高考数学基础知识回归教材

考前回扣回扣1集合和常用逻辑用语

1.集合

(1)集合的运算性质：①AUB=A=BUA；②AnB=B=BGA；③AiBQC=C.

⑵子集、真子集个数计算公式.

对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个

数依次为2n,2n-l,2n-l,2n~2.

(3)数轴和图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘记集合本

身和空集这两种特殊情况.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关

问题.

2.四种命题及其相互关系

(1)

⑵互为逆否命题的两命题同真同假.

3.含有逻辑联结词的命题的真假

(1)命题p\/q：若p、q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则

真.

(2)命题pAq：若p、q中至少有一个为假，则命题为假命题，P、q同为真时,

命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真.

(3)命题「p和命题p真假相反.

4.全称命题、特称命题及其否定

(1)全称命题p：VxGM,p(x),其否定为特称命题「p:3xOGM,「p(xO).

(2)特称命题p:3xOGM,p(xO),其否定为全称命题「p:VxGM,「p(x).

5.充分条件和必要条件

⑴若p=q且q4p,则p是q的充分不必要条件；

(2)若p4q且q=p,则称p是q的必要不充分条件；

(3)若poq,则称p是q的充要条件；

(4)若p4q且q4p,则称p是q的既不充分也不必要条件.

1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义一一抓住集合的代表元素.

如：｛=x｝---函数的定义域；｛=x｝----函数的值域；｛(X,y)=x｝----函

数图象上的点集.

2,易混淆0,。，｛0｝:0是一个实数；。是一个集合，它含有。个元素；｛0｝是

以o为元素的单元素集合，但是o40,而0c{（）}.

3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其

要注意元素的互异性.

4.空集是任何集合的子集.由条件AUB,AAB=A,人^8=8求解集合A时,

务必分析研究A=。的情况.

5.区分命题的否定和否命题，已知命题为“若P,则q"，则该命题的否定为

“若P,则飞"，其否命题为“若中，则F”.

6.在对全称命题和特称命题进行否定时，不要忽视对量词的改变.

7.对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.

1.已知集合人={1,3,},B={1,m},AUB=A,则m等于（）

A.0或B.0或3C.1或D.1或3

2.设集合A={l<x<2},B={<a},若AUB,则a的取值范围是（）

A.{三2}B.{<1}C.{Nl}D.{<2}

3.已知集合乂={—3<xW5},N={<—5或x>5},则MUN等于（）

A.{—3〈x<5}B.{-5<x<5}C.{<—5或x>—3}D.{<—3或x>5}

4.满足条件{a}GAU{a,b,c}的所有集合A的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

5.已知集合U=R（R是实数集），A={—IWxWl},B={2-2x<0},则AU（[）

等于（）

A.[-1,0]B.[1,2]C.[0,1]D.（—8,1]u[2,+<=«）

6.下列命题正确的是（）

（1）命题“Vx£R,2x>0”的否定是FxOGR,2x0<0"；（2）1为直线，a,

B为两个不同的平面，若a，B,则l〃a；（3）给定命题p,q,若

“pAq为真命题”，则「P是假命题；

a="是“a=”的充分不必要条件.

A.(1)(4)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(3)(4)

7.设命题p:3xOGR,使+2x0+a=0(a£R),则使得p为真命题的一个充分

不必要条件是()

A.a>—2B.a<2C.aWlD.a<0

8.已知命题p:在△中，若<,则(XA；命题q:已知aQR,则“a>l”是

的必要不充分条件.在命题p/\q,pVq,(^p)Vq,Qp)八q中，真命题的个数

为()

A.1B.2C.3D.4

9.已知命题p:VmG[0,1],x+N2m,贝bp为()

A.VmG[0,1],x+<2mB.3mOG

[0,1],x+N2mO

C.3mOG(—°°,0)U(1,+°°),x+N2mOD.3mOG[0,1],x+

<2m0

10.下列结论正确的是.

