高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题3.10圆锥曲线的方程全章八类必考压轴题(原卷版+解析)

专题3.10圆锥曲线的方程全章八类必考压轴题【人教A版（2019）】考点1考点1曲线与方程1．（2023·全国·高三对口高考）若θ是任意实数，方程x2sinθ+A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线2．（2023春·上海黄浦·高二校考期中）如图，线段AB与平面α斜交于点B，且直线AB与平面α所成的角为60∘，平面α上的动点P满足∠PAB=30∘，则点PA．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线一支3．（2023·全国·高三专题练习）已知MN是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0中垂直于长轴的动弦，4．（2023春·湖南长沙·高二校考阶段练习）在直角坐标系xOy中，动点Q到直线l:x=−4的距离与到点F(−1,0)的距离之比为2，动点Q的轨迹记为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)P是直线l上一点，过点P作曲线C的两条切线PA、PB，切点为A、B，求tan∠APB的最大值．5．（2023·安徽安庆·校考模拟预测）如图，E,F,G,H分别是矩形ABCD四边的中点，F2,0,C2,1(1)求直线ER与直线GS交点M的轨迹方程；(2)过点I1,0任作直线与点M的轨迹交于P,Q两点，直线HP与直线QF的交点为J，直线HQ与直线PF的交点为K，求△IJK考点考点2椭圆的弦长与“中点弦”问题1．（2023春·宁夏吴忠·高二校考期中）过点M(1,1)的直线与椭圆x24+y23=1交于A,B两点，且点M平分弦A．4x+3y−7=0 B．3x+4y−7=0C．3x−4y+1=0 D．4x−3y−1=02．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为1的直线lA．247 B．127 C．1223．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆x29+y2=1，过左焦点F作倾斜角为π6的直线交椭圆于A4．（2023春·甘肃兰州·高二校考阶段练习）已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l:y=kx+2交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为−235．（2023春·江西新余·高二统考期末）椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点(2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(2,1)且倾斜角为π4的直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB考点考点3双曲线的弦长与“中点弦”问题1．（2023·高二课时练习）已知双曲线C:2x2−y2=2，过点P(1,2)的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段A．423 B．334 C．2．（2023·高二课时练习）已知双曲线方程x2−y23=1，则以A．6x+y−11=0 B．6x−y−11=0 C．x−6y−11=0 D．x+6y+11=03．（2023·高二课时练习）过双曲线x23−y26=1的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A4．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.5．（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点F1,F2的坐标分别为−5,0和(1)双曲线的方程及其渐近线方程；(2)已知直线l与该双曲线交于交于A,B两点，且A,B中点P5,1考点考点4抛物线的弦长问题1．（2023春·江西宜春·高二校考期末）过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为π3的弦AB，则|AB|A．837 B．163 C．82．（2023·河北张家口·统考三模）已知F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F的直线l交地物线C于A,B两点，若AF=λBFA．1 B．32 C．3 3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线y2=2x，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则AB4．（2023春·广东汕尾·高二统考期末）已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点a,2(1)求C的方程；(2)若斜率为3的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段AB的长度．