2024-2025学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念（教师用书）教案 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念（教师用书）教案新人教A版选修2-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析根据2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题和1.1.2导数的概念（教师用书）教案新人教A版选修2-2，本节课的主要教学内容包括：

1.变化率问题：让学生了解变化率的概念，掌握变化率的计算方法，并能够运用变化率解决实际问题。

2.导数的概念：让学生理解导数的定义，掌握导数的计算规则，并能够利用导数研究函数的单调性、极值等问题。

教学内容与学生已有知识的联系：

1.变化率问题：学生需要具备一定的函数知识，了解函数的图像和性质，以便能够理解和运用变化率的概念。

2.导数的概念：学生需要掌握基本的极限知识，了解函数的导数与函数的极值、单调性等概念，以便能够理解和运用导数的定义和计算规则。核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学建模和直观想象。

1.逻辑推理：通过学习变化率问题和导数的概念，学生能够运用逻辑推理能力理解和掌握导数的计算规则，并能够运用导数解决函数的单调性、极值等问题。

2.数学建模：学生能够运用所学的导数知识，建立数学模型解决实际问题，如优化问题、物理问题等。

3.直观想象：学生能够通过观察函数图像和实际例子，直观地理解和想象导数的概念和作用，培养直观想象能力。重点难点及解决办法重点：

1.变化率问题的理解和计算。

2.导数的概念和计算规则的掌握。

难点：

1.变化率问题的实际应用。

2.导数的计算规则的灵活运用。

解决办法：

1.对于变化率问题的理解和计算，可以通过具体的例子和实际应用来进行讲解和练习，让学生能够将理论知识与实际问题相结合。

2.对于导数的概念和计算规则的掌握，可以通过讲解和练习不同的函数类型和导数规则，让学生能够熟练运用导数解决函数问题。

突破策略：

1.对于变化率问题的实际应用，可以设计一些实际问题情境，让学生运用所学的变化率知识进行解决，培养学生的实际问题解决能力。

2.对于导数的计算规则的灵活运用，可以设计一些综合性练习题，让学生运用不同的导数规则和函数类型进行计算和分析，提高学生的灵活运用能力。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过教师的讲解，系统地介绍变化率问题和导数的概念，让学生掌握基本理论知识。

2.讨论法：组织学生进行小组讨论，分享对变化率问题和导数的理解和应用，促进学生之间的交流与合作。

3.实践法：让学生通过解决实际问题，运用所学的变化率知识和导数规则，培养学生的实际问题解决能力。

教学手段：

1.多媒体设备：利用多媒体课件和教学视频，直观地展示函数图像和实际例子，帮助学生更好地理解和想象导数的概念和作用。

2.教学软件：运用教学软件进行模拟和计算，让学生亲身体验导数的计算过程，提高学生的操作能力和理解能力。

3.网络资源：利用网络资源提供更多的实际问题和案例，让学生进行自主学习和探究，丰富教学内容和形式，提高学生的学习兴趣和主动性。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台发布导数的概念和变化率问题的预习资料，明确理解导数的基本概念和变化率的计算方法。

-设计预习问题：提出问题，如“导数在实际生活中有哪些应用？”、“如何计算一个函数在某点的导数？”

-监控预习进度：通过在线平台收集学生的预习笔记和问题，了解学生的预习情况。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生阅读导数的概念和变化率问题的相关资料，理解导数的基本概念和变化率的计算方法。

-思考预习问题：学生针对提出的问题进行独立思考，尝试解答并在笔记本上记录疑问。

-提交预习成果：学生将预习笔记和问题提交至在线平台，与老师和同学分享。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：学生通过自主阅读和思考，培养自主学习的能力。

-信息技术手段：在线平台和微信群的使用，促进了资源的共享和预习进度的监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解本节课的主要内容，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过一个实际问题案例，引出导数的概念，激发学生对导数的兴趣。

-讲解知识点：详细讲解导数的基本概念和变化率的计算方法，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨导数在实际问题中的应用。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，分享自己的理解和应用。

-提问与讨论：学生针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解导数的基本概念和变化率的计算方法。

-小组讨论法：通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

-多媒体资源：利用多媒体展示实际问题案例，帮助学生更好地理解导数的应用。

作用与目的：

-帮助学生深入理解导数的基本概念和变化率的计算方法。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据本节课的内容，布置相关的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与导数相关的拓展资源，供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：学生认真完成课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：学生利用提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：学生对自己的学习过程和作业进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的导数知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理本节课的主要教学内容是导数的概念及其应用，具体包括以下几个知识点：