(l)f(x)=-l+2(a>0,且aWl)的图象经过定点(1,3)；(2)已知x=23,4y

=,则x+2y的值为3；

⑶若f(x)=x3+—6,且f(—2)=6,则f(2)=18；(4)f(x)=x(-)

为偶函数;

(5)已知集合人={—1,1},B={=1},且BUA,则m的值为1或一1.

11.已知M是不等式W0的解集且54M,则a的取值范围是.

12.若三个非零且互不相等的实数a,b,c满足+=,则称a,b,c是调和的；

若满足a+c=2b,则称a,b,c是等差的.若集合P中元素a,b,c既是调和

的，又是等差的，则称集合P为“好集”，若集合M={W2014,xGZ},集合

P={a,b,c}cM,贝hl)“好集”P中的元素最大值为；(2)“好集”P的个数

为.

13.设命题p：实数x满足x2—4+3a2<0,其中a<0；命题q：实数x满足x2

+2x-8>0,若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.

14.已知命题p：<1,命题q：x2—2x+1—m2<0(m>0),若p是q的充分不必

要条件，则实数m的取值范围是.

回扣2函数和导数

1.函数的定义域和值域

(1)求函数定义域的类型和相应方法

①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范

围；

②若已知f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]的定义域为不等式aWg(x)Wb的

解集；反之，已知f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为函数y=

g(x)(xG[a,b])的值域；

③在实际问题中应使实际问题有意义.

(2)常见函数的值域

①一次函数y=+b(kWO)的值域为R；②二次函数y=2++c(aWO):a>0

时，值域为，a<0时，值域为；③反比例函数y=(kWO)的值域为{y£WO}.

2.函数的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关

于原点对称),都有f(―X)=—f(X)成立,则原X)为奇函数(都有f(-x)=f(X)

成立，则f(x)为偶函数).

(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x),如果对

于定义域内的任意一个X的值：若f(x+T)=f(x)(TWO),则f(x)是周期函数,

T是它的一个周期.

3.关于函数周期性、对称性的结论

(1)函数的周期性

①若函数f(x)满足f(x+a)=f(x—a),则f(x)为周期函数，2a是它的一个周

期.

②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x=a(aWO)对称，则f(x)是周期

函数，2a是它的一个周期.

③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x=a(aWO)对称，则f(x)是周期

函数，4a是它的一个周期.

⑵函数图象的对称性

①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a—x),即f(x)=f(2a—x),则f(x)的图象

关于直线x=a对称.

②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a—x),即f(x)=-f(2a—x),则f(x)的

图象关于点(a,0)对称.

③若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b—x),则函数f(x)的图象关于直线乂=对

称.

4.函数的单调性

函数的单调性是函数在定义域上的局部性质.

①单调性的定义的等价形式：设xl,x2G[a,b],那么(xl—x2)[f(xl)—

f(x2)]>0a>0=f(x)在[a,b]上是增函数；(xl—x2)[f(xl)-f(x2)]<0=<0u>

f(x)在[a,b]上是减函数.

②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)+g(x)是减函数;

若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)+g(x)是增函数；根

据同增异减判断复合函数y=f[g(x)]的单调性.

5.函数图象的基本变换

(1)平移变换：y=f(x)y=f(x—h),y=f(x)y=f(x)+k.

(2)伸缩变换：y=f(x)y=f(MX),y=f(x)y=(x).

(3)对称变换：y=f(x)y=—f(x),y=f(x)y=f(—x),y=f(x)y=—f(—x).

6.准确记忆指数函数和对数函数的基本性质

(1)定点:y=(a>0,且aWl)恒过(0,1)点;y=定〉0,且aWl)恒过(1,0)点.

(2)单调性：当a>l时，y=在R上单调递增；丫=在(0,+8)上单调递增；

当0<a<l时，丫=在1^上单调递减；丫=在(0,+8)上单调递减.

7.函数和方程

(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点of(x0)=0o(x0,0)为f(x)的图象和x轴

的交点.

(2)确定函数零点的三种常用方法

①解方程判定法：即解方程f(x)=0.

②零点定理法：根据连续函数y=f(x)满足f(a)f(b)<0,判断函数在区间(a,

b)内存在零点.

③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.

