点的运动时间最长

C.落点在三角形B1C1D1内的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是1：2

D.落点在线BiDi上的小球，落地时重力的瞬时功率均不相同

考点二斜面上的平抛运动问题

斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用

斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决.常见的模型如下：

方法内容斜面总结

探秘­创题样析

[例题4]（2024•辽宁二模）如图所示，倾角为37。的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度vi

向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度V2向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰

好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，sin37o=0.6,cos37o=

0.8o则vi：V2等于（）

A.4：3B.5：4C.8：7D.9：8

[例题5]（2024•宝鸡一模）如图所示，倾角为。的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度同时

水平抛出一小球，不计空气阻力，三个小球均落在斜面上的D点，测得AB：BC：CD=5：3：1,由此可判断

A.三个小球做平抛运动的时间之比为1：2：3

B.三个小球落在斜面上时速度方向相同

C.三个小球的初速度大小之比为1：2：3

D.三个小球的运动轨迹可能在空中相交

[例题6]（2024•德州模拟）如图所示，把一小球从斜面上先后以相同大小的速度抛出，一次水平抛出，另一次抛出

的速度方向与斜面垂直，两小球最终都落到斜面上，水平抛出与垂直斜面抛出落点到抛出点的距离之比为（）

vo

A.1：2B.2：1C.1：1D.1：3

考点三平抛运动的临界问题

探科­创题样析

[例题7]（2024•重庆模拟）充气弹跳飞人娱乐装置如图1所示，开始时娱乐者静止躺在气包上，工作人员从站台上

蹦到气包上，娱乐者即被弹起并落入厚厚的海洋球。若娱乐者弹起后做抛体运动，其重心运动轨迹如图2虚线

POB所示。开始娱乐者所处的面可视为斜面AC,与水平方向夹角。=37。。已知娱乐者从P点抛起的初速度方

向与AC垂直，B点到轨迹最高点。的竖直高度h=3.2m,水平距离l=2.4m,AB在同一水平面上，忽略空气

阻力，sin37=0.6,重力加速度g=10m/s2,贝！|（）

A.P点到B点的位移为3.6m

B.AB之间的距离为0.4m

C.娱乐者从P点到B点过程中的时间为1s

D.娱乐者从P点到B点过程中的最大速度9m/s

[例题8]（2024•重庆一模）如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球（视为质点），某次乒乓球与墙壁上的P点碰

撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的Q点，取重力加速度大小g=10m/s2,不计空气阻力。若球拍与水平方

向的夹角为45。，乒乓球落到球拍前瞬间的速度大小为4m/s,则P、Q两点的高度差为（）

墙壁

A.0.1mB.0.2mC.0.4mD.0.8m

[例题9]（2024•贵州模拟）无人机在一斜坡上方沿水平方向向右做匀速直线运动，飞行过程中先后释放甲、乙两个

小球，两小球释放的初始位置如图所示。已知两小球均落在斜坡上，不计空气阻力，比较两小球分别从释放到

落在斜坡上的过程，下列说法正确的是（）

A.乙球的位移大

B.乙球下落的时间长

C.乙球落在斜坡上的速度大

D.乙球落在斜坡上的速度与竖直方向的夹角大

考点四类平抛运动模型

1.受力特点

物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直.

2.运动特点

在初速度■方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度

3.求解方法

（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合外力的方向）的匀加

速直线运动.两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性.

（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度。分解为ay,初速度vo分解为

心、岭，然后分别在小y方向列方程求解.