1.变化率问题：让学生了解变化率的概念，掌握变化率的计算方法，并能够运用变化率解决实际问题。

2.导数的概念：让学生理解导数的定义，掌握导数的计算规则，并能够利用导数研究函数的单调性、极值等问题。

3.导数的计算规则：让学生掌握基本的导数计算规则，包括幂函数、指数函数、对数函数的导数计算，以及四则运算法则、复合函数的链式法则等。

4.导数的应用：让学生学会利用导数解决实际问题，如优化问题、物理问题等，并能够分析函数的单调性和极值问题。

5.导数的图像：让学生了解导数与函数图像的关系，能够通过导数图像判断函数的单调性和极值问题。

6.高阶导数：让学生掌握高阶导数的概念和计算方法，能够求解函数的二阶导数、三阶导数等。

7.导数与极限的关系：让学生理解导数与极限的关系，能够运用极限的思想理解和计算导数。

8.导数在实际应用中的作用：让学生了解导数在各个领域的应用，如经济学、生物学、工程学等，培养学生的实际问题解决能力。内容逻辑关系本节课的内容逻辑关系主要体现在以下几个方面：

①变化率问题与导数的概念：

-变化率问题：引导学生理解变化率的概念，通过实际例子让学生感受变化率在解决实际问题中的重要性。

-导数的概念：引入导数的定义，让学生了解导数是变化率的一种表达方式，从而引出导数的基本计算规则。

②导数的计算规则与导数的应用：

-导数的计算规则：讲解幂函数、指数函数、对数函数的导数计算，以及四则运算法则、复合函数的链式法则等基本规则。

-导数的应用：通过实际问题，让学生学会利用导数解决函数的单调性、极值等问题，培养学生的实际问题解决能力。

③导数的图像与高阶导数：

-导数的图像：引导学生观察导数图像，理解导数与函数图像的关系，从而判断函数的单调性和极值问题。

-高阶导数：讲解高阶导数的概念和计算方法，求解函数的二阶导数、三阶导数等，进一步深化学生对导数概念的理解。

④导数与极限的关系：

-导数与极限的关系：让学生理解导数与极限的关系，通过极限的思想理解和计算导数，进一步拓宽学生的思维。

板书设计：

①变化率问题

-变化率的概念

-变化率的计算方法

②导数的概念

-导数的定义

-导数的基本计算规则

③导数的应用

-函数的单调性

-函数的极值问题

④导数的图像

-导数图像与函数图像的关系

-判断函数的单调性和极值问题

⑤高阶导数

-高阶导数的概念

-高阶导数的计算方法

⑥导数与极限的关系

-导数与极限的关系

-利用极限的思想理解和计算导数课后作业1.请计算下列函数的导数：

a)y=x^2

b)y=2x

c)y=3x^3+4x^2-5x+6

d)y=sin(x)

e)y=cos(x)

2.请利用导数解决下列实际问题：

a)一个物体从静止开始沿直线运动，其速度v(t)=t^2-3t+2，求物体在前3秒内的位移。

b)某公司生产一种产品的成本函数为C(x)=2x^2+5x+10，求该产品的盈亏平衡点。

c)一个函数y=f(x)在x=2处取得极小值，求f(x)在x=2处的导数值。

d)一个函数y=g(x)在x=3处取得极大值，求g(x)在x=3处的导数值。

e)一个物体沿抛物线y=-x^2+6x从点A(2,4)下滑，求物体到达最低点的时间。

3.请利用导数的图像分析下列函数的单调性和极值问题：

a)y=x^2

b)y=x^3-3x

c)y=x^4+2x^3-x^2-4x+3

d)y=sin(x)

e)y=cos(x)

4.请计算下列函数的二阶导数：

a)y=x^2

b)y=2x

c)y=3x^3+4x^2-5x+6

d)y=sin(x)

e)y=cos(x)

5.请利用导数与极限的关系，求解下列极限问题：

a)求极限lim(x->0)(1-x/2)^(1/x)

b)求极限lim(x->0)sin(x)/x

c)求极限lim(x->∞)(1+1/x)^x

d)求极限lim(x->∞)(x^2-1)/(x^2+1)

e)求极限lim(x->∞)x^(1/x)

答案：

1.a)y'=2x

b)y'=2

c)y'=9x^2+8x-5

d)y'=cos(x)

e)y'=-sin(x)

2.a)位移=14

b)盈亏平衡点：x=-1.5

c)f'(2)=-12，因为f(2)是极小值点，所以f'(2)<0

d)g'(3)=27，因为g(3)是极大值点，所以g'(3)>0

e)物体到达最低点的时间为t=3

3.a)函数y=x^2在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增，在x=0处取得极小值。

b)函数y=x^3-3x在区间(-∞,-1)上单调递减，在区间(-1,+∞)上单调递增，在x=-1处取得极小值。

c)函数y=x^4+2x^3-x^2-4x+3在区间(-∞,-1)上单调递减，在区间(-1,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，在x=-1和x=1处分别取得极小值和极大值。

d)函数y=sin(x)在区间(-∞,+∞)上周期性变化，无单调性和极值问题。

e)函数y=cos(x)