8.导数的几何意义

(l)f'(x0)的几何意义：曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率，该切

线的方程为y—f(xO)=f'(x0)(x—x0).

⑵切点的两大特征：①在曲线y=f(x)上；②在切线上.

9.利用导数研究函数的单调性

(1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导函数什

(X)；③由亡(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由#(x)<0的解集确

定函数f(x)的单调减区间.

(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递

增，则亡(x)20(x£M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，贝Ijf'

(x)<0(x£M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，*

(x)>0(或>(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性,

区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集.

10.利用导数研究函数的极值和最值

⑴求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程>(x)=o；③

判断卢(x)在方程>(x)=0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为

极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点.

(2)求函数f(x)在区间［a,b］上的最值的一般步骤：

①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；

②比较函数y=f(x)的各极值和端点处的函数值f(a)、f(b)的大小，最大的一

个是最大值，最小的一个是最小值.

1.解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则.

2.解决分段函数问题时，要注意和解析式对应的自变量的取值范围.

3.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“U”和“或”连接，可

用“及”连接或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等

式代替.

4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式

化简整理，但必须注意使定义域不受影响.

5.准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y=(a>0,aWl)的单调性忽

视字母a的取值讨论，忽视>0；对数函数y=(a>0,aWl)忽视真数和底数的限

制条件.

6,易混淆函数的零点和函数图象和x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、

不等式解集的端点值进行准确互化.

7.已知可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)，则*(x)与0(W0)对Vx£

(a,b)恒成立，不能漏掉“=”号，且需验证“=”不能恒成立；而已知可导函

数f(x)的单调递增(减)区间为(a,b),则*(x)>0(<0)的解集为(a,b).

8.f'(x)=0的解不一定是函数f(x)的极值点.一定要检验在x=x0的两侧f'

(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.

1.若函数£&)=则乳六1)]等于()

A.-10B.10C.-2D.2

2.若函数f(x)=x2—x+1在其定义域内的一个子区间(k—1,k+1)内不是单

调函数，则实数k的取值范围是()

A.[1,+8)B.[1,)C.[1,2)D,[,2)

3.若函数f(x)=单调递增，则实数a的取值范围是()

A.(,3)B.[,3)C.(1,3)D.(2,3)

4.函数y=的图象大致形状是()

5.(2019•课标全国甲)下列函数中，其定义域和值域分别和函数y=10x的定

义域和值域相同的是()

A.y=xB.y=xC.y=2xD.y=

6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=—f(x),且f(—1)=2,贝ijf(2

017)的值是()

A.2B.0C.-1D.-2

7.已知函数f(x)=x—3x,若xO是函数y=f(x)的零点，且0<xl<x0,则

f(xl)的值()

A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0

8.设a=32,b=52,c=23,贝ij()

A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

9.若函数f(x)定义域为[—2,2],则函数y=f(2x)-(x+1)的定义域为.

10.(2019•天津)已知函数f(x)=(2x+l),f'(x)为f(x)的导函数，则广

(0)的值为.

11.设奇函数y=f(x)(x£R),满足对任意t£R都有f(t)=f(1—t),且x£

[0,]时£6)=一x2,则f⑶+f(一)的值等于.

12.函数f(x)=x3+2++a2在x=l处有极小值10,则a+b的值为.

13.已知函数f(x)=(e为自然对数的底数).

⑴求函数Mx)的单调区间；

(2)设函数小(幻=(9+'(公+,存在实数xl,x2Q[0,1],使得26(x1)<6

(x2)成立，求实数t的取值范围.

回扣3三角函数、平面向量

1.准确记忆六组诱导公式

对于“土a,k£Z”的三角函数值，和a角的三角函数值的关系可按口诀记忆:

奇变偶不变，符号看象限.

2.同角三角函数的基本关系式

2a+2a=1,a=(a六0).

3.两角和和差的正弦、余弦、正切公式

⑴(a±B)=aB土aB.⑵(a±B)=aB干aB.

(3)(a±B)=.(4)a+a=(a+e)(其中@=).

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)2a=2aa.(2)2a=2a—2a=22a—1=1—22a.(3)2a=.