5．（2023春·四川·高二统考期末）已知直线l与抛物线C:y2=8x相交于A(1)若直线l过点Q4,1，且倾斜角为45∘，求(2)若直线l过点Q4,1，且弦AB恰被Q平分，求AB考点考点5圆锥曲线中的面积问题1．（2023·安徽六安·校考模拟预测）已知双曲线C:x216−y29=1的左、右焦点分别为F1、F2，直线y=kx与双曲线C交于A．18 B．10 C．9 D．62．（2023秋·重庆九龙坡·高二校考期末）已知F为抛物线y2=4x的焦点，过点F作两条直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，若A．48 B．32 C．16 D．83．（2023春·安徽·高三校考阶段练习）过点Px0，y0作抛物线C:y=ax2(a>0)的两条切线，切点分别为A，B，作AA1，BB1垂直于直线4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆C1:y2a2+x2(1)求C1(2)若Ax1,y1,Bx2,y2在C2上，且x1<0<x2，分别以A,B为切点，作5．（2023春·甘肃天水·高二统考期末）已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2,0，过点F的直线l与椭圆M交于(1)求椭圆M的方程；(2)作BC⊥x轴于点C，作AD⊥x轴于点D，直线BD交直线x=4于点E．①求证：C，A，E三点共线；②求△ECD与△EAB的面积之比．考点考点6圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题1．（2023春·江西宜春·高二校考期末）已知椭圆C:x24+y2=1的左右顶点分别为A,B，上顶点为D,M为椭圆C上异于四个顶点的任意一点，直线AM交BD于点P(1)求△MBD面积的最大值；(2)记直线PM,PQ的斜率分别为k1,k2．（2023春·江苏南京·高二校考期末）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长为22，C的一条渐近线斜率为−2(1)若直线l过C的右焦点，且斜率为−1，求△PMQ的面积；(2)设P，Q为双曲线C上异于点M2a,b的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，若3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别是F1，F2，A（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=2pxp>0，(1)求抛物线的标准方程；(2)过点4,0作动直线l与抛物线C交于M，N两点，直线OM，ON分别与圆x−12+y2=1交于点P，Q两点（异于点O），设直线OM，ON①求证：k1②求证：直线PQ恒过定点．5．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=2pxp>0，圆B:x2+（1）求p和b的值；（2）若点A的坐标为−2,0，过点A且斜率为23的直线l1与抛物线C分别相交于P、Q两点（点Q在点P的右边），过点A的直线l2与抛物线C分别相交于M、N两点，直线l1与l2不重合，直线PM与直线QN考点考点7圆锥曲线中的最值问题1．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2(1)求E的方程；(2)直线y=kx+12(k>0)与E交于A，B两点，直线PA，PB分别交直线l于C，D2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线Γ：x2a2−y(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值.3．（2023春·广东河源·高二校考期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为6(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB4．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1，（(1)求C的标准方程；(2)过点M(−2,0)且斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于点A,B，点N在线段AB上，且|MA||MB|=|AN||NB|，P为线段AB的中点，记直线OP，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k15．（2023春·上海宝山·高二校考期中）直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB的斜率之积为−1，以线段AB的中点为圆心，2为半径的圆与直线l交于P、（1）求证：直线l过定点；（2）求AB中点的轨迹方程；（3）设M6,0，求MP考点考点8圆锥曲线综合1．（2023春·天津和平·高三校考阶段练习）双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，抛物线yA．