2025年高考数学复习大题题型归纳：三角函数与三角恒等变换（解析）

专题01三角函数与三角恒等变换

一、三角函数

1.如图，P,Q是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若它们同时从点4(1,0)出发，沿逆时针方向作匀角速

度运动，其角速度分别为?*(单位：弧度/秒)，M为线段PQ的中点，记经过x秒后(其中0WxW6),f(x)=

\OM\

(I)求y=fO)的函数解析式；

(H)将/(x)图象上的各点均向右平移2个单位长度，得到y=g(x)的图象，求函数g=g(x)的单调递减区

间.

【答案】(I)/(x)=cos^x,(0<x<6),(II)[2,8].

【分析】(I)依题意可知/尸。4=gx,ZQOA=AM0Q=从而求得/'(x)—\OM\—cosZ

MOQ的解析式；

(II)依题意可知g(x)=cos(TZ%—(2<x<8),由2htW三一？W2E+7t,求得x的范围，可得函数y=g

(x)在[2,8]上的单调递减区间.

【详解】解：(I)依题意可知NPO/=*,ZQOA=1x.

'：\OP\=\OQ\=\,：.\OM\=\OQ\^cosZMOQ=cosZMOQ,

：.ZMOQ==ir,：.f(x)=QM=cos$:(0<x<6),

即f(x)=cos-x,(0<x<6).

(II)依题意可知g(x)=cos^|(x-2)=cos(2<x<8),

由2人兀4~v—7<2左兀+兀，得24人+2Svg24左+14,

12o

故函数y=g(x)在[2,8]上的单调递减区间为[2,8].

【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，余弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于基

础题.

2.设函数/'(久)=4cos£sin(x-5)+g,x&R.

(I)当xe[0,日时，求函数"久)的值域；

(II)已知函数y=/O)的图象与直线：=1有交点，求相邻两个交点间的最短距离.

【答案】(I)[-VJ.2](II)

【详解】试题分析：(I)先根据两角差正弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数f(x)=

2sin(2x-"再根据基本三角函数性质求其值域；(II)先根据方程解出交点坐标，再根据交点间距离求最

小值

试题解析：(I)解：因为/(x)=4cosx(2sinx-苴cosx)+

=isinXCOSX-2I/3COS*X--73

-3；N”-/S,.

=2sin(2x—

因为0<x<p

所以—三2x—三苧，

所以一手Wsin(2x—“<1,

即一我Wf(x)<2,

其中当x=,时，/(X)取到最大值2；当x=0时，1AX)取到最小值一JJ，

所以函数f(x)的值域为[-。，口.

(II)依题意，得2sin(2x—g)=1,sin(2x冶)=g,

所以2x-m=m+2kir或2x—N=圮+2kn,

3b36

所以x=：+kii或x=^+kn(k6Z),

所以函数y=f(x)的图象与直线j二1的两个相邻交点间的最短距离为争

考点：两角差正弦公式、二倍角公式、配角公式，三角函数性质

3.已知tana=(,且a是第三象限角，

(1)求sina的值；

(2)求sin26+a)+sina•COS(TT-a)的值.

【答案】(1)-g;(2)|.

【解析】(1)由同角三角函数的关系可得2sina=cosa,结合siMa+cos2a=1,a是第三象限角可得sina,

cosa的值；

(2)利用诱导公式将原式化简，代入sina,cosa的值可得答案.

【详解】解：(1)由tana=:，可得121101=m吧=3即2sina=cosa,

2cosa2

'.__A/5

可得｛2sina-cosa,由观是第三象限角，可得|‘ma-一袅，

+cosza=12V5

cosa=------

i5

故sina的值为一个；

(2)sin2+a)+sina-cos(ir—a)=cos20t—sina-cosa,

代入sina=-］，cosa=一等的值，

可得原式=3-1=|.

【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式的应用及诱导公式，注意运算的准确性，属于基础题型.

4.如图，某市准备在道路所的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段E8U该曲线段是函

数y=4sin(3x+K)(4>0,3>0),xe［―4,。］时的图象，且图象的最高点为B(—1,2),赛道的中间部

分为长百千米的直线跑道CA,且CD//EF；赛道的后一部分是以。为圆心的一段圆弧

(1)求3的值和/DOE的大小；

(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路跖上，一个顶点在半

径OD上，另外一个顶点尸在圆弧DE上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时尸点的位置.