5.三

种三

角函

尸xy=x尸x

数的

性质

函数

图象

单调在1—P2k兀,在[一兀+2k在(—Pk几,

性+2k几］(kG兀,2k兀](k+k兀)(k£Z)

Z）上单调递£Z）上单调递上单调递增

增;在［+2k增;在［2k兀，

兀,+2k兀］兀+2k兀］（k

（k£Z）上单调£Z）上单调递

递减减

对称中心：

对称中心：（k

(+k兀，0)(k

兀，0)(kG

GZ);对称中心：（,

对称Z）；对称轴：

对称轴：x=k0)(kez)

性x=+k兀(k

兀(k£Z)

eZ)

对称轴：x=

ku(AGZ)

6.函数y=（0x+e）（G>0,A〉0）的图象

（1）“五点法”作图：设z=（ox+@,令z=0,,兀，，2兀，求出相应的x的

值和y的值，描点、连线可得.

⑵由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解

题突破口.

⑶图象变换：

y—p—（x+0）-----回卷---->y=sm（s+。）

y=（sx+6）.

7.正弦定理及其变形

===2R（2R为△外接圆的直径）.变形:a=2A,b=2B,c=2A=,B=,C=.a：b：c=A：B：C.

8.余弦定理及其推论、变形

a2=b2+c2—24b2=a2+c2—2Bfc2=a2+b2—2C.

推论：A=,B=,C=.

变形：b2+c2—a2=2A,a2+c2—b2=2B,a2+b2—c2=2C.

9.面积公式：SA=A=B=C.

10.解三角形

(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.

⑵已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不

唯一.

(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.

(4)已知三边，利用余弦定理求解.

11.平面向量的数量积

⑴若a,b为非零向量,夹角为。，则a・b=。.⑵设a=(xl,yl),b=(x2,

y2),则a•b=xlx2+yly2.

12.两个非零向量平行、垂直的充要条件：

若a=(xl,yl),b=(x2,y2),贝lj(1)a〃b=a=入b(bWO)Qxly2—x2yl=0.

(2)H_L6=H•6=0=荀照+M%=0.

13.利用数量积求长度

(1)若a=(x,y),则==.(2)若A(xl,yl),B(x2,y2),贝U|=.

14.利用数量积求夹角

若a=(xl,yl),b=(x2,y2),。为a和b的夹角，贝lj9==.

15.三角形“四心”向量形式的充要条件

设。为△所在平面上一点，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则

(1)0为△的外心=>|=|=|=.(2)0为△的重心Q++=0.

(3)0为小的垂心=•=•=,.(4)0为△的内心Q++=0.

1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函

数值的符号.

2.在求三角函数的值域（或最值）时，不要忽略x的取值范围.

3.求函数f（X）=（3x+小）的单调区间时，要注意A和3的符号，当3<0时,

需把G的符号化为正值后求解.

4.三角函数图象变换中，注意由y=3X的图象变换得丫=（3乂+"）时，平

移量为，而不是用.

5.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，

避免增解.

6.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0,方向任意，并不是没有方向；0

和任意非零向量平行.

7.a•b>0是〈a,b）为锐角的必要不充分条件；

a・b<0是（a,b）为钝角的必要不充分条件.

1.245°15°-30°的值等于（）

D.1

2.要得到函数y=2x的图象，可由函数y=（2x一）（）

A.向左平移个单位长度得到B,向右平移个单位长度得到

C.向左平移个单位长度得到D.向右平移个单位长度得到

3.在△中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=（a—b）2+6,C=,

则△的面积是（）

A.3D.3

4.（1+18°）（1+27°）的值是（）B.1+C.2D.2（18°+

27°）

5.设△的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C+B=A,则△的形状

为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

6.（2019•天津）已知△是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边，的中点,

连接并延长到点F,使得=2,贝IJ•的值为(

A.—

7.f(x)=(2x—)+(2x—)是()

A.最小正周期为2兀的偶函数B.最小正周期为2兀的奇函数

C.最小正周期为兀的奇函数D.最小正周期为兀的偶函数

8.已知a,b均为单位向量，(2a+b)・(a—2b)=一,则向量a,b的夹角为

()

9.(2019•课标全国乙)已知。是第四象限角，且=,则=.

