2023-2024学年人教版七年级数学上册重难点题型突破训练：有理数中规律和新定义综合应用（六大题型）

专题1.5有理数中规律和新定义综合应用(六大题型)

_Um靠氢如他独____________________________________

【题型1数列型规律】

【题型2裂差型规律】

【题型3新定义型规律】

【题型4含n2型规律】

【题型5定义两个数的运算】

【题型6定义多个数的运算】

一___连纪变霰____________________________

【题型1数列型规律】

【典例1】动脑筋、找规律，李老师给小明出了下面的一道题，请根据数字排列

的规律，探索下列问题：

•11141>-511---------->-191A1••«

2-------->-36----------->-710------->•••C—>D

(1)在A处的数是正数还是负数；

(2)负数排在A,B,C,D中的位置？

(3)第2017个数是正数还是负数,排在对应于A,B,C,D中的—

位置？

【变式1-1］从图①中找出规律，并按规律从图②中找出a,b,c的值,

【变式1-2】找出下列各图形中数的规律，依此规律，那么a的值是

【典例3】观察下列各数的个位数字的变化规律:2』2,22=4,23=8,24=16,

25=32,……通过观察，你认为22。21的个位数字应该是（）

A.2B.4C.6D.8

【变式2-1】观察下列算式：3i=332=933=2734=8135=24336=729...

通过观察，用你所发现的规律得出32。16的末位数是（）

A.1B.3C.7D.9

【变式2-2］观察下列等式：2、2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,根据

这个规律,21+22+23+24+-+22020的末尾数字是()

A.6B.4C.2D.0

【题型2裂差型规律】

111111

【典例3】观察下列计算:2=1-511

2x3233x4344x54

1,从计算结果中找规律，利用规律计算

5

⑴打！+W+/+烹+……+1

9900

(2)5+昌上+士+……+1

31535639999

【变式3】认真观察，寻找规律

11_2

第1个算式:1x22x36，

11_2

第2个算式:

2x33x424

第个算式:11_2

33x44x560'

11_2

第4个算式:

4x55x6120

用你发现的规律解答问题:

(1)第n个算式为：_____________________________________________

计算：—+—+—；

(2)IH3123060

3

()右1*2X3+2X3X4+3x4x5++n(n+l)(n+2)=而，求n的值，

【题型3新定义型规律】

【典例4】符号表示一种运算，它对一些数的运算如下：/(D=1+2,f

(2)=1+2,f(3)=1+2,f(4)=1+2…

234

(1)利用以上运算的规律写出/(〃)=；(〃为正整数)

(2)计算：/(I)・/(2)«/(3)-/(100)的值.

【变式4】阅读材料，解答问题.

符号“广表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

(1)/(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,…

(2)/(A)=2,f(1)=3,/(A)=4,/(I)=5,…

2345

利用以上的规律计算：/(2015).

2015

【题型4含n2型规律】

【典例5】某种细胞开始有1个，1小时后分裂成2个，2小时分裂成4个，3小

时后分裂成8个，按此规律，n小时后细胞的个数超过1000个，n的最小值是

()

A.9B.10C.500D.501

【变式5-1］某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分

裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时

后，细胞存活的个数是()

A.31B.33C.35D.37

【变式5-2】某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小

时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10并死去一个，按此规律，10小

时后细胞存活的个数是()

A.1023B.1024C.1025D.1026

【题型5定义两个数的运算】

【典例6】现定义一种新运算“*”，规定a*b=Z/—a,如3*1=3=—2,则

(—2)*(-3)等于()

A.11B.-11C.7D.-7

【变式6-1］定义一种新运算：a㊉b=b2-2ab.如103=32

-2X1X3=3,则(-1)㊉2=.

【变式6-2】定义新运算“*”，规定a*b=axb-(b-l)xb,则2*(—3)=.

【变式6-3】如果定义一种新的运算为，那么＜*(-3)=.

【题型6定义多个数的运算】

【典例7】现定义一种新运算“*”，规定a*b=ab+a—b,如1*3=卜3+1—3,则

(2*5)*4等()

A.28B.-28C.-31D.31

【变式7-1】如果定义新运算：a*b=^1(a去b),那么(1X2)派3的值

为.