y2=4x B．y2=6x C．2．（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）已知抛物线C：x2=−2pyp>0的焦点F与y28+x24=1的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，A．12 B．14 C．15 D．163．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点与抛物线y2=2pxp>04．（2023春·广东揭阳·高二校联考期中）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，且F2(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与椭圆C交于R，S两点，存在一点T4,0使∠OTS=∠OTR，判断直线l5．（2023春·云南玉溪·高二统考期末）已知双曲线C1:x2a2−y2(1)求C1，C(2)设A是C1与C2在第一象限的公共点，作直线l与C1的两支分别交于点M，N，使得AM⊥AN.求证：直线专题3.10圆锥曲线的方程全章八类必考压轴题【人教A版（2019）】考点1考点1曲线与方程1．（2023·全国·高三对口高考）若θ是任意实数，方程x2sinθ+A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线【解题思路】利用特殊角可判断ACD；讨论θ的取值可判断B.【解答过程】对于A，当cosθ=sinθ=22对于B，当θ是第一象限角时，cosθ>0,sinθ>0当θ是第二象限角时，cosθ<0,sinθ>0当θ是第三象限角时，cosθ<0,sinθ<0当θ是第四象限角时，cosθ>0,sinθ<0当θ的角的终边落在x轴正半轴上时，cosθ=1，sinθ=0，得当θ的角的终边落在y轴正半轴上时，cosθ=0，sinθ=1，得当θ的角的终边落在x轴负半轴上时，cosθ=−1，sinθ=0，得当θ的角的终边落在y轴负半轴上时，cosθ=0，sinθ=−1，得对于C，当θ=π3时，由x2sinθ+对于D，当θ=2π3时，由x2sinθ+故选：B.2．（2023春·上海黄浦·高二校考期中）如图，线段AB与平面α斜交于点B，且直线AB与平面α所成的角为60∘，平面α上的动点P满足∠PAB=30∘，则点PA．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线一支【解题思路】根据题意，∠PAB=30∘为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面【解答过程】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，且平面与轴线所成角大于母线与轴线所成角时得到椭圆；当平面与轴线所成角小于母线与轴线所成角时得到双曲线，当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．平面α上的动点P满足∠PAB=30∘，则P在以母线与AB所在直线(中轴线)的夹角为30∘，然后用平面α去截圆锥，使直线AB与平面α的夹角为60∘，则平面α与圆锥侧面的交线为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）已知MN是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0中垂直于长轴的动弦，A,B是椭圆长轴的两个端点，则直线AM和NB【解题思路】设M(x1,y1),N(x1,−y1)，直线【解答过程】设M(x因为椭圆x2a2设直线AM和NB的交点为P(x,y)，因为A,M,P三点共线，所以yx+a=y因为N,B,P三点共线，所以yx−a=−两式相乘得y2x2因为x12a2+所以y2x2−a所以直线AM和NB的交点P的轨迹方程x2a2故答案为：x2a24．（2023春·湖南长沙·高二校考阶段练习）在直角坐标系xOy中，动点Q到直线l:x=−4的距离与到点F(−1,0)的距离之比为2，动点Q的轨迹记为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)P是直线l上一点，过点P作曲线C的两条切线PA、PB，切点为A、B，求tan∠APB的最大值．【解题思路】（1）设动点Q的坐标为x,y，根据题意得到x+4x+1（2）设切线方程y=kx+4+t，联立方程组，由Δ=0，得出方程12k2+8tk+t2−3=0【解答过程】（1）解：设动点Q的坐标为x,y，因为动点Q到直线l:x=−4的距离与到点F（−1，0）的距离之比为2，可得x+4x+12+即所求曲线C的方程为x2（2）解：根据题意，设点P−4,t，显然，过P点的切线斜率均存在，设切线方程：y=k联立方程组y=kx+4+tx由Δ=64k2设两条切线的斜率分别为k1，k2，则则tan∠APB=k所以tan∠APB的最大值为45．（2023·安徽安庆·校考模拟预测）如图，E,F,G,H分别是矩形ABCD四边的中点，F2,0,C2,1(1)求直线ER与直线GS交点M的轨迹方程；(2)过点I1,0任作直线与点M的轨迹交于P,Q两点，直线HP与直线QF的交点为J，直线HQ与直线PF的交点为K，求△IJK【解题思路】（1）利用已知可得直线ER，GS的方程，消去参数，根据交点M的变化即可求出其轨迹方程.