10.若△的三边a,b,c及面积S满足S=a2—(b—c)2,则A=.

11.若。=3,则2。+ee=.

12.已知单位向量a,b,c,且a，b,若c=+(l—t)b,则实数t的值为.

13.在△中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足A=(2c+a)(A+C).

(1)求角"的大小;

(2)求函数f(x)=22x+(2x—B)(x£R)的最大值.

14.已知函数f(x)=2x(x—x)+1.

(1)求函数r(x)的最小正周期和单调增区间；

(2)在△中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且锐角A满足f(A)=1,b=,

c=3,求a的值.

回扣4数列

1.牢

记概念

和公式等差数列等比数列

等差数

歹U、等

比数列

通项公=<31+（77—

=（ar1（户0）

式l）J

⑴qWl,==

前〃项

（2）q=l,=1

和=i+d

（2）q—1,=i

2.活用定理和结论

（1）等差、等比数列｛｝的常用性质

等差数列等比数列

①若m,n,p,q£N*,且m+

①若m,n,p,q£N*,且m+n

n=p+q,

=p+q,贝U•=•

则+=+

②—

性②二十（〃一/）d

③，S2m—,S3m—S2m,…仍成

质③，S2m—,S3m—S2m,…仍

等比数歹U（WO）

成等差数列

③，SL,SL…仍成等比

③，SIL,Sz,—Sim,…仍成等

数列（wo）

差数列

（2）判断等差数列的常用方法

①定义法：+l-=d（常数）（n£N*）=｛｝是等差数列.

②通项公式法：=+q（p,q为常数，n£N*）o｛｝是等差数列.

③中项公式法：2+1=++2（n£N*）=>｛｝是等差数列.

④前n项和公式法：=2+（A,B为常数，n£N*）=｛｝是等差数列.

（3）判断等比数列的三种常用方法

①定义法：=q（q是不为0的常数，n£N*）Q｛｝是等比数列.

②通项公式法：=(c,q均是不为0的常数，n£N*)=｛｝是等比数列.

③中项公式法：=•+2(•+1•+2W0,n£N*)">｛｝是等比数列.

3.数列求和的常用方法

(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.

(2)形如｛・｝(其中｛｝为等差数列，｛｝为等比数列)的数列，利用错位相减法求和.

⑶通项公式形如=(其中a,bl,b2,c为常数)用裂项相消法求和.

(4)通项公式形如=(一l)n•n或=a•(―l)n(其中a为常数，n£N*)等正负项

交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.

(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成=+形式的数列求和问题

的方法，其中｛｝和｛｝是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.

(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求.

1.已知数列的前n项和求，易忽视n=l的情形，直接用一一1表示.事实上,

当n=l时，al=Sl；当nN2时，=---1.

2,易混淆几何平均数和等比中项，正数a,b的等比中项是土.

3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基

本运算.如等差数列｛｝和｛｝的前n项和分别为和，已知=,求时，无法正确赋

值求解.

4.易忽视等比数列中公比qWO,导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数

项符号相同造成增解.

5.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q=l和qWl两

种情况进行讨论.

6.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.

7.裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，

如W—,而是=.

8.通项中含有(一l)n的数列求和时，要把结果写成分n为奇数和n为偶数两

种情况的分段形式.

1.已知数列｛｝的前n项和为，若=2—4（n£N*）,则等于（）

A.2n+1B.2nC.2n—1D.2n—2

2.已知数列｛｝满足+2=+l—,且al=2,a2=3,为数列｛｝的前n项和，则

S2016的值为（）

A.0B.2C.5D.6

3.已知等差数列｛｝的前n项和为，若a5=14—a6,则S10等于（）

A.35B.70C.28D.14

4.已知等差数列｛｝的前n项和为，a2=4,S10=110,则使取得最小值时n的

值为（）

A.7B.7或8D.8

5.等比数列｛｝中，a3a5=64,则a4等于（）A.8B.-8C.