提秘•创题稀析

[例题10]（2023秋•武昌区校级期末）如图所示的光滑固定斜面ABCD,其倾角可调节。当倾角为⑦时，一物块（可

视为质点）沿斜面左上方顶点A以初速度vo水平射入，恰好沿底端D点离开斜面；改变倾角为例时，同样将

该物块沿斜面左上方顶点A以初速度vo水平射入，发现物块沿CD边中点离开斜面。已知重力加速度为g,下

列说法正确的是（）

A.物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为2：1

B.物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1

C.物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：1

D.物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2

［例题11］（多选）（2023秋•包河区校级期末）如图所示，两个倾角分别为30。、45。的光滑斜面放在同一水平面上，

两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等。有三个完全相同的小球a、b、c,开始均静止于同一高度处，其中

b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端。若同时释放a、b、c小球到达该水平面的时间分别为ti、t2、t

若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为伍、t2，、t3，.下列关于时间的关系正

确的是（）

B.tl=tl'、t2=t2'、t3=t3'

C.tl，＞t3，＞t2，

D.tl＜tl\12Vt2'、13Vt3’

［例题12］（多选）如图所示，倾角为0=30。的光滑斜面ABCD,其中AB=BC=CD=DA=2.4m,在斜面底端A点

放置一小球发射装置（可视为质点），发射装置可从A点与AB边成53。沿斜面斜向上射出速度大小不同的小

球，重力加速度g=10m/s2,$m53。=0.8,8$53。=0.6。下列说法正确的是（）

A.所有小球在斜面上运动过程中，速度的变化率都相等

B.若射出小球的速度为2.5m/s,则小球落到AB边上的位置距离A点0.6m

C.若小球恰好能从C点离开斜面，则小球发射的速度为5鱼m/s

D.若小球垂直于BC边离开斜面，则小球发射的速度为5m/s

解惑♦题型台薄

题型1平抛运动基本规律的应用

1.（2024•甘肃模拟）如图所示，一小球从。点水平抛出后的轨迹途经A,B两点，已知小球经过A点时的速度

大小为13m/s,从O到A的时间和从A到B的时间都等于0.5s,取重力加速度大小g=10m/s2,不计空气阻

力，下列说法正确的是（）

A.小球做平抛运动的初速度大小为10m/s

B.0、A两点间的距离为5m

C.A、B两点间的距离为10m

D.0、B两点间的距离为13m

2.（2024•富平县一模）高楼出现火情时需要一种高架水炮消防车。现距水平地面36m高的某楼房出现火情，消

防员紧急出动救援，已知高架水炮消防车的水炮炮口距离水平地面28.8m,到起火房间的水平距离为9.6m,水

柱刚好从起火房间的窗户垂直打入，取重力加速度大小g=10m/s2,不计空气阻力，则水柱刚打入窗户时的速

度为（）

A.6m/sB.8m/sC.10m/sD.15m/s

题型2平抛运动的两个重要推论的应用

3.（2024•泸州模拟）将一小球向右水平抛出并开始计时，不计空气阻力。设某时刻小球与抛出点的连线与水平方

向的夹角为a,此时速度的方向与水平方向的夹角为下列有关图像中可能正确的是（）

4.（2021•宁江区校级三模）如图所示，甲、乙两同学模拟古代投壶比赛，他们自P、Q两点分别vi、V2的速度同

时水平抛出小球，P比Q位置更高，两小球均射到壶口O点，且在O点时速度方向相同，忽略空气阻力，下

列说法正确的是（）

A.两小球抛出的初速度相等

B.两小球飞行时间相等

C.抛出点P、Q与O共线

D.两小球到达O点的速度相等

题型3平抛运动与斜面相结合

5.（2023•大庆模拟）如图所示，光滑斜面AB固定，倾角为37。，斜面上P点与斜面底端B点间的距离为L,D

点位于B点的正上方。现在将小物块从斜面的顶端A点由静止释放的同时，将小球从D点以某一初速度水平

向左抛出，小球与物块在P点相遇，相遇时小球恰好垂直打到斜面上。取sin37o=0.6,cos37o=0.8,物块与小

A、B两点间的距离为（)