（2）设PQ方程：x=my+1，代入x2+4y2−4=0，利用韦达定理表示出y1+y2=−4mm2+4,y1【解答过程】（1）由已知，R2λ,0,S2,1−λ，E当λ≠0时，直线ER方程：y=1直线GS方程：y=−λ联立上述两方程消去λ得：x2当λ=0时，交点M0,1又交点M不可能为0,−1，故所求的轨迹方程为x24+（2）设PQ方程：x=my+1（依题意m存在)，代入x2+4yΔ=16m2y1+yHP方程：y=y1x1+2联立上述两方程消去得：x+2x−2∴x=4，所以J4,yJ同理直线HQ与直线PF的交点K4,yKyJS△IJK=1故△IJK的面积最小值为33，此时直线PQ的方程为x=1考点考点2椭圆的弦长与“中点弦”问题1．（2023春·宁夏吴忠·高二校考期中）过点M(1,1)的直线与椭圆x24+y23=1交于A,B两点，且点MA．4x+3y−7=0 B．3x+4y−7=0C．3x−4y+1=0 D．4x−3y−1=0【解题思路】设Ax1,【解答过程】设Ax1,y1,Bx①-②得x1因为点M为AB中点，则x1所以x1−x所以直线l的方程为y−1=−34故选：B.2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为1的直线lA．247 B．127 C．122【解题思路】利用弦长公式求解即可.【解答过程】设直线AB方程为y=x−1，联立椭圆方程x整理可得：7x2−8x−8=0则x1+xAB=1+k2故选：A.3．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆x29+y2=1，过左焦点F作倾斜角为π6的直线交椭圆于A【解题思路】设点Ax1,y1、B【解答过程】在椭圆x29+y2=1中，a=3，设点Ax1,y1、Bx2联立x=3y−22x2由韦达定理可得y1+y所以，AB=故答案为：2.4．（2023春·甘肃兰州·高二校考阶段练习）已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l:y=kx+2交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为−23【解题思路】（1）根据焦点坐标求得c，根据长轴和短轴的对应关系，以及a2=b（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去y并化简，写出韦达定理，根据AB中点的横坐标求得k的值，进而求解.【解答过程】（1）由椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，可得a=2所以2b又F1,0，所以2b2所以a=2所以椭圆C的标准方程为x2（2）设Ax1,由x22+则x1+x因为线段AB中点的横坐标为−2所以x1解得k2=1所以直线l的方程为y=±15．（2023春·江西新余·高二统考期末）椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点(2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(2,1)且倾斜角为π4的直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB【解题思路】（1）根据椭圆的几何性质即可求解，（2）由弦长公式即可求解.【解答过程】（1）由题意设椭圆C的方䄇为x2因为椭圆经过点(2,0)且短轴长为2，所以a=所以椭圆C的标准方程为x2（2）由已知得直线l的方程为y=x−1，设Ax1,y1得3x2−4x=0，易得Δ>0，所以x所以AB=考点考点3双曲线的弦长与“中点弦”问题1．（2023·高二课时练习）已知双曲线C:2x2−y2=2，过点P(1,2)的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段A．423 B．334 C．【解题思路】设直线MN为y−2=k(x−1)，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.【解答过程】由题设，直线l的斜率必存在，设过P(1,2)的直线MN为y−2=k(x−1)，联立双曲线：(2−设M(x1,y1),N(x则x1+x弦长|MN|=1+故选：D.2．（2023·高二课时练习）已知双曲线方程x2−y23=1，则以A．6x+y−11=0 B．6x−y−11=0 C．x−6y−11=0 D．x+6y+11=0【解题思路】利用点差法可求得直线l的斜率，利用点斜式可得出直线l的方程.【解答过程】设直线l交双曲线x2−y23=1于点由已知得x12−所以，y1−y2x故直线l的斜率为y−1=6x−2，即6x−y−11=0故选：B.3．（2023·高二课时练习）过双曲线x23−y26=1的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B【解题思路】根据直线与双曲线相交，由韦达定理以及弦长公式即可求解.【解答过程】双曲线x23−y26=1的右焦点为F23,0，所以直线l的方程为y=33(x−3)．