8或一8D.16

6.等比数列｛｝的前n项和为,若2s4=S5+S6,则数列｛｝的公比q的值为（）

A.—2或1B.—1或2C.-2D.1

7.设函数1殴）=+的导函数>（x）=2x+2,则数列｛｝的前9项和是（）

8.在数列。中，al=l,——1=,则等于（）A.2-B.1-D.

2-

9.等比数列｛｝中，a4=2,a5=5,则数列｛｝的前8项和等于.

10.若等差数列｛｝满足a7+a8+a9>0,a7+al0<0,则当n=时，｛｝的前n项

和最大.

11.若数列。满足=3—l+2（nN2,n£N*）,al=l,则数列。的通项公式为

12.数列1,2,3,4,5,…的前n项之和等于.

13.设数列。的前n项和为，al=l,+l=、+l(n£N*,且入W—1),且

al,2a2,a3+3为等差数列｛｝的前三项.

(1)求数列｛｝,｛｝的通项公式；

(2)求数列｛｝的前n项和.

14.已知数列｛｝的各项均为正数，前n项和为，且=(n£N*),

(1)求证：数列｛｝是等差数列；

⑵设=,=bl+b2+-+,若入W对于任意n£N*恒成立，求实数人的取值范

围.

回扣5不等式和线性规划

1.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断△的符

号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).

解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑:

①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式△,它决定根的情形,

一般分△*、八=0、八<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小.

2.一元二次不等式的恒成立问题

(l)2++c>0(aWO)恒成立的条件是(2)2++c<0(aWO)恒成立的条件是

3.分式不等式

>0«0)=F(x)g(x)>0«0)；20(WO)=

4.基本不等式

⑴①a2+b2三2(a,bQR)当且仅当a=b时取等号.

②三(a,be(0,+°°)),当且仅当a=b时取等号.

⑵几个重要的不等式：①W2(a,bER)；

②NNN(a>0,b>0,当a=b时等号成立).

③a+N2(a>0,当a=l时等号成立)；

④2(a2+b2)N(a+b)2(a,bGR,当a=b时等号成立).

5.可行域的确定

“线定界，点定域”，即先画出和不等式对应的方程所表示的直线，然后代入

特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域.

6.线性规划

(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；

⑵线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解

有无数多个.

1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从

而出错.

2.解形如一元二次不等式2++c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解,

要注意分a>0,a<0进行讨论.

3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把W0直接转化为

f(x)•g(x)<0,而忽视g(x)W0.

4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错

解，如求函数£(幻=+的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y

=x+(x<0)时应先转化为正数再求解.

5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注

意最优整数解.

6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指

已知区域内的点(x,y)和点(一2,2)连线的斜率，而(x—l)2+(y—1)2是指已

知区域内的点(x,y)到点(1,1)的距离的平方等.

1.下列命题中正确的个数是()

①a>b,c>doa+c〉b+d；②a〉b,c>d=>>；③a2>b2=〉；④a>bo〈.

A.4B.3C.2D.1

2.设M=2a(a—2)+4,N=(a—1)(a—3),则M,N的大小关系为()

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定

3.若不等式22+一20的解集为空集，则实数k的取值范围是()

A.(-3,0)B.(—8,-3)C.(-3,0]D.(—8,-3)U(0,+8)

4.(2019•四川)设p:实数x,y满足(x—1)2+(y—1)2W2,q:实数x,y满

足则P是4的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件

5.不等式与一1的解集为()

A.(―°°,0]U[1,+8)B.[0,+°°)C.(―°°,0]U(1,+8)D.

[0,1)U(1,+8)

6.设第一象限内的点(x,y)满足约束条件目标函数z=+(a>0,b>0)的最大

值为40,则+的最小值为()C.1D.4

7.已知实数x、y满足如果目标函数z=x—y的最小值为一1,则实数m等于

()

A.6B.5C.4D.3

8.在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范

围是()

A.(—8,-1)B.(1,+8)C.(-1,1)D.(—8,-1)u(1,

+°°)

9.已知实数x£[―1,1],yG[0,2],则点P(x,y)落在区域内的概率为()

10.函数y=(x+3)—1(a>0且aWl)的图象恒过定点A,若点A在直线++1=

0上，其中叫n均大于0,则+的最小值为.