【答案】(1)3=2NDOE=T⑵Smax=3&—3；

0qiiictA,

【分析】(1)依题意，得A=2,5=3,根据周期公式T=,可得3,把B的坐标代入结合已知可得<p,从而可求

ZDOE的大小

(2)由(1)可知OD=OP,矩形草坪的面积S关于。的函数，有结合正弦函数的性质可求S取得最

大值

【详解】⑴由条件可得A=2,5=3,)=§.•.3=也.•.曲线段FBC的解析式为y=2sin@x+3，

当x=0时，y=OC=b，又CD=仃，4COD=g,Z_DOE=?

(2)由(1),可知0D=&,又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，

故OP=V6,设NPOE=9,0<0<^,“矩形草坪”的面积为S=V6sin0(V6cos0—V6sin0)=6(sin0cos0—

sin20)=6Qsin20+|cos20~~j~3V2sin(2。+?)—3

・••0<ew：,故当28+：=泄，8屋时，s取得最大值Smax=3a_3,

此时Xp=V6cos^,y=V6sin^

rOrpO

故面积最大值为：Smax=3或一3,P点坐标为(J2d6+28J2a-2⑼

2'2

【点睛】本题主要考查了实际问题中，由丫=Asin(3x+(p)的部分图象确定函数的解析式，常规步骤为：

由函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T,利用周期公式求3,再把函数所给的点(一般

用最值点)的坐标代入求<p，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解，解题关键是要把

实际问题转化为数学问题来求解

5.在中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.

(I)求cosB的值；

(II)求$也卜8+£)的值.

【答案】(I)一:；

(n)_3V5+7

16

【分析】(I)由题意结合正弦定理得到a,b,c的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB的值

(II)利用二倍角公式首先求得sin2B,cos2B的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin(2B+》的值.

【详解】(1)在4人8(：中，由正弦定理上二三得bsinC=csinB,

sinBsmC

又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.

又因为b+c=2a,得到b=ga,c=|a.

2,42167

由余弦定理可得cosB==a7了=—i

2ac2-a--a4

(11)由(1)可得sinB=V1—cos2B=—,

4

从而sin2B=2sinBcosB=--,cos2B=cos2B-sin2B=-1

88

71

故+frsi•n/2QBD+I-吟)=s■ino2Bco£s-+IcosQ2DBs•in-=--V-1-5x-V-3---7x-1=--3-v-^-+-7-.

\6/66828216

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正

弦定理、余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.

6.已知函数/(x)=2cos久-1+2V3sintoxcos6ox(0<to<1),直线久=方是函数兀r)的图象的一条对称轴.

(1)求函数段)的单调递增区间；

(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=/(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移g个单位

长度得到的,若g(2a+/)=,aC(0,]),求sina的值.

【答案】(1)[-y+2kTr^+2kn],keZ；(2)笔小

【解析】(1)首先化简函数f(x)=2sin(2a)x+g,再根据x=5是函数的一条对称轴，代入求3,再求函数

的单调递增区间；(2)先根据函数图象变换得到g(x)=2cos],并代入g(2a+])=汨，得cos(a+=)=|,

再利用角的变换求sina的值.

【详解】(1)f(x)=cos2a)x4-V3sin2a)x=2sinf2a)x+-

K1

++k得kz

--Bt,3X2-n7-1-7-1G--+3-kG

3362z,22

v0<o)<1,，o)=5,

即f(x)=2sin(x+?),令—]+2kn<x+^<^+2kn,

解得：-g+2ki[WxWg+2kmkcZ,

函数的单调递增区间是卜y+2kn(+2kn],keZ；

(2)g(x)=2sin||(x+9)+1|=2cos1x,

g(2a+=)=2cos(a+g=f,得cos(a+",

••.ae(o,5,a+sin(a+£)=Jl—cos2(a+X

sina=sin[(a+j=sin(a+])cos^—cos(a+§sin：

4V3314V3-3

——■x------x——-------

525210

【点睛】方法点睛:本题考查函数的图象变换，以及y=Asin((ox+年)的性质，属于中档题型,y=Asin(x+(p)

的横坐标伸长(或缩短)到原来的工倍，得到函数的解析式是y=Asin(a)x+cp),若y=Asincox向右(或左)

(0

平移(p((P>0)个单位，得到函数的解析式是y=Asin[3(x—叩)]或y=Asin[co(x+3)].

