2025年高考数学一轮复习：平面向量的概念及线性运算 专项训练

2025年高考数学一轮复习-7.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练

一、基本技能练

1.已知向量。=（仍，1）,b=（l,5），则向一"QWR）的最小值为（）

A.2B.坐

C.lD.小

17g

2.已知协，应：，I麴1=：,I/1=/,若点P是△ABC所在平面内的一点，且存=——

的

+鬻，则丽•寿的最大值等于（）

A.13B.15

C.19D.21

3.设。为两个非零向量a,8的夹角，已知对任意实数/,他一切的最小值为1,则

（）

A.若。确定，则⑷唯一确定

B.若。确定，则向唯一确定

C.若⑷确定，则。唯一确定

D.若步|确定，则。唯一确定

4.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新

春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛

的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的

正六边形的剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为4,圆。的圆心为

正六边形的中心，半径为2,若点P在正六边形的边上运动，为圆。的直径，

则的.丽的取值范围是（）

图一图二

A.[6,12]B.[6,16]

C.[8,12]D.[8,16]

5.在△ABC中，3C=2,4=45。，3为锐角，点。是△ABC外接圆的圆心，则为.庆:

的取值范围是（）

A.（—2,2钩B.（—2卷2]

C.[—2/，2g]D.（—2,2）

6.在△ABC中，点。满足量）=抽，且则当角A最大时，cosA的值

为（）

A.-|B.|

揖^H

D-34

7.已知△ABC为等边三角形,AB=2,AABC所在平面内的点尸满足瓜＞一油一病

1=1,则区＞|的最小值为（）

A.小一1B.2巾—1

C.2V3-1D.由一1

8.已知四边形ABCD是边长为2的正方形,P为平面ABCD内一点，则（戌+丽）•（近

十国））的最小值为（）

A.-4B.4

C.无最小值D.0

…2兀

9.在菱形A3CD中，ZBAD=y,A5=2,点M,N分别为BC,CD边上的点，

—A—►

且满足幽^侬，则加•前的最小值为.

\BC\\CD\

10.已知平面向量a,b是单位向量.若ab=0,且|c—a|+|c—2。|=小，则|c+2al

的取值范围是.

11.若a,方是两个非零向量，且⑷=|例=加+臼，丸©半，1,则a与a+b的夹

角的取值范围是.

3

12.在△ABC中，点。满足3。=产。，当E点在线段AD上移动时，若翁=7屈+

〃公，贝U/=«—1）2+〃2的最小值是.

二、创新拓展练

13.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如图是

某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆4前轮）、圆。（后轮）的半径均为小,

△ABE,△3EC,均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则

在骑动该自行车的过程中，戢＞访的最大值为（）

A.18B.24

C.36D.48

14.已知等边△ABC的面积为9#,且AABC的内心为若平面内的点N满足也W|

=b则隔•范的最小值为.

15.在边长为1的等边三角形A3C中，。为线段3c上的动点，DE±ABAB

于点E,且交AC于点R,则|2魂+方＞|的值为；（屋+两.应的

最小值为.

16.已知平面单位向量ei,e2满足|2ei—e2|W/.设a=ei+e2,b=3ei+ei,向量a,

b的夹角为e,则cos20的最小值是.

参考答案与解析

一'基本技能练

1.答案C

解析由题意可得加一/>=4(小，1)—(1,小)=(67—1,4一5),

所以，ba—肝=(54—1)2+(丸一小)2=4/—4小4+4=4卜一争+1,

故当见=坐时，|丸a—臼取得最小值1.

2.答案A

解析建立如图所示的平面直角坐标系，则3,,0),C(0,/),AB=(j,0),AC

=(0,t),

存=&+还一|10)+y(0,0=(1,4),/.P(l,4),

m\AC\

PBPC=(j~l,-4^(-1,r-4)=17-|j+4?|^17-2^J1-4Z=13,

当且仅当时等号成立，

.,.而・无的最大值等于13.

3.答案B

解析由由一划的最小值为1知(万一fa/的最小值为1,

令人/)=3一以产，

即fi.t)=b2—2ta-b-\~?a2,

rim,,,,,,4a2Z>2—(2a-Z>)24a2Z>2—(2|a||/>|cos0)

则对于任意实数/，五。的最B小值为-----诟------=--------肾-----

化简得62(1—COS20)=1,

观察此式可知，当。确定时，回唯一确定，选B.

4.答案C

解析PM-PN=(Pb+dM)iPb-\-^)=PO2-OM2=\Pb\1-4,

因为|户“©[2/，4],

所以的•丽的取值范围是[8,12].

5.答案A

解析依题意得，△ABC的外接圆半径"£羽=隹同尸隹

__J

工b

如图所示，因3为锐角，故A只能在弧AC上(端点除外)，

当A在A2位置时，血2与求同向，此时。不比有最大值人”，

当A在4位置时，dAiBC=-2,此时为最小值，

故而.病©(—2,26].故选A.

6.答案C

解析由题意，作出示意图如图所示，因为所以诙=画+量)=南+

^B.^CB=CA+AB,CDLCB,

|-|CA|cosA=0,

|西2+；|丽2

所以cosA=

||A5|-|CA|

=^A5ABAC^5AB^=r当且仅当A3=2AC时取等号，故选C.

7.答案C

解析^^IAB+ACI2=AB2+AC2+2ABAC=\AB\2+|AC|2+2|A5|•|AC|cos1=12,

所以|成+南|=2小，

由平面向量模的三角不等式可得

|AP|=|(AP-AB-AC)+(AB+AC)|邦|成一屈一病|一|成+危||=一1.