由所以AB=1+故答案为：1634．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.【解题思路】（1）根据双曲线的准线方程公式，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.（2）根据题意设出直线l的方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、双曲线弦长公式进行求解即可.【解答过程】（1）因为直线l经过C的右焦点，所以该双曲线的焦点在横轴上，因为双曲线C两条准线之间的距离为1，所以有a2又因为离心率为2，所以有ca=2⇒ac=∴C的标准方程为：x2（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为y=±3所以直线l的斜率为±33，由于双曲线和两条直线都关于所以两条直线与双曲线的相交弦相等.又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为33方程为y=3x2设Ax1,AB5．（2023·江苏·高二专题练习）双曲线的焦点F1,F2的坐标分别为−5,0和(1)双曲线的方程及其渐近线方程；(2)已知直线l与该双曲线交于交于A,B两点，且A,B中点P5,1【解题思路】（1）由题意可得c的值，再由离心率，可得a的值，进而求出b的值，由此可求出双曲线的方程以及渐近线方程；（2）设直线l：y=kx−5【解答过程】（1）由题意可得c=5,e=ca=54所以b2所以双曲线的方程为：x216−（2）由于A,B中点P5,1不在x设直线l：y=kx−5+1，A联立y=kx−5消去y得9−16则x1x2=−400则AB==1+考点考点4抛物线的弦长问题1．（2023春·江西宜春·高二校考期末）过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为π3的弦AB，则|AB|A．837 B．163 C．8【解题思路】求出抛物线的焦点坐标F(1,0)，用点斜式设出直线方程：y=3(x−1)，与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段【解答过程】解：根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标直线AB的斜率为k=tan由直线方程的点斜式方程，设AB:y=3将直线方程代入到抛物线方程中，得：3(x−1)整理得：3x设A(x1，y1)，由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x所以弦长|AB|=1+故选：B．2．（2023·河北张家口·统考三模）已知F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F的直线l交地物线C于A,B两点，若AF=λBFA．1 B．32 C．3 【解题思路】由抛物线的定义求得B点的横坐标，代入抛物线得B点坐标，从而求得直线AB的方程，联立抛物线与直线即可得A点的横坐标，求得AF，从而可得λ的值.【解答过程】如图，过A作AA1准线于A1，过B作B

由抛物线C:y2=3x的焦点F由抛物线的定义可得BF=BB1若B14,32，直线AB的斜率为kAB联立y=−3x+334y2则AF=若B14,−32，直线AB的斜率为kAB联立y=3x−334y2则AF=综上，λ=3.故选：C.3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线y2=2x，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则AB=【解题思路】由题意求出A点坐标，由于直线AB过焦点，利用点斜式方程求出直线AB方程，联立抛物线方程，由韦达定理求出点B坐标，利用两点间的距离求出AB即可.【解答过程】由条件可知AQ与x轴平行，令yA=2，可得xA=2，故因为lAB经过抛物线焦点F12,0，所以整理得4x−3y−2=0，联立y2=2x4x−3y−2=0，得y2−又yA=2，所以yB所以|AB|=2−故答案为：2584．（2023春·广东汕尾·高二统考期末）已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点a,2(1)求C的方程；(2)若斜率为3的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段AB的长度．【解题思路】（1）由抛物线过点a,2a（2）由直线过抛物线的焦点与已知斜率可求出直线AB，将直线AB与抛物线联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可得答案.【解答过程】（1）∵抛物线C:y2=2px(p>0)∴2p⋅a=4a．又∵a>0，∴2p=4，上故C的方程为y2（2）设Ax1,由（1）知，抛物线C的焦点为F1,0∵直线AB的斜率为3，且过点F，∴直线AB的方程为y=3x−1联立y=3x−1,y2=4x,∴AB=故线段AB的长度为163．5．（2023春·四川·高二统考期末）已知直线l与抛物线C:y2=8x相交于A(1)若直线l过点Q4,1，且倾斜角为45∘，求(2)若直线l过点Q4,1，且弦AB恰被Q平分，求AB【解题思路】（1）先求直线l的方程，联立抛物线的方程，用弦长公式可得AB.