2020-2024年高考数学试题分类汇编：复数与平面向量（解析版）

与题三复救鸟平面向受

五年考情•探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

考点01复数的概念2024年新课标回卷：复数模的计算

2020年新高考全国kII卷、2021年新高考1

卷、2022年新高考全国l>II卷、2023年新以考查复数的运算为主，间或涉

考点02复数的运算高考1卷、2024年新课标1卷：复数的乘法、及复数的概念、复数的几何意义、

除法，其中，2021-2023三个年份的1卷，复数模的计算，除共粗复数的概

涉及共轨复数的运算.念，对于复数相等也应予重视.

考点03复数的运算

2021、2023年新高考II卷：复数的乘法、除

与复数的几何意义

法及其对应点所在象限

考点04向量的线性关于平面向量相关知识点的考查

2020年新IWJ考II卷、2022年新IWJ考1卷：以

运算运算比较广泛，主要有：

三角形为载体，向量的线性运算.

1.平面向量的概念；

考点05向量的数量2020年新高考回卷：以正六边形为载体，求2.以几何图形为载体，考查向量

积及其范围两向量数量积的范围.的线性运算；

2021年新高考1,II卷、2023年新高考II卷、3.考查向量数量积及其应用，与

考点06向量的数量2024年新高考II卷：三类，一是已知向量求向量的模、夹角相结合，考查数

积与向量的模数量积、模；二是，已知模的关系，求数量量积的运算；

积；三是已知模的关系求模.4.考查向量的平行、垂直，一是

考点07向量的垂直2023、2024年新高考1卷：已知向量的垂直判断，二是求参数；

与向量的数量积关系，求参数.5.关注数量积、模、角的函数值

及参(系)数的最值、范围问题

考点08向量的夹角2022年新高考II卷：已知向量的夹角相等，6,注意向量的“工具性”作用的

与向量的数量积求参数.发挥，在三角函数、解三角形及

解析几何问题中的应用一

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分考点•精准练

考点01复数的概念

1.(2024年新课标全国回卷数学真题)已知z=-1-i,则忖=()

A.0B.1C.0D.2

【答案】C

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【详解】若Z=T-i,则|Z|=J(T)2+(-1)2=0.

故选：C.

考点02复数的运算

2.(2020年新高考全国卷回数学试题)不三=()

A.1B.-1

C.iD.

【答案】D

【分析】根据复数除法法则进行计算.

2-i_(2-0(l-2f)-5/

【详解】1+2/-(1+20(1-20

故选：D

3.(2020年新高考全国卷回数学试题)(l+2i)(2+i)=()

A.4+5iB.5iC.—5iD.2+3i

【答案】B

【分析】直接计算出答案即可.

【详解】(l+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=5i

故选：B

4.(2021年全国新高考I卷数学试题)己知z=2-i,则z(彳+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【分析】利用复数的乘法和共辗复数的定义可求得结果.

【详解】因为z=2-i,故W=2+i，故zC+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2/=6+2i

故选：C.

5.(2022年新高考全国口卷数学真题)(2+2i)(l-2i)=()

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A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【分析】利用复数的乘法可求(2+2i)(l-2i).

［详解］(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故选：D.

6.(2022年新高考全国I卷数学真题)若迫-2)=1,贝”+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z+彳.

【详解】由题设有l-z=；=］=-i,故z=l+i,故z+三=(l+i)+(l-i)=2,

故选：D

7.(2023年新课标全国回卷数学真题)已知z==^,则z-1=()

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共辗复数的概念得到三，从而解出.

1-i(l-i)(l-i)-2i1.-1_

【详解】因为z=一$i，所以2=小，即z-z

2+2i-2(l+i)(l-i)

故选：A.

8.(2024年新课标全国回卷数学真题)若；7=l+i,则2=()

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】C

【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.

_1111

【详解】因为一77=^7--=1+—=l+i,所以z=l+」=l-i.

z-1z-1z-l1

故选：C.

考点03复数的运算与复数的几何意义

2-i

9.(2021年全国新高考II卷数学试题)复数二二在复平面内对应的点所在的象限为()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法可化简―2-i，从而可求对应的点的位置.

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211+31

【详解】2zi=（~）（）=5+5i=l1i）所以该复数对应的点为

l-3i10102122）

该点在第一象限，

故选：A.

10.（2023年新课标全国回卷数学真题）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为（l+3i）（3—i）=3+8i—3i?=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

故选：A.