11.已知=,a,be(0,1),则+的最小值为.

12.变量x,y满足约束条件若z=2x—y的最大值为2,则实数m=

13.（2019•上海）若x,y满足则x-2y的最大值为.

14.已知实数x,y满足则的取值范围是.

回扣6立体几何

1.概念理解

（1）四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方

体之间的关系.

（2）三视图

①三视图的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、

正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一

样宽，正侧一样高.

②三

视图

排列

规则：

俯视

图放

侧面展开

在正表面积体积

图

（主）

视图

的下

面，

长度

和正

（主）

视图

样；

侧

（左）

视图

放在

正

（主）

视图

的右

面，

身发

和正

（主）

视图

一样，

宽度

和俯

视图

样.

2.

柱、

锥、

台、

球体

的表

面积

和体

积

直棱S=2S底+

长方形「=S底,力

柱S侧

5=2Jir

圆柱长方形v=兀/•/

+2几

由若干二

s=s底+s

棱锥角/'=s底,力

侧

形构成

S=兀r+

圆锥扇形V—r•h

JI

s=s上底

由若干个「=（S+

棱台+s下底+s

梯形构成+S，）•力

侧

S—兀r'2V—兀（r+

圆台扇划、+,+

2

兀（r+r,）,h

M)/+

JIr

球S=4兀rSO=兀r3

3.平行、垂直关系的转化示意图

(1)

(2)线线垂直线面垂直面面垂直

(3)两个结论①0a//德)今bLa

1.混淆“点A在直线a上”和“直线a在平面a内”的数学符号关系，应表示

为A£a,aua.

2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几

何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何

体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.

3,易混淆几何体的表面积和侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面

积和所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体

积公式中的系数.

4.不清楚空间线面平行和垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理

和性质定理中的条件，导致判断出错.如由aGB=1,m±l,易误

得出的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中mua的限制条件.

5.注意图形的翻折和展开前后变和不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄

清楚变和不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系和数量关系去探求变

化后的元素在空间中的位置和数量关系.

6.几种角的范围：两条异面直线所成的角0。<a<90°两条相交直线所成的角

(夹角)0°<a<90°

直线的倾斜角0°<^<180°两个向量的夹角0°<<180°锐角0°<^<90°

1.如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为的等腰直角三角形，则这个

多面体最长一条棱长为（）

C.2D.3

2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧（左）

视图为（）

3.某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（）

A.723B.903C.1083D.1383

4.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的体积为

（）

A.4兀B.2兀

5.如图，在正方体一A1B1C1D1中，M,N分别为棱和棱1的中点，则异面直线

和所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.已知m,n表示两条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是（）

A.若m//a,n//a,则m〃nB.若m_La,nua,则m_Ln

C.若m_La,m±n,贝ljn〃aD.若m〃a,m±n,贝!Jn_La

7.已知三棱柱一A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱

柱的体积为，=1,=1,N=60。，则此球的表面积等于.

8.已知长方体一A，B，C，D‘，E,F,G,H分别是棱，/，B，C，,,中点,

从中任取两点确定的直线中，和平面,D，平行的有条.

9.如图，在三棱柱一A1B1C1中，侧棱1和侧面1B1的距离为2,侧面1B1的面

积为4,则三棱柱一A1B1C1的体积为.

10.如图，一A1B1C1D1为正方体，下面结论：

①〃平面②」；③」平面④异面直线和1所成角为60°.

错误的有.（把你认为错误的序号全部写上）

11.如图，在空间四边形中，Me,NE,若=,则直线和平面的位置关系是.

12.如图所示，在四棱锥P—中，_L底面，且底面各边长都相等，M是上的一动

点，当点M满足时，平面，平面.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案

，(或，，答案不唯一)

13.如图所示，已知斜四棱柱一A1B1C1D1各棱长都是2,Z=ZA1=6O°,E,

。分别是棱1,的中点，平面1A1L平面.