7.已知函数/(x)=2sin(23久+?)+1.

⑴若fOl)</(X)<f3)，kl-x2lmin=泉求f(x)的对称中心;

(2)己知0<3<5,函数f(x)图象向右平移巳个单位，得到函数g(x)的图象，X=(是g(x)的一个零点，若函

数9(%)在[科几](m,7lER且THV几)上恰好有10个零点，求九—TH的最小值；

(3)已知函数九(%)=acos(2x-^)-2a+3(a>0),在第(2)问条件下，若对任意％iG[0,：],存在％2£[。，：]，

使得九(%1)=g(%2)成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)(—^+y,l)(kEZ)或偌-y,l)(k€Z)；

(2号

(3)(。琲

【分析】(1)由Kx。Wf(x)Wf(X2)，|X1—X21min=]可求得函数Kx)的最小正周期，进而确定参数3的值，

再由整体代换即可求得对称中心；(2)由三角函数的平移变换求得g(X)的解析式，再由零点的定义确定参

数3的值，结合图象可得n-m的最小值；(3)将所给条件转化为h(x)和g(x)的值域的包含关系，即可求得

参数a的取值范围.

【详解】(1)•.吓。)=25也(23*+方)+1的最小正周期为丁=落，

又•.•f(xD<f(x)<f(X2),|X1-x2|min=M，f(x)的最小正周期是兀，

故T=篙=71,解得3=±1,

当0)=1时，f(x)=2sin(2x++由2x+?=kir(kGZ)=>x=—77-+—(keZ),f(x)的对称中心为

\6/6122

(Y+印l)(kez)；

当0)=-1时，f(x)=2sinf-2x+-)+1,由-2x+-=kn(kCZ)=>x==一二(keZ),f(x)的对称中心为

\6/6122

七号，1)(立外；

综上所述，f(x)的对称中心为(一点+果1)(kez)或佶—/1)(kez).

(2)•.•函数f(x)图象向右平移2个单位，得到函数g(x)的图象，

g(x)=2sin(23X+合23)+1.

又；x=W是g(x)的一个零点，

g(7)=2sin偿3+J_、3)+1=0,即sin偿3+白=1，

3\3OD/\0O/L

工^①+7=T+2kir或乙①+-=—+2kn,kGZ,

366366

解得=3+6k(kGZ)或=5+6k(keZ),

由0Vo)V5可得o)=3

・・・g(x)=2sin(6x—£)+1,最小正周期T=]

令g(x)=0,贝ijsin(6x_£)=-1

即6x—1=—g+2ki兀或6x—U=—?+2k27t,kez,解得*=等+?或*=萼，k^kzeZ；

若函数g(x)在[m,n](111,11€1^且111<11)上恰好有10个零点，故4TVn—mV6T

要使n-m最小，须m、n恰好为g(x)的零点，故(n-m)min=4X»卓

(3)由(2)知g(x)=2sin(6x-£)+1,对任意x[E[0,；],存在x?E[05],使得h(xl=g(x2)成立，则

{y|y=h(x)}c{y|y=g(x)},

当X2E[。用时,6x—yG,sin(6x—胡E[—l,l],g(x2)6[—1,3],

当XiE[0q]时,2x—'E[—K],cos(2x—^6悖,1],fi(xjG|a+3,—a+3j,

(a>0

由{y|y=h(x)}工{y[y=g(x)}可得卜|a+3>-1,解得aE

1-a+3W3

故实数a的取值范围为(0琲

【点睛】本题第(3)小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下：

一般地，已知函数y=f(x),x£[a,b],y=g(x),x6[c,d]

(1)若VX]€[a,b],VX2E[c,d],总有f(xDVg(X2)成立，故f(x)maxVg(X2)min；

(2)若2X1e[a,b],3X2e[c,d],有f(xj<g(x2)成立，故f(x)max<g(x2)max；

(3)若"e[a,b],3X26[c,d],有f(x。<g(x2)成立，故f(x)min<g(x2)max；

(4)若VxiG[a,b],3X2G[C,d],有f(xj=g(%2)，则f(%)的值域是9(%)值域的子集.

8.已知函数g(%)=sin(%-习，/i(x)=cos%,从条件①/(%)=g(%)•/i(x)>条件②f(%)=g(%)+/i(%)这两

个条件中选择一个作为已知，求：

(1)/(%)的最小正周期；

(2)/(x)在区间可上的最小值.