8.答案A

解析如图所示，建立平面直角坐标系xAy,

-y

D---iC

*P

-ABx

则A(0,0),B(2,0),C(2,2),£)(0,2),

设P(x,y),

则戌=(—x,-y),PB=(2~x,-y),PC=(2~x,2-y),PD=(~x,2~y),

所以(成+访).(无+防)

=(2—2x,—2y)・(2—2x,4—2y)

=4(%—1)2+4。一1)2—4,

因此，当x=y=l时，(中+而)•(近+国))取得最小值为一4.

综上，故选A.

3

9.答案2

解析设幽^二函:/,0W/W1,

\BC\\cb\

AM=AB+BM=AB+tBC=AB+tM),

AN=AB+BC+CN=AB^BC+tCD=AB+Ab-tAB=(\-t)AB^Ab,

所以痴•俞=(AB+zAD)[(l-?)AB+AD]

=(l-r)AB2+zAD2+(l+r-?)ABAb

2

=4(1—f)+4/+(l+T)X2X2X(—g=2p—2/+2=2)一0+|,

13

因为OW/Wl,所以当［=］时，2於-21+2取得最小值5，

即随前的最小值为宗

10.答案］第，3

解析由题意，设a=(l,0),Z>=(0,1),c=(x,y),

因为匕一回十匕一2。|=小，

即N(X-1)2+12+、》2+(。-2)2=小,

所以由几何意义可得，点尸(x,y)到点A(l,0)和点3(0,2)的距离之和为小.

又履3|=小，所以点P在线段A3上，且直线A3的方程为2尤+y—2=0.

因为|c+2a|=N(x+2)2+y2表示点p到点“(—2,0)的距离，

又点M到直线AB的距离为

|2X(-2)~2|_6^5

，1+45，

此时，点M到直线A3垂线的垂足在线段A3上，|肱4|=3,也的=2/，

所以|c+2al的取值范围为］印，3.

n.答案隹f］

解析根据题意，设1。+"=/,

则同=1臼=/，

设a与a+b的夹角为0,

由|a+b|=/,

得/+2a协+方2=»,

又|a|=|加，

所以滔+“仍=奈所以

_〃•（a+力）_a2+a协_2___1_

COS6=\a\\a+b\=XtXt=I?=2l-

又7G,1

则gwcos

jrn

又owewm所以。金币3J.

,9

12.答案■JQ

设施=应），OWE,

AE=^AB+^AC,

又AE=Z4B+“,

S“2k

七一a+1,OWE,

oZ

29

.,•当左=5时，/取到最小值，最小值为正.

二,创新拓展练

13.答案C

解析骑行过程中，A,B,C,D,E相对不动，只有P点绕。点作圆周运动.

如图，以AD为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系,

(OKD

由题意得A(—4,0),5(—2,2^3),C(2,2小),

圆。方程为(x—4)2+y2=3,

设尸(4+小cos%小sina),

则公=(6,25)，BP=(6+V3cosa,M§sina—2M5),

ACBP=6(6+^/3cos«)+2^/3(^/3sina—2y[3)=6y/3cosa+6sina+24

=12^sina+坐cos，+24

=12sin(a+§+24,

易知当sin(a+1]=l时，就•加取得最大值36.

14.答案—5—2y/3

解析设等边AABC的边长为〃，

则面积5=坐/=舶

y

c

AO

解得a=6,

以A3所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

因为〃为AABC的内心，

所以点”在。C上，且0M=*)C,

则A(—3,0),8(3,0),C(0,34)，M(0,小)，

由|跖V|=l,得点N在以〃为圆心，1为半径的圆上.

设N(x,y),则•？+(>—小>=1,

即f+V—2小y+2=0,

且4—lWyWl+小，

NA=(-3~x,-y),NB=(3~x,-y),

NA-NB=(x+3)(x-3)+y2=x2+y2-9=2y/3y-11^2y/3X(y/3-l)-ll=-5-

2G

15.答案19

解析设BE=x,%e|0,[I

二•△ABC为边长为1的等边三角形，DELAB,

：./BDE=30。,BD=2x,DE=\[3x,DC=l~2x.

•：DF//AB,.•.△DRC是边长为1—2x的等边三角形，DE±DF,

：.(2BE+附2=4或2+4BEDF+DF2=4x2+4x(l-2x)Xcos0°+(l-2x)2=l,

：.\2BE+DF\=1.

'：(nE+DF)-DA

=(DE+I^)iDE+EA)

222

=DE+JDE^+DFDE+JDFJEA=(V3X)+0+0+(1-2X)-(1-X)=5X-3X+1=

5(k需+养

3———11

所以当x=记时，(施+丽•殖取最小值为而.

16.已知平面单位向量ei,e2满足|2ei—e2|W色.设a=ei+e2,8=3ei+e2,向量a,

b的夹角为e,则cos20的最小值是.

处案—

口木29

解析法一设ei=(l,0),ei=(x,y),

则a=(x+l,y),〃=(x+3,y),

2ei—62=(2—x,—y),

故|2ei—e2|=yj(2-%)2+y2<-\/2,

得(%—2)2+y2W2.

又有x2+y2=1,则(x—Zy+l—fWZ,

化简，得4无23,即x衿3，因此g3xWL

2(ab?r(x+1)g,3)+产：

cos"向的(x+1)2+y2yl(x+3)2+y2)

_'4x+4V4(x+1)2

~2x+2/6x+loJ(尤+1)(3x+5)

(3x+5)

4(^+1)3-34_3

3x+5=3x+5=3-3x+5,

3

当%=1时，COS2。有最小值，

Hl)28

为3-7Q-

3X/5

法二单位向量ei,。2满足|2ei—e2|W表，

所以|2ei—。2|2=5—4eieW2,

3

即ei・e2»不

因为a=ei+c2,8=3ei+c2,a,8的夹角为仇

北…90=(a・b)