（2）可用点差法解决中点弦问题.【解答过程】（1）因直线l的倾斜角为45∘，所以直线l的斜率k=又因直线l过点Q4,1所以直线l的方程为：y−1=x−4，即y=x−3，联立y2=8x得设AxA,所以xA+x所以AB（2）因A、B在抛物线C:y所以yA2=8两式相减得：yA得yA故直线l的斜率为4，所以直线l的方程为：y−1=4x−4，即4x−y−15=0考点考点5圆锥曲线中的面积问题1．（2023·安徽六安·校考模拟预测）已知双曲线C:x216−y29=1的左、右焦点分别为F1、F2，直线y=kx与双曲线C交于A．18 B．10 C．9 D．6【解题思路】由已知可得四边形AF1BF2为矩形，从而可得AF1⊥BF【解答过程】直线y=kx与双曲线C交于A，B两点，若AB=则四边形AF1BF2

由双曲线C:x216−y29所以AB=F1又AF所以AF12所以S△AB故选：C．2．（2023秋·重庆九龙坡·高二校考期末）已知F为抛物线y2=4x的焦点，过点F作两条直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，若A．48 B．32 C．16 D．8【解题思路】依题意，l1⊥l2，设直线l1的斜率为k(k≠0)【解答过程】依题意，l1⊥l2，设直线l1的斜率为k(k≠0)，则直线l2的斜率为−1k，设Ax1,联立y2=4x,y=kx−1,所以AB=同理DE=从而S=12AB故选:B.3．（2023春·安徽·高三校考阶段练习）过点Px0，y0作抛物线C:y=ax2(a>0)的两条切线，切点分别为A，B，作AA1，BB1垂直于直线【解题思路】设Ax1,ax12，Bx2,ax22，由导数的几何意义求得切线方程，再根据两切线的交点为【解答过程】设Ax1,ax12，所以切线lPA:y−ax则有y0−ax由两式相减得x0=x1+设直角梯形ABB1A则S1所以S1+(当且仅当S1=S所以，S2S故答案为：4.4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆C1:y2a2+x2(1)求C1(2)若Ax1,y1,Bx2,y2在C2上，且x1<0<x2，分别以A,B为切点，作【解题思路】（1）根据题意可得曲线过点6,−2，然后根据曲线的离心率和a,b,c（2）设直线AB的方程为y=kx+m(m>0),Ax1,【解答过程】（1）由题知C1过点6,−2，则e=c∴C（2）设直线AB的方程为y=kx+m(m>0),Ax

联立y=kx+mx2=8yx1则AB=1+k2x故以A为切点的切线为y−y1=同理以B为切点的切线为y=x24由y=x14x−x两式求和得：2y=x所以点P4k,−m,由P在椭圆上m2点P到直线AB的距离d=4所以S△ABP=1S====[13−(m−6)而y=13−(m−6)24、y=10−则S在m∈0,4上递增，S∈5．（2023春·甘肃天水·高二统考期末）已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2,0，过点F的直线l与椭圆M交于(1)求椭圆M的方程；(2)作BC⊥x轴于点C，作AD⊥x轴于点D，直线BD交直线x=4于点E．①求证：C，A，E三点共线；②求△ECD与△EAB的面积之比．【解题思路】（1）利用椭圆的通径及a2=b（2）①先设直线AB方程为：x=ty+2，联立椭圆，将每个点的坐标表示出来，要找C，A，E三点共线，只需证明kAE②因为AD//BC，先找到S△ADB=S【解答过程】（1）由题，直线AB:x=c，代入x2a2故AB=2b又因为c=2，a2=b解得a=2±322，即所以椭圆M的方程为x2（2）如图所示：

①设Ax1,y1，BAB直线方程为：x=ty+2，x=ty+2xy1+y直线BD的方程为y=y令x=4，得y=y所以E4,kAE=yk=t所以A，C，E三点共线.（2）因为AD//△ECD与△EAB的面积之比1:1.考点考点6圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题1．（2023春·江西宜春·高二校考期末）已知椭圆C:x24+y2=1的左右顶点分别为A,B，上顶点为D,M为椭圆C上异于四个顶点的任意一点，直线AM交BD于点P(1)求△MBD面积的最大值；(2)记直线PM,PQ的斜率分别为k1,k【解题思路】（1）方法1：设出点M的坐标，计算点M到直线BD的距离，运用辅助角公式转化为求三角函数的最大值，进而可求得结果.方法2：联立椭圆方程及与BD平行的直线的方程，令Δ=0（2）分别求出交点M、Q、P坐标，计算k1【解答过程】（1）方法1：如图所示，由题意知，A(−2,0)，B(2,0)，D(0,1)，设M2则|BD点M到直线BD的距离为：d=2所以d=2所以S△MDB故△MBD面积的最大值为：2+1方法2：设与BD平行的直线l:x+2y+t=0，联立x+2y+t=0x2+4令Δ=16显然当t=22时l与椭圆的切点与直线BDdmax所以S△MDB故△MBD面积的最大值为：2+1（2）如图所示，设直线lAM联立x2+4y则点M的坐标为2m设点Q为t,0，则kQD所以1−t=4m所以Q2m+2联立x=my−2y=−12x+1得点所以k1=4m所以k1故k1−2k2．（2023春·江苏南京·高二校考期末）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长为22，C的一条渐近线斜率为−2(1)若直线l过C的右焦点，且斜率为−1，求△PMQ的面积；(2)设P，Q为双曲线C上异于点M2a,b的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，若【解题思路】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义求出双曲线的方程联立进行求解即可；（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可.【解答过程】（1）如图：