285933107

A.—LB.—LC.—LD.-----L

25502575

6.（2023•郴州模拟）某游乐场有一打金蛋游戏，游戏示意图如下。弹珠的发射速度方向与斜面垂直、大小可以通

过按压的力度来调整，若弹珠弹出后直接击中B点的金蛋为三等奖；若与斜面碰撞一次再击中金蛋为二等奖;

若与斜面碰撞两次再击中金蛋为一等奖，已知斜面与水平方向夹角为45。，斜面AB长四小，弹珠与斜面碰撞

瞬间弹珠在垂直于斜面方向上的速度反向、大小不变，沿斜面方向上的速度不变，取重力加速度g=10m/s2,

忽略空气阻力影响，以下说法正确的是（）

Ai

A.若最终得到三等奖，则弹珠发射的初速度大小为5m/s

B.最终得到一、二、三等奖的弹珠从射出到击中金蛋的时间之比为1：1：1

C.最终得到一、二、三等奖的弹珠从射出到击中金蛋的时间之比为2：3：4

D.最终得到一、二、三等奖的弹珠的初速度之比为4：3：2

题型4平抛运动与圆面相结合

7.（2023•青羊区校级模拟）如图所示，a、b两小球分别从半径大小为R的半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等

的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面斜边长是其竖直高度的2倍，a、b均

可视为质点，结果a、b两球同时分别落在半圆轨道和斜面上，则小球的初速度大小为（）（重力加速度为

g,不计空气阻力）

8.（2023•雨花区校级一模）如图示，半圆轨道固定在水平面上，一小球（小球可视为质点）从半圆轨道上B点

沿切线斜向左上方抛出，到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，O为半圆轨道圆心，半圆轨

道半径为R,OB与水平方向的夹角为60。，重力加速度为g,不计空气阻力，则小球在A点正上方的水平速度

题型5平抛运动与竖直面相结合

9.（2023•湛江二模）如图所示，某同学在篮筐前某位置跳起投篮。篮球出手点离水平地面的高度h=1.8m。篮球

离开手的瞬间到篮筐的水平距离为5m,水平分速度大小v=10m/s,要使篮球到达篮筐时，竖直方向的分速度

刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2。篮筐离地面

10.（2023•上饶模拟）如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，O与A在同一

高度，小球的水平初速度分别为VI、V2,不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C,且AB=BC,

贝1JVI:V2为（）

C.(V2+2)1D.(V2+1)1

题型6平抛运动在球类问题中的临界问题

11.（2023•东城区模拟）如图所示，窗子上、下沿间的高度H=1.6m,墙的厚度d=0.4m,某人在离墙壁距离L=

1.4m、距窗子上沿h=0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落

在水平地面上，取g=10m/s2。则v的取值范围是（）

A.v>7m/sB.v<2.3m/s

C.3m/s<v<7m/sD.2.3m/s<v<3m/s

12.如图所示，某次排球比赛中，球员A在离水平地面3nl的高处将排球以30m/s的速度垂直球网水平击出，此时

排球与球网的水平距离为9m。球网的高度为2m,对方的球员B站立在球网处，直立伸直手臂可拦到离地高度

为2.3m的排球，起跳拦网可拦到离地高度为2.75m的排球，取重力加速度大小g=10m/s2。已知球员A、B的

连线与球网垂直，不计空气阻力，下列关于球员B拦排球的说法，正确的是（）

A.排球运动到球网正上方的时间为0.3s

B.球员B站在球网前直立伸直手臂可拦到排球

C.若球员B未拦到排球则排球不会出界

D.若球员B未拦到排球，则排球落地点到球网的距离约为2.6m

题型7类平抛运动

13.如图所示的光滑斜面长为1,宽为b,倾角为0,一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P以初速度vo水平