【答案】(1)选条件①十选条件②2n

(2)选条件①-今选条件反

【分析】选条件①：f(x)=g(x)•/l(x)；

(1)利用两角和与差的正弦公式化简可得f(x)=isin(2x-^)-i

由周期公式可得答案;

(2)根据x的范围求得sin⑵一习的范围可得答案；

选条件②：f(x)=g(x)+h(x).

(1)利用两角和与差的正弦公式化简可得f(x)=sin(x+习，

由周期公式可得答案；

(2)根据x的范围求得sin(x+习的范围可得答案.

【详解】(1)选条件①：f(x)=g(x)•ft(x)；

弓)=停12

(1)f(x)=sin(x—cosxsinx-[cosx)cosx=fsinxcosx—一COS”

2

V3111+cos2x

=——x—sin2x——x-------------

2222

V311

=——sin2x----cos2x——

444

=lsin(2x-7)-?

所以f(x)的最小正周期是Tl.

选条件②:f(x)=g(X)+九(X).

f(x)=sin(x—£)+cosx=(曰sinx—cosx)+cosx

V31

二—sinx+—cosx

=sin(x+{)，

所以f(x)最小正周期是2Tl.

(2)选条件①：f(x)=g(x)-h(x)；

因为0wxw],

所以-浮x-*，

当2x-已,即x=0时，f(x)有最小值一

选条件②：f(x)=g(x)+h(x).

因为

所咤X+若，

所以9sin(x+^<1,

当x+1=2,即x=0时，f(x)有最小值去

9.在AABC中，内角4B,。所对的边分别为a,b,c,且cosB=±-;.

c2c

⑴求c；

(2)若c=2a,求sinB.

【答案】明

【分析】(1)首先利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；

(2)利用正弦定理将边化角即可得到sinA,再根据同角三角函数的基本关系求出cosA,最后根据sinB=

sin(A+C)利用两角和的正弦公式计算可得；

【详解】(1)解：因为COSB=2—?,

即2ccosB=2a—b,由正弦定理可得2sinCcosB=2sinA—sinB,

又sinA=sin[ir—(B+C)]=sin(B+C),

即2sinCcosB=2sin(B+C)—sinB,

所以2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC-sinB,

即2sinBcosC=sinB,因为sinB>0,所以cosC=又C£(0,n),所以C=g

(2)解：因为c=2a,所以sinA=^sinC=工x追=理，

2224

因为c>a,所以cosA=V1—sin2A=—,

4

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=x1+x?=$十客

10.已知函数/(%)=sin3%+9)(co>0,\(p\<x=£是函数/(%)的对称轴，且/(%)在区间&与)上单调.

⑴从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得/(%)的解析式存在，并求出其解析式；

条件①：函数f(%)的图象经过点4(0,乡；

条件②：&0)是f(x)的对称中心；

条件③：管,0)是/(久)的对称中心.

(2)根据(1)中确定的/'(%),求函数y=f(x)(%e[o,,)的值域.

【答案】⑴f(x)=sin(2x+§)

⑵卜则

【分析】⑴根据题意得到。<3<2和?X3+<p=kn+/keZ),

再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；

(2)先求出2x+£所在的范围，再根据图像求出函数值域即可.

【详解】⑴因为f(x)在区间上单调,所以上冷户,

因为T=襦，且3>0,解得0<3W2；又因为X=£是函数f(x)的对称轴，

所以3+cp=kn+y(k£Z)；

若选条件①：因为函数f(x)的图象经过点A(0,»所以simp

因为即IV*所以y二*所以擀X3+.=k7r+],即co=6k+2(kEZ),

当k=0时，3=2,满足题意，故f(x)=sin(2x+]).

o

若选条件②：因为g,o)是f(x)的对称中心，所以^X3+<p=mn(meZ),

-xoi)4-(p=k7i+-

6,2

0<o)<2,此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.

{x0)+(p=mu

若条件③：因为信,0)是f(x)的对称中心，所以登x3+cp=mn(m€Z),

71,,,TV

-xa)+<p=kTt+-_工

0<a)<2,解得隼一:，所以f(x)=sin(2x+".

