苏教版高中数学选择性必修第二册6.2.2.2空间向量数量积的坐标运算【教学课件】

第2课时空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式第6章6.2.2空间向量的坐标表示1.会用坐标法计算空间向量的数量积，会判断空间向量的垂直，

会求空间两向量的夹角.2.理解空间两点间距离公式的推导方法.3.掌握空间两点间的距离公式及简单应用.学习目标对于平面内两个非零向量a＝(x1，y1)和b＝(x2，y2)，有a·b＝x1x2＋y1y2.那么，对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢？导语随堂演练课时对点练一、空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示二、空间两点间的距离公式及线段的中点坐标三、利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题内容索引一、空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示问题1

设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立吗？该计算公式如何推导？提示

a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立，证明推导过程如下：设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝(x1，y1，z1)＝x1i＋y1j＋z1k，b＝(x2，y2，z2)＝x2i＋y2j＋z2k.a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)＝x1x2i2＋y1y2j2＋z1z2k2＋x1y2i·j＋x1z2i·k＋y1x2j·i＋y1z2j·k＋z1x2k·i＋z1y2k·j＝x1x2＋y1y2＋z1z2.名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a·b|a||b|cos〈a，b〉_______________a⊥ba·b＝0__________________模____________夹角余弦知识梳理设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则x1x2＋y1y2＋z1z2x1x2＋y1y2＋z1z2＝0注意点：(1)数量积的结果为数量.(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.例1

(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝_____.－4解析

易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.①求证：EF⊥B1C；证明如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，反思感悟

关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标.跟踪训练1

已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c.(1)求x，y，z的值；解

∵a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，(2)求向量(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值.解由(1)知a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)，∴a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1).∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，二、空间两点间的距离公式及线段的中点坐标问题2

你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？提示

如图，建立空间直角坐标系O－xyz，问题3

如何用向量的方法推导出线段AB的中点坐标公式？在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(1)AB＝

＝_____________________________.(2)线段AB的中点M的坐标为_______________________.知识梳理注意点：(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆.(2)空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广.动点P(x，y，z)到定点P0(x0，y0，z0)的距离等于定长r(r>0)的轨迹方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2，此方程表示以点P0为球心，以r为半径的球面.例2如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O－xyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上.当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求PQ的最小值.设点Q(0,1，z)(0≤z≤1)，则反思感悟利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤跟踪训练2已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)线段MN的长度；解根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件.解因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等.所以有下面等式成立：化简得x＋y－2z＋3＝0，因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.三、利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，延伸探究1.若本例中的“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？4c2－4c＋1＝0，所以点Q是线段BD的中点，2.本例中若G是A1D的中点，点H在平面AC上，且GH∥BD1，试判断点H的位置.反思感悟(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.跟踪训练3已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为_____________.因为BH⊥OA，即－x＋y－1＝0，

①又点H在直线OA上，1.知识清单：(1)空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示.(2)空间两点间的距离公式及线段的中点坐标公式.(3)利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题.2.方法归纳：坐标法.3.常见误区：(1)把两直线的夹角混淆为两个向量的夹角，导致出错.(2)混淆空间向量平行与垂直的条件.课堂小结随堂演练1.若向量a＝(4,2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a－3b)·(a＋2b)等于A.－212B.－106C.106D.2121234√解析

(2a－3b)·(a＋2b)＝(－10,13，－14)·(16，－4,0)＝－10×16＋13×(－4)＝－212.1234√12343.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是√解析依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，1234课时对点练基础巩固1234567891011121314151.设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离CM的值为16√2.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝

，且λ>0，则λ等于A.5B.4C.3D.212345678910111213141516解析

λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，√且λ>0，解得λ＝3.12345678910111213141516A.30° B.60°C.120° D.150°解析

a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，√所以〈a，c〉＝120°.123456789101112131415164.已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是A.等腰三角形

B.等边三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形√12345678910111213141516∴BC⊥AC，所以△ABC是直角三角形.123456789101112131415165.从点P(1,2,3)出发，沿着向量v＝(－4，－1,8)方向取点Q，使PQ＝18，则Q点的坐标为A.(－1，－2,3) B.(9,4，－13)C.(－7,0,19) D.(1，－2，－3)√12345678910111213141516即(x0－1，y0－2，z0－3)＝λ(－4，－1,8).所以λ＝2，所以(x0－1，y0－2，z0－3)＝2(－4，－1,8)，123456789101112131415166.(多选)已知向量a＝(1,1，－1)，b＝(2，－1,0)，c＝(0,1，－2)，则下列结论正确的是A.a·(b＋c)＝4B.(a－b)·(b－c)＝－8C.记a与b－c的夹角为θ，则cosθ＝D.若(a＋λb)⊥c，则λ＝3√√√12345678910111213141516解析由题意得a·(b＋c)＝(1,1，－1)·(2,0，－2)＝2＋0＋2＝4，(a－b)·(b－c)＝(－1,2，－1)·(2，－2,2)＝－2－4－2＝－8.因为(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，即(1＋2λ，1－λ，－1)·(0,1，－2)＝0，得1－λ＋2＝0，解得λ＝3.综上可知，选项ABD正确.123456789101112131415167.已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝_____.－1解析

∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.123456789101112131415168.已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是_____.90°解析

∵a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，∴a＋b＝(sinα＋cosα，2，sinα＋cosα)，a－b＝(cosα－sinα，0，sinα－cosα)，∴(a＋b)·(a－b)＝cos2α－sin2α＋sin2α－cos2α＝0，∴(a＋b)⊥(a－b).∴向量a＋b与a－b的夹角是90°.123456789101112131415169.已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c；12345678910111213141516解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1).又由b⊥c得b·c＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2,2).12345678910111213141516(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值.解由(1)得，a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，因此向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为12345678910111213141516(1)求点A，B，C，P的坐标；解取AC的中点O，连接OB，OP.所以AC＝4，OB＝2.因为PA＝PB＝PC，所以点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即点O.故PO⊥平面ABC.以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求AB，PC的中点之间的距离.解由(1)得AB的中点坐标为(1，－1,0)，综合运用1234567891011121314151611.在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)的坐标满足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，则点P的轨迹是A.圆

B.直线

C.球面 D.线段√解析

(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1表示(x，y，z)到点(2，－1,3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面，故选C.12345678910111213141516√1234