射入，恰好从底端Q点离开斜面，则（）

C.初速度vo=b居

D.初速度vo=b嚼型

14.如图所示的光滑斜面长为L,宽为s,倾角为9=30。，一小球（可视为质点）沿斜面右上方顶点A处水平射入,

恰好从底端B点离开斜面，重力加速度为g。则下列说法正确的是（）

4

»1♦

A.小球运动的加速度为g

B.小球由A运动到B所用的时间为后

C.小球由A点水平射入时初速度vo的大小为s养

D.小球离开B点时速度的大小为J卷有+4〃）

题型8斜抛运动

15.（2024•淮安模拟）将一物体以某一初速度沿与水平方向成37。角从A点斜向上抛出，经过B点时速度与水平

方向的夹角为53。。已知A、B之间的水平距离为L,忽略空气阻力的影响，重力加速度为g,sin53°=0.8,则

下列说法正确的是（）

A.从A点抛出时的速度大小为'乎

B.从A到B过程中速度的最小值为项

5（3L

C.从A到B的时间为一）一

37g

7

D.A、B之间的图度差为一L

12

16.（2024•温州二模）如图所示，A、B两位同学从同一高度分别抛出沙包1和2,两沙包抛出的初速度大小均为

vo,方向与水平方向的夹角分别为01、。2,且01＞。2,两沙包抛出后在空中的运动轨迹分别如图中I和n所示。

两位同学均能在各自的抛出点接住对方抛来的沙包，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

B.沙包1和2在空中运动时间之比为tan02

C.沙包1和2运动过程中最小速度之比为tan0i

D.沙包1和2运动过程中离地的最大高度之比为tan20i

第9讲抛体运动

理好一加彼♦馁弓目标

考点一平抛运动的基本规律

崔舟二如己•朴泰基础考点二斜面上的平抛运动问题

考点三平抛运动的临界问题

考点四类平抛运动模型

本课内容建城二垠秘•旧84情析

题型1平抛运动基本规律的应用

(题型2平抛运动的两个声要推论的应用

(题型3平抛运动与斜面相结合

，题型4平抛运动与圆面相结合

第如二例*一战号专体

、题型5平抛运动与竖直面相结合

卜题型6平抛运动在球类问题中的临界问题

卜题型7类平抛运动

\题型8斜抛运动

知被♦基习。林

1.掌握平抛运动的特点和性质.

2.掌握研究抛体运动的方法，并能应用解题.

知3•务空知M

考点一平抛运动的基本规律

1.性质

加速度为重力加速度出的匀变速曲线运动,运动轨迹是抛物线.

2.基本规律

以抛出点为原点，水平方向(初速度w方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，贝U：

(1)水平方向：做匀速直线运动,速度%=为，位移尤=㈣.

(2)竖直方向：做自由落体运动,速度力=/，位移》:上/2.

(3)合速度：v=^/B+、,方向与水平方向的夹角为仇则tane=^=§.

(4)合位移：5=7七+死方向与水平方向的夹角为。，tan。=*=&.

3.对规律的理解

⑴飞行时间：由年知，时间取决于下落高度〃，与初速度V0无关.

（2）水平射程：x=VQt=VQy^,即水平射程由初速度w和下落高度K共同决定,与其他因素无关.

⑶落地速度：0=色地+谒="t+2g〃,以。表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tane=£="等，所以落地速度

也只与初速度都和下落高度h有关.

（4）速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g,所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Nt内的速度

改变量Av=g△"目同，方向恒为竖直向下，如图所示.

（5）两个重要推论

①做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B

点所示.