TT=2

(—5xU)+cp=mu

(2)由(1)知,f(x)=sin(2x+£),

o

所以y=f(x)(xe[0图)等价于f(x)=sin(2x+1，x£[o,^],

所以2x+£C2,倒，所以sin(2x+g)E[—[,1],

即函数丫=£5)[^„)的值域为：卜31].

11.已知向量H=(sin%,：),5=(cos%,-1).

(1)当H//5时，求cos2%—sin2%的值；

(2)设函数/(%)=2(H+石)•石,已知在△ZBC中，内角4、B、C的对边分别为a,b,c,若a=y[3,b=2,sinB=

争求/㈤+4cos(24(xe[O,引)的取值范围.

【答案】(晦

(2)[^-1,72-1]

【分析】(1)Efea//b,可得tanx=-*化简cMx-sin2x可得cos2x-sin2x=^|,再代值计算即可,

(2)由题意利用向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简可得f(x)=«sin(2x+9+|,再利用正

弦定理可求得A=；,从而可得f(x)+4coshA+9=V2sin(2x+^)-|,由xe［。，得2x+：e

［p知，再利用正弦函数的性质可求得其范围

【详解】(1)因为W=(sinx,§,6=(cosx,-1),a//b,

所以吧=一［,所以tanx=3

cosx44"

二匚[、1—2tanx

所以Icos7x—sm.zcx=cos7x—czsm•xcosx=-co-s--xn—--z-sm--xc—osx

sinx+cosxl+tan2x

3

1+2x48

1+25

(2)因为3=(sinx,：),b=(cosx,-1),

所以+b=(sinx+cosx,—[),

所以f(x)=2(a4-b)-b=2[cosx(sinx+cosx)+

=2sinxcosx+2cos2x+—

3

=sin2x+cos2x+—

=«sin(2x+=)+1)

在^ABC中，a=V3,b=2,sinB=—,

所以由正弦定理得」7=上，亮=备，得sinA=^

sinAsmBsinA-y2

因为a<b,所以角A为锐角，所以A=3，

4

所以f(x)+4cos(2A+§

3/nn\

V2sin(2x++—+4cos(2x—+—)

2V46/

=V2sin(2x+；)-1)

因为xE[o,,,所以2x+2e«，，

所以sin等工sin(2x+£)<si吗

1Z\4/L

中斗，.11TI./2K.2TTH,TT

内为sin——=sin—,I-ir-\=sin—cos-+cos—2nsi.n-=-V-6-V-2，

12\34734344

所以yWsinQx+9Wl,

所以等<V2sin(2x+£)WVL

所以~l~‘sin(2x+^-1<V2-1，

所以f(x)+4cos(2A+])(x6[o,,)的取值范围为惇—1,夜—g

1[C2.已—1矢口一<a</7i,t,anaI+--1=---10.

4tana3

⑴求tana的值；

-_p.sina+cosa

(z2)x求的值;

(3)求2sin2a—sinacosa—3cos2a.的值

【答案】⑴-！

(2)-1

11

(3)-y

【分析】⑴根据tana+L=—日可得3tan2a+10tana+3=0,解方程并结合角的范围求得tana；

tana3

(2)利用弦化切，将陋事化为里隼，可得答案；

sma—cosatana—1

(3)利用1=sin2a+cos2a,将-sinacosa-3cos2a化为空金警产”,继而化为^

sinza+cosatanza+l

求得答案.

【详解】(1)由tana+「一=—学得3tan2a+iotana+3=0,

tana3

解得tana=-3或一|,

因为乎VaVn,故一lVtanaVO,则tana=—1；

sina+cosatana+1-1

(2)-------------=----------=-i—=-----;

sina-cosatana—1-----12

3

zxo-7.c72sin2a—sinacosa—3cos2a

(3o)2smza—sinacosa—3cosza=---------,--------------

sina+cosa

_2tan2a-tana-3_2(-3)2+3-2_11

tan2a+l(~)2+i5，

13.已知函数f(%)=2sinx-sin(x+§.

⑴求f(%)的单调递增区间；

(2)若对任意工£上母，都有上(%)—4日，求实数t的取值范围.