因为双曲线C:x2a所以2a=22，即a=2.又因为C的一条渐近线斜率为所以−ba=−22则其右焦点坐标为3,0，因为直线l过C的右焦点，且斜率为−1所以直线l的方程为：y=−x+3，设Px1联立y=−x+3x2所以由韦达定理得：x1+x所以PQ=点M2,1到直线l的距离为：d=所以S△PMQ（2）证明：如图

设直线PQ的方程为：x=my+n，设Px1,联立x=my+nx22Δ=4m所以：y1+y而M2,1，则k1=因为k1+整理的：y1所以y1所以：y1所以y1整理得：2m−2y代入韦达定理得：2m−2n所以2m−2n整理得：m2即m−nm+n−2=0，则m=n或当m=n时，直线线PQ的方程为：x=ny+n=ny+1，所以过定点0,−1当m=2−n时，直线线PQ的方程为：x=2−ny+n=n1−y即为M2,1，因为P，Q为双曲线C上异于点M故直线PQ过的定点为0,−1.3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别是F1，F2，A（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN【解题思路】（1）△PF1F2的周长为2a+2c，△PF（2）设直线MN方程为x=my+1，M(x1,y1),N(x【解答过程】（1）由椭圆定义知△PF1F2的周长为2a+2c=6，当P是椭圆短轴端点时，由2a+2c=6bc=消去a,b得2c3−3c2+1=0，∴a=2c=1∴椭圆方程为x2（2）由（1）A(−2,0),B(2,0)，F由直线MN斜率不为0，设直线MN方程为x=my+1，设M(x由x=my+1x24+y∴y1+y2=−直线AM方程为：y=y直线BN方程为：y=y联立方程组y=y1x1+2x+2x−2=y∴x=4．故直线AM,BN的交点在直线x=4上．4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=2pxp>0，(1)求抛物线的标准方程；(2)过点4,0作动直线l与抛物线C交于M，N两点，直线OM，ON分别与圆x−12+y2=1交于点P，Q两点（异于点O），设直线OM，ON①求证：k1②求证：直线PQ恒过定点．【解题思路】（1）先求出抛物线的焦点坐标，进而得到p2=1（2）①设直线MN方程为x=my+4，Mx1,y1，Nx2②设直线PQ方程为x=ty+n，Px3,y3，Qx4【解答过程】（1）易知直线2x+4y−1=0与x轴交于12即焦点坐标为12所以p2=1则抛物线方程为y2（2）①设直线MN方程为x=my+4，Mx1,联立方程组x=my+4y2=2x所以y1y2所以y12y则k1②设直线PQ方程为x=ty+n，Px3联立方程组x=ty+nx−12+所以y3+yk1整理得n−2n=−12，n=45．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=2pxp>0，圆B:x2+（1）求p和b的值；（2）若点A的坐标为−2,0，过点A且斜率为23的直线l1与抛物线C分别相交于P、Q两点（点Q在点P的右边），过点A的直线l2与抛物线C分别相交于M、N两点，直线l1与l2不重合，直线PM与直线QN【解题思路】（1）根据圆心到直线的距离等于半径可得b=1，联立直线与抛物线方程，根据判别式等于零可得p=2；（2）联立直线l1与抛物线，解得点P的坐标为1,2，点Q的坐标为4,4，设直线l2的方程为y=kx+2k≠0，点M的坐标为x2,y2，点N的坐标为x1,y1，联立直线l2与抛物线方程，根据韦达定理可得y【解答过程】（1）圆B的标准方程为x−32+y2=8，可知圆B由直线x−y+b=0与圆B相切，可得b+32=22，解得b=1联立方程y2=2pxx−y+1=0，消去x因为直线与抛物线相切，所以Δ=4p2−8p=0故p=2，b=1.（2）证明：直线l1的方程为y=联立方程y2=4xy=23则点P的坐标为1,2，点Q的坐标为4,4，设直线l2的方程为y=k点M的坐标为x2,y2联立方程y2=4xy=kx+2，消去有x1+xy1由Δ=4k2−42直线PM的斜率为y2直线QN的斜率为y1直线PM的方程为y−2=2y1直线QN的方程为y−4=4y1联立直线PM、QN的方程消去y后得2y得2y1−2y1+4x=4y故点T在定直线x=2上.考点考点7圆锥曲线中的最值问题1．