②做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为a,位移方向与水平方

向的夹角为仇贝廿ana=2tan&

提秘•创题精析

[例题13]（2024•麦积区二模）如图所示，一小球从O点水平抛出后的轨迹途经A、B两点，已知小球经过A点时

的速度大小为13m/s,从。到A的时间和从A到B的时间都等于0.5s,取重力加速度大小g=10m/s2,不计空

气阻力，下列说法正确的是（）

A.小球做平抛运动的初速度大小为10m/s

B.0、A两点间的距离为5m

C.A、B两点间的距离为10m

D.O、B两点间的距离为13m

【解析】A.由题意知下落到A点竖直方向的速度为：VyA=gt=10x0.5m/s=5m/s,所以小球做平抛运动的初速度

v222

大小为：v0=~yA—V13—5m/s=12m/s,故A错误；

B.O>A两点间的竖直高度为：%==讶x10x0.52?n=1.25m,水平位移为：xA=vot=12xO.5m=6m,所

=22

以O、A两点间的距离为：sA=7+XiV1.25+6m=6.13m,故B错误；

D.O、B两点间的竖直高度为：如=x（2t）2=10x（2x0.5）2m=5m,水平位移为水平位移为：XB=VOX2t

22

=12x2x0.5m=12m,O、B两点间的距离为：sB=y/xj+yj=V5+12m=13m,故D正确；

C.由上分析知A、B两点间的竖直高度为：hi=yB-yA=5m-1.25m=3.75m,A、B两点间的水平位移为：xi=

6m,A、B两点间的距离为：S］=，好+*=A/3.752+62m=6.32zn,故C错误。

故选：D。

［例题14］（多选）（2024•黔南州二模）如图（a）所示，在小球的抛出点O处固定有一点光源，它的正前方水平距离

为L=1.00m处竖直放置一块毛玻璃屏。用弹射器将小球以某一速度从O点水平向右抛出后，在毛玻璃屏上可

以看到小球影子的运动，利用闪光频率为f=20Hz的频闪相机拍摄了影子的位置照片如图（b）所示。空气阻

力不计，当地的重力加速度g=9.78m/s2。下列说法正确的是（）

A.影子做匀速直线运动

B.影子做自由落体运动

C.实验测得小球抛出时的初速度约为6m/s

D.实验测得小球抛出时的初速度约为10m/s

【解析】AB.由于相机的曝光时间是一样的，在误差范围内，相邻两个小球的投影间的距离相等，可知小球的

投影是匀速直线运动，故A正确，B错误；

CD.根据题意可知两相邻投影间的时间间隔为7=/==0.05s

根据图中数据可知影子的速度大小为u=x10-2m/s=0.814m/s

，。，熟oXU偿.U3产。'

y之

由平抛运动的规律可知乙=2—

Lvot

整理得，=券［

竖直方向投影点做匀速直线运动，则有"=V

2%

解得vg6m/s

故C正确，D错误。

故选AC-

[例题15]（2024•天津模拟）如图所示，正方体框架ABCD-AiBiCiDi的底面AiBiCiDi处于水平地面上。从顶点

A沿不同方向水平抛出小球（可视为质点），不计空气阻力。关于小球的运动，下列说法正确的是（）

A.落点在棱BBi上的小球，落在Bi点时平抛的初速度最大

B.落点在面AiBiCiDi内的小球，落在C1点的运动时间最长

C.落点在三角形B1C1D1内的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是1：2

D.落点在线BiDi上的小球，落地时重力的瞬时功率均不相同

【解析】A、小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，有h=*g/得：t=栏，则知落点在棱BBI上的小球，

水平位移相等，落在Bi点时下落高度最大，运动时间最长。根据vo=也可知平抛的初速度最小，故A错误；

B、根据t=偿可知落点在面AiBiCiDi内的小球下落高度相等，则运动时间相等，故B错误；

C、落点在三角形BiCiDi内的小球运动时间相等，最大的水平位移为最小水平位移为'/,则最小水平位

移与最大水平位移之比为1：2,由vo=a可知平抛初速度的最小值与最大值之比是1：2,故C正确；

D、设正方体的棱长为1,落点在线BiDi上的小球，竖直速度大小均为3=商1,落地时重力的瞬时功率PG=

mgvy均相同，故D错误。

故选：Co

考点二斜面上的平抛运动问题

斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用

斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决.常见的模型如下：

方法内容斜面总结

r跖/

分水平：VX=VO

j垂直打1'、'/分解速度，构建速度

解竖直：Vy=gt

三角形

速合速度：V=\fvx+vj

度

分水平：X=Vot

解分解位移，构建位移

竖直：

位三角形

合位移：s=y[^+^4，

移

探秘•创题拜析

[例题16]（2024•辽宁二模）如图所示，倾角为37。的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度vi