考点04向量的线性运算运算

11.（2020年新高考全国卷回数学试题）在ABC中，。是AB边上的中点，则CB=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2（CD-CA）=2CD-CA

故选:C

12.（2022年新高考全国I卷数学真题）在.ABC中，点。在边AB上，BD=2DA.记CA=利。=〃，贝UCB=

（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2〃D.2m+3n

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边A8上，BD=2DA,所以5D=2D4，即CD-CB=2（CA-C£））,

所以CB=3CD-2C4=3n-2m=-2m+3n.

故选：B.

考点05向量的数量积及其范围

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13.(2020年新高考全国卷回数学试题)已知P是边长为2的正六边形ABCDE尸内的一点，则APAB的取值

范围是()

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(-2,4)D.«6)

【答案】A

【分析】首先根据题中所给的条件,结合正六边形的特征，得到A户在AB方向上的投影的取值范围是(-1,3),

利用向量数量积的定义式，求得结果.

可以得到A尸在AB方向上的投影的取值范围是(-1,3),

结合向量数量积的定义式，

可知AP-AB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积,

所以AP-48的取值范围是(-2,6),

故选：A.

考点06向量的数量积与向量的模

14.(多选)(2021年全国新高考I卷数学试题)已知。为坐标原点，点《(cosa,sina),7^(cos^-sin^),

4(cos(a+〃),sin(a+4))，A(l,0),则()

A.|。耳=|网B.|叫=|叫

c.D

OAOP3=OI]OP1.OAOR=OP1g

【答案】AC

uumuuu

【分析】A、B写出。《，OP；.Ag的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐

标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：。片=(cosa,sina),OP2=(cos/?,-sin/3),所以|斯|二Jcos?0+sin2a=1,

22

\OP2\=7(cos^)+(-sin/?)=1,故104Ho£|,正确；

B：AF[=(coscr-l,sincr),AF^=(cos/7—1,—sin/7),所以

22222

|APX|=^/(cos6Z-l)+sina=Vcos(7-2cos6z+l+sina=^2(1-cosa)=J4sin—=21sin—|,同理

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22

IAP21=7(cos^-l)+sin^=21sin^I,故|纳AT"不一定相等，错误；

C：由题意得：OhOR=1xcos(cr++0xsin(cr+^)=cos(<2+p),

OROg=cosa-cos/?+sincr•(—sin=cos(<z+P),正确；

D：由题意得：。40耳=lxcosa+Oxsina=cosa,OR=cosPxcos(cr+sin/3)xsin(cr+/7)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般来说CM。勺HOR•。巴故错误；

故选：AC

15.(2024年新课标全国国卷数学真题)已知向量满足口=1,卜+2目=2,且仅-2a)，6,则恸=()

A.；B.—C.—D.1

222

【答案】B

【分析】由仅-2a)~L6得)=2a-b'结合忖=L卜+20=2,得i+4a-b+46=l+6b=4，由此即可得解.

【详解】因为(b-2a)，6,所以(6-2a>b=。，即62=2“力，

又因为忖=1,卜+20=2,

所以1+4〃电+4。=l+6b=4，

从而愀=专.

故选：B.

16.(2021年全国新高考II卷数学试题)已知向量a+b+c=0,M=1,忖=卜|=2，a-b+b-c+c-a=.

Q

【答案】-5

【分析】由已知可得(。+。+。y=0,展开化简后可得结果.

【详角军】由已知可得(a+b+c)=J+//+J+2(〃/+b.c+c.Q)=9+2(Q.Z?+0.C+C.Q)=0,

9

因止匕，a-b+b-c+c-a=——.

2

故答案为：-(9

17.(2023年新课标全国回卷数学真题)已知向量a,6满足卜-可=石，卜+可=|2。-可，则卜卜.

【答案】6

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令二=5-力，结合数量积的运算律

运算求解.

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【详解】法一：因为,+.=|2"一6卜即(〃+可2=(2。-6『，

则a~+2a-6+b~-4a-4a-b+b,整理得加-2a-b=Q'

又因为卜-“括，即("d=3,

则》一2荽+抹=片=3,所以W=6.

11.rirrrrrrrr

法二：设。=〃—人，贝ljH+b=C+2Z?,2Q-b=2c+Z?,

由题意可得：(c+26)=(2c+b),贝1，+4力+4%2=41+4；/+；

整理得：即M=0=g.

故答案为：币.

考点07向量的垂直与向量的数量积

18.(2023年新课标全国回卷数学真题)已知向量a=(l,l),〃=(l,T)，若(a+码，+〃°)，贝U()

A.A+//=1B.4+4=-1

C.〃/=1D.