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2(1)求E的方程；(2)直线y=kx+12(k>0)与E交于A，B两点，直线PA，PB分别交直线l于C，D【解题思路】（1）利用长轴的长度以及点到直线的距离公式求解；（2）设点Ax1,y1，Bx2,y2，将直线y=kx+12(k>0)与椭圆联立利用韦达定理求得x1和x2【解答过程】（1）由已知条件得2a=4，解得a=2，上顶点坐标为P0,b，d=2b−65=4由于a>b>0，则b=1，所以E的方程为x2（2）由（1）得P0,1，设Ax1联立y=kx+12x24x1+x设直线PA的方程为y=y联立y=y1点Ax1,y1在直线y=kx+同理可得xD所以CD2====20×令4k+1=tt>1，则CD2=20×此时0<1t<1，当12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线Γ：x2a2−y(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值.【解题思路】（1）根据P点坐标以及焦点到渐近线的距离求得a,b，从而求得双曲线的方程.（2）根据直线AB的斜率是否存在进行分类讨论，结合PA⊥PB以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线AB距离的最大值.【解答过程】（1）不妨设Fc,0，到双曲线的一条渐近线bx−ay=0的距离为bc双曲线x2a2−y所以双曲线方程为x2（2）当直线AB的斜率不存在时，设Ax0,PA=依题意PA⋅x0−22由x02−4x0所以A6,17,B6,−17，此时P当直线AB的斜率存在时，设Ax1,y1由y=kx+mx22−yΔ=16x1依题意PA⋅所以x==k整理得m2即m+2k−1m+6k+3=0，由于P∉直线AB，所以m+6k+3=0,m=−6k−3，函数y=−6k−3判别式为−362所以直线AB的方程为y=kx−6k−3，即kx−y−6k−3=0，所以P到AB的距离d=2k−1−6k−3d4当k≤0时，1+2kk2+1≤1当且仅当k=1所以d4综上所述，点P到直线AB的距离的最大值为423．（2023春·广东河源·高二校考期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为6(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB【解题思路】（1）根据已知条件，结合椭圆的性质，即可求解；（2）先求出当AB⊥x轴时AB=3，当AB与x轴不垂直时，设出直线【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意有ca=63，∴c=2，a=3，∴所求椭圆方程为x2（2）设Ax1,①当AB⊥x轴时，AB=②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，坐标原点O到直线l的距离为32则m1+k2把y=kx+m代入椭圆方程，整理得3kΔ=36AB=k结合4m2=3k2+1，消去当且仅当m2=3m2−2，即m又当k不存在时，AB=综上所述，AB的最大值为2，所以△AOB的面积的最大值为S△AOB4．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1，（(1)求C的标准方程；(2)过点M(−2,0)且斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于点A,B，点N在线段AB上，且|MA||MB|=|AN||NB|，P为线段AB的中点，记直线OP，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k1【解题思路】（1）根据题意列式求解a,b,c即可；（2）设直线l的方程及交点坐标，利用韦达定理求P,N的坐标，进而可得k1【解答过程】（1）因为双曲线C:x2a由双曲线过点(e,3)，且e=ca=c即c2−9故双曲线C的标准方程为x2（2）设直线l:my=x+2(m≠0)，Ax1,由题意可知x1联立方程x=my+2x2−由题意可得3m2−1≠0Δ=144则y1+y可得y4=y则P23m因为|MA||MB|=|AN||NB|，则则x3即N−12所以k1k2∴k1+k2≥2k1此时m=1或−1，均满足l与C的左、右两支分别相交．∴k15．（2023春·上海宝山·高二校考期中）直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB的斜率之积为−1，以线段AB的中点为圆心，2为半径的圆与直线l交于P、（1）求证：直线l过定点；（2）求AB中点的轨迹方程；（3）设M6,0，求MP【解题思路】（1）设直线l的方程为x=my+t，设点Ax1,y1、Bx2（2）设线段AB的中点为Nx,y，可得出x=2m2+4y=2m（3）利用平面向量的数量积推导出2MP2+【解答过程】（1）设直线AB的方程为x=my+t，设点Ax1,由y2=4xx=my+t所以Δ=4m2+16t=16t+m所以x1+x因为直线OA、OB的斜率之积为−1，所以OA⋅所以x1x2所以直线AB的方程为x=my+4，过定点4,0；（2）∵x1+x2设线段AB的中点为Nx,y，可得x=2m2+4y=2m因此，线段AB的中点的轨迹方程为x=1（3）如下图所示，易知圆心O′为线段PQMO所以，2M所以，4M即2=44所以MP2所以当m=±22时，MP2考点考点8圆锥曲线综合1．（202