向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度V2向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰

好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，sin37o=0.6,cos37o=

0.8。贝hi：V2等于（）

A.4：3B.5：4C.8：7D.9：8

【解析】A、B竖直方向做自由落体运动，位移为h=：9产

落点相同即hA=hB,tA=tB=t,VA1=VB1

1?1

包=讶0培XA=Vlt

tanO=—

XB

联立上式代入数据解得汝几。=|

垂直打在该点则1

VAI4

v2VA1v248

—=------X---2----=-X-=-

"1%VBI339

所以vi：¥2=9：8,故D正确，ABC错误。

故选：Do

[例题17]（2024•宝鸡一模）如图所示，倾角为。的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度同时

水平抛出一小球，不计空气阻力，三个小球均落在斜面上的D点，测得AB：BC：CD=5：3：1,由此可判断

()

A

A.三个小球做平抛运动的时间之比为1：2：3

B.三个小球落在斜面上时速度方向相同

C.三个小球的初速度大小之比为1：2：3

D.三个小球的运动轨迹可能在空中相交

【解析】A.小球做平抛运动，竖直方向有y=±gt2

根据几何关系有AD：BD：CD=9：4：1

三个小球做平抛运动的时间之比为tA：tB：tc=3：2:1

故A错误；

B.小球在水平方向做匀速直线运动，则x=vot

三个小球均落在斜面上的D点，根据位移间的关系有tern。=当=罄

XZVQ

设三个小球速度偏转角为a,则tcma=—=—=2tan9

vovo

可知三个小球速度偏转角相同，三个小球落在斜面上时速度方向相同，故B正确；

C.三个小球均落在斜面上的D点，根据竖直位移与水平位移的关系有汝九。=营=4

XZ1/Q

三个小球的初速度大小之比为VA：VB：vc=3：2:1

故c错误；

D.三个小球做平抛运动，三个小球的运动轨迹为抛物线，且交于D点，故三个小球的运动轨迹不可能在空中相

交，故D错误。

故选：Bo

[例题18]（2024•德州模拟）如图所示，把一小球从斜面上先后以相同大小的速度抛出，一次水平抛出，另一次抛出

的速度方向与斜面垂直，两小球最终都落到斜面上，水平抛出与垂直斜面抛出落点到抛出点的距离之比为（）

A.1：2B.2：1C.1：1D.1：3

【解析】设斜面倾角为仇当小球做平抛运动落在斜面上时；

根据平抛运动规律，水平位移为x=vot

竖直位移y=^gt2

根据数学知识tcm。=(

抛出点与落点之间的距离Si=短5

代入数据解得s】=萼鬻；

Uc/oLz

当小球垂直于斜面抛出时，小球做斜抛运动，根据运动的合成与分解，竖直分速度Vy=VOC0s0,水平分速度Vx=

vosinQ

以抛出点为参考点，根据斜抛运动规律，水平位移Xl=Vxtl

1

竖直位移一yi=vytr-

根据数学知识tan。=空

X1

抛出点与落点之间的距离S2=藕

代入数据解得S2=笑鬻；

因此有二=一，故C正确，ABD错误。

S21

故选：Co

考点三平抛运动的临界问题

探科­创题样析

[例题19](2024•重庆模拟)充气弹跳飞人娱乐装置如图1所示，开始时娱乐者静止躺在气包上，工作人员从站台上

蹦到气包上，娱乐者即被弹起并落入厚厚的海洋球。若娱乐者弹起后做抛体运动，其重心运动轨迹如图2虚线

POB所示。开始娱乐者所处的面可视为斜面AC,与水平方向夹角。=37。。已知娱乐者从P点抛起的初速度方

向与AC垂直，B点到轨迹最高点O的竖直高度h=3.2m,水平距离l=2.4m,AB在同一水平面上，忽略空气

阻力，sin37=0.6,重力加速度g=10m/s2,贝!J()