【变式7-2】a,b为有理数，若规定一种新的运算“*"，定义a*b=a2—b2—ab+

1,请根据“*”的定义计算：

(1)-3*4；

(2)(-1*1)*(-2).

【变式7-3］用※”定义一种新运算：规定a=ab2+2ab—b，如：1M=1X

32+2X1X3-3=12.

(1)求(-2)^4的值；

(2)若(x-l)^3=12，求x的值.

专题1.5有理数中规律和新定义综合应用(六大题型)

一名丸臣女蚣独_______________________________

【题型1数列型规律】

【题型2裂差型规律】

【题型3新定义型规律】

【题型4含n'型规律】

【题型5定义两个数的运算】

【题型6定义多个数的运算】

___连纪变聚___________________________

【题型1数列型规律】

【典例1】动脑筋、找规律，李老师给小明出了下面的一道题，请根据数字排列

的规律，探索下列问题：

(1)在A处的数是正数还是负数；

(2)负数排在A,B,C,D中的位置？

(3)第2017个数是正数还是负数,排在对应于A,B,C,D中的.

位置？

【答案】(1)正数

(2)B,D

(3)负数；B

【解答】解：(1)A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在4处

的数是正数；

故答案是：正数；

(2)观察不难发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下

方是负数，上方是正数，

所以，B和。的位置是负数，

故答案是：B,D；

(3)v20174-4=504...1,

・•・第2017个数排在B的位置，是负数，

故答案是：负数，B.

【变式1；】从图①中找出规律，并按规律从图②中找出a，b，c的值,

【答案】14

【解答】解：由题意得：a=—4+11=7,c=—15+ll=-4,

b—a+c—7+(—4)=3,

:.a+b—c—7+3—(—4)—14,

故答案为：14.

【变式1-2】找出下列各图形中数的规律，依此规律，那么a的值是.

【答案】226

【解答】解：V0xl+2=2,2x3+4=10,4*5+6=26,6*7+8=50,…，

，a=14x15+16=226.

故答案为：226.

【典例3】观察下列各数的个位数字的变化规律：21=2,22=4,23=8,2『16,

25=32,……通过观察，你认为22。21的个位数字应该是()

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解答】解：•：2i=2,22=4,23=8,24=16,25=32,

...以2为底的幕的末位数字是2,4,8,6…依次循环的，

2021-4=505...1,

.•.22021的个位数字是2.

故答案为：A.

【变式2-1】观察下列算式：31=332=933=2734=8135=24336=729...

通过观察，用你所发现的规律得出32。16的末位数是（）

A.1B.3C.7D.9

【答案】A

【解答】解：因为岁=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,

所以3n的个位数字分别为3、9、7、1,每4个数为一个循环组依次循环，

因为2016+4=504,

所以32。16的个位数字与循环组的第4个数的个位数字相同，是1.

故答案为：A.

【变式2-2］观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,根据

这个规律，21+22+23+24+--+22020的末尾数字是（）

A.6B.4C.2D.0

【答案】D

【解答】解：'：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32；26=64,

...个位数的规律是2,4,8,6循环

/.2020-4=505,

.*.505x(2+4+8+6)=10100,

二21+2423+24+25+......+2202。的末尾数字为0,

故答案为：D.

【题型2裂差型规律】

1_1_11_1_11_1

【典例3】观察下列计算:-------±—一

1x2---------22x3-2~3x4~~3-44x5-4

,从计算结果中找规律，利用规律计算

(1)烹+……+1

9900

(2)±+±+……+1

31535639999

【解答】解：1+1+^+^+^+……+嬴

-----H-------1-------1-------1-------F......H---------

1x22x33x44x55x699x100

=1-11-11-11-11-1…+工--L

2+23+34+45+56+99100

=1一-—

100

99

—100；

（2）-+—+—+—+……

^31535639999

解.工+J-+J-+J-+_|---!_

用牛.3十15十35十63十•••••,十9999

=—+—+—+—+……+--—

1x33x55x77x999x101

=Ix（1-}+lx+lx（衿）+lx（沁……+lx塌一加

=3X+（沁）.・・・・・+（+-加］

=3X（1-1+1-|++•…“+杀-壶

=ix（1—）

2I1017

1100

——X-----

2101

50

—ToT•

（1）解.工+工+工+-?_+工+_|5_

肿.2十6十12十20十30十,…”十9900

111111

-----1-------1-------1-------1F......H

1x22X33x44x55x6---------99x100

1-1++14+14+14+……+击-焉

1—需

99

100

（）l±J-J_+，

2,3十+15十+35十+63十+,十9999

=—+—+—+—+……+--—

1x33x55x77x999x101

=Ix（1-}+lx（»§+lx*）+fx（沁……+lx塌一加

=lx［a*）+GT）+（S）+（沁）……+（急-加］

-1X(1+++1

24HHI9

1(■)