【答案】(1)[一2+kn,|^+kii|,kEZ

⑵/

【分析】(1)f(x)的解析式可化简为f(x)=sin(2x—§+弓，令-5+2k7tW2x—mw5+2kir,kez,即可

解得f(x)的单调递增区间

(2)对恒成立的不等式等价转化后，结合2x一方的范围可得-5W2t-从而解得t的范围

【详解】(1)f(x)=2sinx-sin(x+])=2sinx(手sinx+|cosx)

1V3/n\V3

=sinxcosx+V3sinz7x=,sin2x+-^-(l—cos2x)=sin(2x—引+—

令--+2kn<2x--<-+2kir,kEZ

“232

解之得一己+kTr〈xw|^+kii,kEZ

・・・f(x)的单调递增区间为卜盘+kn堵+则,kEZ

(2)对任意x6［培卜都有卜(x)—耳＜日o|sin(2x＜与

；2x/e［2t-盟，

.-.0<t<p

...实数t的范围为

14.已知函数f(%)=sin(2%+1+cos\2x+§-2sinxcosx.

⑴求函数/Q)的最小正周期及对称轴方程;

⑵将函数y=/(%)的图象向左平移工个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍,

得到函数y=g(%)的图象，求y=g(%)在［0,2兀］上的单调递减区间.

【答案】⑴最小正周期为m对称轴方程为x=-2+浮kez

⑵因档，如］

【分析】(1)利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得f(x)=2cos(2x+9,再根据周期的公式与

余弦函数的对称轴公式求解即可;

(2)根据三角函数图形变换的性质可得g(x)=2cos(x+§,再根据余弦函数的单调区间求解即可.

【详解】(1)f(x)=/in2x+Vcos2x+Vcos2x[sin2x-sin2x,

,1

f(x)=V3cos2x-sin2x=2--cos2x--sin2x

22

=2(cos2xcos--sin2xsin-)=2cos(2x+J

\667

所以函数f(x)的最小正周期为71,

令2x+合kmkGZ,得函数f(x)的对称轴方程为x=—日，kez.

(2)将函数y=f(x)的图象向左平移右个单位后所得图象的解析式为y=2cos(2(x+自=2cos(2x+

5，

所以g(x)=2cos(2xgx+§=2cos(x+f,

令2kn<x++2ku,

所以——+2kll&x4—+2ku,kGZ.又xG[0,2ir],

所以y=g(x)在上的单调递减区间为[。,篇,[y,27r].

15.已知函数f(%)=b-(a+"?)，其中向量五=(sin%,—3cosx),b=(sin%,—cos%)，~c=(—cosx,sin%),xER-

(1)求f(%)的解析式及对称中心和单调减区间；

(2)不等式I/O)-加<3在xe层]上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(l)f(x)=2+岳in3+弓)，对称中心为偿一卷2),keZ,单调减区间是卜尹由谭+对*eZ

(2)(-1,5-V2)

【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算和正余弦的二倍角公式可得f(x),再利用正弦函数的性质即可求解;

(2)由题意可得：f(x)-3<m<f(x)+3在xe[羽上恒成立，求出f(x)的最值，转化为

解之即可.

【详解】(1)f(x)=b-(a+c)=(sinx,—cosx)•(sinx-cosx,sinx—3cosx)

=sin2x—2sinxcosx+3cos2x=1—sin2x+2cos2x

=2+cos2x—sin2x=24-V2sin(2x+

令2x+*=knQx二段—半，对称中心怎一工,2),kEZ

又令三十2kir<2x4--<—+2kn=>--+kn<x<—+ku,

24288

所以单调减区间是卜；+kit*+kn],keZ

(2)「不等式|f(x)-m|<3在xe玲U上恒成立，

3<f(x)-m<3,即f(x)-3<m<f(x)+3在xef上恒成立,

•1•f(X)max_3<m<f(X)mm+3,

因为xe肉斗，所以2X+乎6忖,知，

LoZJ44

当2x+苧=苧，即x=^寸，f(x)取得最小值，

最小值为f(X)min=2+V2siny=2—

当2x+,=m即X=：时，f(x)取得最大值，

最大值为f(x)max=2,

即｛得一l<m<5—应,

(.m<2-72+3

即实数m的取值范围是(—1,5-V2)

16.已知函数/'(久)=2sin2(%+：)+V2cos(久—(sinx—cosx).

⑴求函数/(x)的对称中心及最小正周期；

(2)若9€(谭,日)，f⑹=/求tane的值.

【答案】(1)函数f(x)的对称中心为(葭+a1)，keZ,函数f(x)的最小正周期为m

⑵tan。=

【分析】(1)根据三角恒等变换公式化简函数f(x)的解析式，结合正弦函数性质求函数f(x)的对称中心及最小

正周期；(2)由⑴可得sin(2e-：)=茶结合两角差正弦函数，二倍角公式，同角关系化简可求tan。.