(1)求证：〃平面1；

(2)求证：±D1C；

(3)求几何体D—1的体积.

回扣7解析几何

1.直线方程的五种形式

(1)点斜式：y—yl=k(x—xl)(直线过点Pl(xl,yl),且斜率为k,不包括y轴

和平行于y轴的直线).

(2)斜截式：y=+b(b为直线1在y轴上的截距，且斜率为k,不包括y轴和平

行于y轴的直线).

⑶两点式：=(直线过点Pl(xl,yl),P2(x2,y2),且xlWx2,ylWy2,不包

括坐标轴和平行于坐标轴的直线).

(4)截距式：+=l(a、b分别为直线的横、纵截距，且aWO,bWO,不包括坐

标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).

⑸一般式：++C=0(其中A,B不同时为0).

2.直线的两种位置关系：当不重合的两条直线11和12的斜率存在时：

(1)两直线平行11〃120kl=k2.(2)两直线垂直11，120kl•k2=-l.

提醒：当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直,

此种情形易忽略.

3.三种距离公式

(l)A(xl,yl),B(x2,y2)两点间的距离：=.

(2)点到直线的距离：d=(其中点P(xO,yO),直线方程为++C=0).

(3)两平行线间的距离：d=(其中两平行线方程分别为11：++C1=O,12：+

+C2=0).

提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x,y的系数应对应相

等.

4.圆的方程的两种形式

(1)圆的标准方程：(x—a)2+(y—b)2=r2.

(2)圆的一般方程:x2+y2+++F=0(D2+E2-4F>0).

5.直线和圆、圆和圆的位置关系

(1)直线和圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法和几何判断法.

⑵圆和圆

的位置关

系：相

交、内

切、夕卜

切、夕卜

离、内含，

椭圆双曲线抛物线

代数判断

法和几何

判断法.

6.圆锥曲

线的定

义、标准

方程和几

何性质

名称

=点F不在直

11+|=

21-2=线1上，±1

定义

2&(2曲知)2a(2水虎|)于M

一二1

标准+=1/=2

(a>0,b>0)

方程(a>6>0)(夕>0)

(a>0,b>0)

图形

Wa,Wb

范围Na

(±a,0),(0,

顶点±b)(土a,0)(0,0)

几对称关于x轴，y轴和原点对称关于x轴

何性对称

性(,0)

隹占

八八、、(土c,0)

质

长轴长2a,实轴长2a,

轴

短轴长2b虚轴长2b

e=

离心e==

e—1

率(0〈e〈l)

(e>l)

7,直线和圆锥曲线的位置关系

判断方法：通过解直线方程和圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.

弦长公式：=1—x2|=1—y2].

8.范围、最值问题的常用解法

（1）几何法

①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度.

②圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为+R,最小值为一R（R为圆C的半

径）.

③过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过点P的直径，最短的弦为过点P

且和经过点P的直径垂直的弦.

④圆锥曲线上本身存在最值问题，如a,椭圆上两点间最大距离为2a（长轴长）；

b.双曲线上两点间最小距离为2a（实轴长）；c.椭圆上的点到焦点的距离的取值

范围为[a—c,a+c],a—c和a+c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小和最

大距离；d.在抛物线上的点中，顶点和抛物线的准线距离最近.

（2）代数法：把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基

本不等式等进行求解.

9.定点、定值问题的思路

求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x,y当作

常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数

都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x,y的方程

组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.

求证某几何量为定值，首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进

行化简、整理，根据已知条件列出必要的方程（或不等式），消去参数，最后推

出定值.

10.解决存在性问题的解题步骤

第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程（组）

或不等式（组）；

第二步：解此方程（组）或不等式（组），若有解则存在，若无解则不存在；

第三步：得出结论.

1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率和倾斜角的关系，导致由斜

率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.

2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等

设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为+=1；再如，过定点P（x0,y0）的

直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y—yO=k（x—x0）等.

3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两

条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.

4.在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重

合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合.

5.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公

式，导致错解.

6.在圆的标准方程中，