=-1X-1-00

2101

50

101

【变式3】认真观察，寻找规律

第1个算式:112

1X22x36,

第2个算式:112

2x33x424

第3个算式:112

3x44x560,

第4个算式:112

4x55x6120

用你发现的规律解答问题:

(1)第n个算式为:

计算：^W+总+专;

1111

(3)若・“+n(n+l)(n+2)=S，求n的值.

1x2x32x3x43x4x545

112

【解答】（1）nx(n+l)(n+l)x(n+2)nx(n+l)x(n+2)

（2）解：原式栏+1+9+磊

------+11

1X22x32x33x4+白-羡+1亳

_11

1x25x6

1i

530

7

15

222222

（3）解:++n(n+l)(n+2)

1x2x3+2x3x4+3x4x545

1111111

----------------------------------1-------------------------------------1-------------------------------------1-J-----------------------------------------------------------------

1x22x32x33x43x44X5n(n+1)(n+l)(n+2)

221122

451x2。1+1)(几+2)45

122111

(n+l)(n+2)451X2(n+l)(n+2)90

•••n为正整数,所以n+l=9,n+2=10,则n=8.

【题型3新定义型规律】

【典例4】符号“广表示一种运算，它对一些数的运算如下：/(I)=1+2,f

(2)=1+2,f(3)=1+2,f(4)=1+,“

234

(1)利用以上运算的规律写出/(〃)=;(〃为正整数)

(2)计算：/(1)«/(2)«/(3)-/(100)的值.

【解答】解：(1)'：f(1)=1+2,/(2)=1+2,/(3)=1+2,/(4)=

123

1+.2—

4

."(〃)=1+2.

n

(2)/⑴•/⑵*/(3)---/(100)

=(1+2)(1+2)(i+2)(1+.2)…(1+_2_)

1234100

=.3xAx^xAx-X-122

1234100

^101X102

1X2

=5151

故答案为：5151.

【变式4】阅读材料，解答问题.

符号“广表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

(1)/(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,…

(2)/(A)=2,f(1)=3,/(I)=4,/(I)=5,…

2345

利用以上的规律计算：/(2015)

2015

【解答】解：由题意可知：f(/7)=〃-1,f(―)=11,

n

f(2015)-f(—1—)=2014-2015=-1.

2015

【题型4含口:型规律】

【典例5］某种细胞开始有1个，1小时后分裂成2个，2小时分裂成4个，3小

时后分裂成8个，按此规律，n小时后细胞的个数超过1000个，n的最小值是

（）

A.9B.10C.500D.501

【答案】B

【解答】由题意得，2n>1000,

V29=512,21°=1024,

，n的最小值是：10,

故答案为：B.

【变式5-1］某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分

裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时

后，细胞存活的个数是（）

A.31B.33C.35D.37

【答案】B

【解答】根据题意可知，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3=2+1；

2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5=22+1；

3小时后分裂成10个并死去1个，剩9个，9=23+1；

故5小时后细胞存活的个数是25+1=33个.

故答案为：B

【变式5-2】某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小

时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10并死去一个，按此规律，10小

时后细胞存活的个数是（）

A.1023B.1024C.1025D.1026

【答案】C

【解答】1小时后存活的个数是3=2+1,2小时后存活的个数是：

5=22+1,按此规律，10小时后存活的个数是：21°

+1=1025,故答案为：C.

【题型5定义两个数的运算】

【典例6】现定义一种新运算“*”，规定a*b=/>2—0如3*1=3=—2,则

(—2)*(—3)等于()

A.11B.-11C.7D.-7

【答案】A

【解答】'.'a*b=b2-a,

•••(―2)*(―3)=(—3)2—(—2)=94-2=11；

故答案为：A.

【变式6-1］定义一种新运算：a㊉b=7―2ab.如1㊉3=3?

-2X1X3=3,贝U(-1)