【详解】(1)

27T

f(x)=2sin(:x+

=1-cos仅x+g)+V2cos(x-gV2sin(x-9

=1+sin2x+2sin(x--)cos(x--It

4,4.

1+sin2x+sin(2X-9,

=14-sin2x—cos2x,

=V2sin(2x-：)+1,

令2x-：=kn,keZ,可得x=^+SkGZ,

428

又f得+=V2sin(kn)+1=1,

所以函数f(x)的对称中心为(弓+会1),kez,

函数f(x)的最小正周期T=y=TT;

(2)因为f(0)=3所以或sin(2e-g+l

所以sin(20-=—9

\4710

所以它sin28——cos20=—,

22io

所以sin20—cos20=1,

所以lOsin0cos0—5(COS29—sin20)=sin20+cos20,

所以4sin20+lOsin0cos0—6cos20=0,

因为66所以cosB>0,

故2tan204-5tan0—3=0,

所以(2tan。—l)(tan0+3)=0,

所以tan0=—3或tan0=

又ee(-祥)，故tan*.

17.已知函数/(x)=Asin(3久+0)+8(4>0,3〉0,|如<3的部分图象如图所示.

(1)求函数/'(久)的解析式；

(2)将函数y=/(%)图象上所有的点向右平移:个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2

倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象.当久e[。，制时，方程。(久)-a=0恰有三个不相等的实数根,

KV%2<%3)，求实数a的取值范围以及％1+2%2+%3的值.

【答案】(l)f(x)=2sin(2x+0+3

141T

(2)aG[2,3],X1+2X2+X3=詈

【分析】(1)由三角函数图象的最大值与最小值，求出A=2,B=3,得到最小正周期，求出3=与=2,

再代入特殊点的坐标，求出9=己，得到函数解析式；

(2)先根据平移变换和伸缩变换得到g(x)=2sin(x-9+3,令t=x—.e[-/2n],换元后利用整体法

求出函数的单调性和端点值，得到a£[2,3],再根据对称性得到口+t2=2x：=n,t2+t3=2x与=3m

相加后得至u(xi—匀+262-g+卜3—g=4m求出答案.

【详解】⑴由图示得：七t号=5解得：A=?=2,B=¥=3,

又；5兀*兀=]，所以T=m所以o)=与=2,

所以f(x)=2sin(2x+(p)+3.

又因为f(x)过点(亳,5),所以5=2sin(2x工+cp)+3,即sin&+cp)=1,

所以5+年=5+2kn,k€Z,解得(p=g+2kTT,k€Z,

oZ5

又即1<全所以隼=*所以f(x)=2sinhx+§+3.

(2)y=f(x)图象上所有的点向右平移;个单位长度，得到f(x)=2sin[2(x-：)+耳+3=2sin(2x—£)+3,

将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)=2sin(x-J+3,

当xe[0,誓|时,x—Y卜源叶

令t=x-(€[2Tt|,则2sin(x-、+3=2sint+3,

令h(t)=2sint+3,在te卜羽上单调递增，在te仔"上单调递减，

在te(£,2T上单调递增，

且九(—e)=2sE(―2)+3=2,h=2sin1+3=5,

hd)=2sin)+3=1,h(2n)=2sin2n+3=3,

所以ae[2,3]时，.当xe时，方程g(x)-a=0恰有三个不相等的实数根.

因为h(t)-a=0有三个不同的实数根ti，t2，t3(L<t2<t3),

且口后关于t=]对称，12大3关于1=争寸称，

贝壮1+t2=2X^=TT,t24-t3=2Xy=3TI,

两式相加得：ti+2t2+t3=4K,

即(Xi—。+2(X2-2+(X3—?)=4m所以Xi+2X2+x3=等.

18.已知y=/(%)为奇函数，其中/(%)=cos(2x+。),已W(0,7i).

⑴求函数y=/(%)的最小正周期和/(%)的表达式；

(2)若/'⑨=—g,a6你兀)，求sin(a+§的值.

【答案】(1)兀，f(x)=-sin2x

(2喑

【分析】(1)根据2cos2xcosB=0列关于。的等式，即可求出解析式，得到周期；

(2)根据f。=_Ja€&n),求出sina=p与cosa然后再求解.