A.P点到B点的位移为3.6m

B.AB之间的距离为0.4m

C.娱乐者从P点到B点过程中的时间为Is

D.娱乐者从P点到B点过程中的最大速度9m/s

【解析】由抛体运动的规律可知，从P到B的过程中水平方向的分速度不变，等于在最高点。点的速度，设为

vo

由平抛运动的规律可得

水平方向l=voti

竖直方向h=1gtr

由已知代入数据解得

ti=0.8s,vo=3m/s

已知在P点速度垂直AC可分解为水平速度vo和竖直向上的分速度Vpy

由几何知识可得；tand=-^-tand=色~

vpyvpy

代入数据解得=4m/s

从P到O竖直方向做竖直上抛运动，时间t2满足

Vpy=gt2,代入数据记得力2=等==0.4S

则PO的竖直分位移为%o=2,9^2=]x10x0.42m=0.8m

水平分位移为xPo=vot2=3x0.4m=1.2m

A.PB的水平分位移为xpB=l+xpo=2.4m+1.2m=3.6m

竖直分位移为yPB=h-ypo=3.2m-0.8m=2.4m

由勾股定理可得P到B的位移为八8=金+端=V3.62+2.42m«4.089m

故A错误；

B.PA的水平分位移为%pz=卷第=京条771=3.2m

则AB之间的距离为XAB=XPB-xpA=3.6m-3.2m=0.4m

故B正确；

C.P到B的时间为t=ti+t2=0.8s+0.4s=1.2s

故C错误；

D.由抛体运动的规律可知，速度最大的位置为B点，竖直分速度为vBy=gti=10x0.8m/s=8m/s

水平分速度为vo=3m/s

B点速度为%=V82+32m/s=V73m/s,故D错误。

故选：Bo

[例题20]（2024•重庆一模）如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球（视为质点），某次乒乓球与墙壁上的P点碰

撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的Q点，取重力加速度大小g=10m/s2,不计空气阻力。若球拍与水平方

向的夹角为45。，乒乓球落到球拍前瞬间的速度大小为4m/s,则P、Q两点的高度差为（）

A.0.1mB.0.2mC.0.4mD.0.8m

【解析】由于恰好垂直落在球拍上的Q点，根据几何关系得：vQcos45o=gt,解得t=^s

根据乒乓球在竖直方向上的运动规律，由h=|gt2,

112

解得：h=^。产=2义10X汨m=0.4m,故C正确，ABD错误。

故选：Co

[例题21]（2024•贵州模拟）无人机在一斜坡上方沿水平方向向右做匀速直线运动，飞行过程中先后释放甲、乙两个

小球，两小球释放的初始位置如图所示。已知两小球均落在斜坡上，不计空气阻力，比较两小球分别从释放到

落在斜坡上的过程，下列说法正确的是（）

B.乙球下落的时间长

C.乙球落在斜坡上的速度大

D.乙球落在斜坡上的速度与竖直方向的夹角大

【解析】AB.根据位移一时间公式，对于竖直方向做匀加速运动而言八=寺碇2,对于水平方向做匀速运动而言

x=vt

根据题意可知，甲、乙两球均做平抛运动，但由于甲球先释放，乙球后释放，且两球均落在斜坡上，则可知乙球

在斜坡上的落点比甲球在斜坡上的落点高，而平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，在水平方向的运动

为匀速直线运动，由于乙球的落点高，则乙球在竖直方向的位移小，由此可知乙球下落的时间小于甲球下落的时

间，即t甲＞1乙

乙球在水平方向的位移小于甲球在水平方向的位移，而甲、