【详解】(1)因为y=f(x)为奇函数，

所以f(x)+f(-x)=0,

化简得到求出2cos2xcos0=0

0e(0,冗)，所以。=]

f(x)=-sin2x,最小正周期是冗；

(2)若fg)T，...sina=?

vaE&冗)，Jcosa=—

所以sin(a+-)=sinacos-+cosasin-=4-3^

\373310

19.已知函数/(%)=/sin3x+w)(4>0,3>0,0<WV》同时满足下列四个条件中的三个：①/(一擀)=。；

②/(。)=-1；③最大值为2；④最小正周期为71.

(1)给出函数/(X)的解析式，并说明理由；

⑵求函数人%)的单调递减区间.

【答案】(l)f(x)=2sin(2x+p,理由见解析

(2)[kir+^,kir+g](keZ)

【分析】(1)由A＞0,0＜隼可以排除条件②，再利用条件①③④根据特殊值、最值与周期公式即可求

解；

(2)运用整体思想直接代入正弦函数的单调递减区间即可求解.

【详解】(1)依题意，

若函数f(x)满足条件②，则f(0)=Asincp=_1,

这与人＞0,0＜甲＜^矛盾，所以f(x)不能满足条件②，

所以f(x)应满足条件①③④

由条件④得舍=兀，且3＞0,所以3=2,

由条件③得A=2,

再由条件①得f(—3)=2sin(-W+(p)=0,

。□

且0<9<今所以隼=*

所以f(x)=2sin(2x+三)；

(2)由2kir+—<2x+—<2kirH■■—,(kGZ),

得ku+AWxWkn+工,(keZ),

所以f(x)的单调递减区间为[kn+.kn+工](keZ).

20.已知函数/'(x)=2sin(o>%+s)(o>>0,\(p\<的部分图象如图所示.

(1)求“X)的解析式，并求/(尤)的单调递增区间；

⑵若对任意x6［蜀，都有-一W1,求实数t的取值范围.

【答案】(l)f(x)=2sin(2x+§,单调递增区间为[kit—号,kir+3(keZ)

⑵[*)

【分析】(1)先求出f(x)的周期，再代点进去求出隼，从而得到f(x)的解析式后，进而利用整体法即可求得

f(x)的单调递增区间；

(2)先根据三角恒等变换化简绝对值内的表达式，再利用正弦函数的性质进行解不等式即可.

【详解】⑴由图象可得f(x)的最小正周期T=4管一§=7T,.\[3|=^=2,又3>0可知3=2,

由2x工+(p=^+2kit,1<€2解得隼=彳+2皿，keZ,

又因为I隼I<京得叩=全；.f(x)=2sin(2x+。

由2kTT—5W2x+gW2kir+3，keZ,解得kn-萼WxWkn+[,keZ,

乙sz1ZIN

所以函数f(x)的单调递增区间为[kn-号,kTT+总(k6Z).

(2)f(x)f(x-=2sin(2x+§-2sin2x=4Qsin2x+4cos2x)•sin2x

=2sin22x+2V3sin2xcos2x=V3sin4x—cos4x+1=2sin(4x-J+1.

由k(x)f(x——11<1得12sin(4x—^|<1,—^<sin(4x_J<

•.,兀j“九’7n

••4t—W4x—工—,

666

作出y=sinx的部分图像如下:

结合图像可知:解得：Wt〈方

OOO勺J

所以实数t的取值范围为tw).

二、三角恒等变换

cos2x

已知函数/。)=

21.sin(x+^)•

(1)如果/(a)=p试求sin2a的值；

(2)求函数/(%)的单调区间.

【答案】(畤；

(2)递增区间是(2kn—j2kir—：)(keZ),递减区间是(2kir—2kit+?)(keZ).

【分析】(1)利用二倍角公式、和角的正弦公式及辅助角公式变形函数f(x),再利用诱导公式、二倍角公式

求解作答.

(2)根据给定函数的定义域，结合余弦函数的单调性求解作答.

【详解】(1)函数f(x)=;g常中，x+：7kn,keZ,即xHkn—jk€Z,

4

兀

f(X)得

=笨管=a(c°sx-sinx)=2cos(x+式由f)-COS+

(a3-ca-4

所以sin2a=—cos(2a+1)=一cos2(a+；)=-2