人教版八年级上册数学期末中考复习知识点梳理

人教版八年级上册数学期末中考复习知识点梳理（全）

第十一章三角形

三角形的有关概念

1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

边：组成三角形的线段。（AB,BC,CA或a,b,c）

2.基本元素:顶点：相邻两边的公共端点。（A,B,C）

内角：相邻两边组成的角。

3.表示法：顶点是A,B,C的三角形，记作aABC,读作“三角形ABC”。

11.1与三角形有关的线段

11.1.1三角形的边

1・三角形的分类

1.等腰三角形

B

（①定义：两条边相等的三角形。

j②在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边。

（③两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

2.等边三角形

①定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。

②等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。

（等腰三角形是特殊的等边三角形X）

3.三角形的分类:

‘锐角三角形

（1）按内角的大小分类直角三角形

钝角三角形

三边都不相等的三角形

（2）按边的相等关系分类底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

※判断三角形形状的方法：首先确定其分类标准，看是按边分类还是按角分类。若按角分类，则看这

个三角形的最大内角是哪一类角；若按边分类，则看三角形是否有边相等。

2.三角形三边的大小关系

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1.三角形的三边关系

文字语言数学语言

三角形两边的和大于第三边a+b>c；b+c>a；a

+c>b

三角形两边的差小于第三边a—b<c；b—c>a；a

2应用

①三条线段能否构成三角形：

将三角形两条较短线段求和与最长线段比较，若两短线段之和大于最长线段，则这三条线段能组成三

角形，否则不能。

②确定第三边的取值范围：

已知两边长分别为a,b,则第三边c的取值范围是：|a-b|<c<a+b

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

1•高

①定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间

的线段叫做三角形的这条边上的高。/

1°AD是^ABC的边BC上的高

②几何语言:

2°AD1BC于点D

※①锐角三角形的三条高线交于一点，这一点在三角形的内部。

②直角三角形的三条高线交于一点，这一点在三角形的直角顶点上。

③钝角三角形的三条高线所在直线交于一点，这一点在三角形的外部。

2.中线

①定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的

这条边上的中线。/

(1°AD是AABC的边BC上的中线工---

②几何语言：｛2°点D是BC的中点

13。BD=DC=：BC

※三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。

③三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

3•角平分线

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①定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点

和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

<1°AD是△ABC的角平分线Boc

②几何语言：（20AD平分ZBAC,交BC于点D

13。ZBAD=ZCAD=2AC

※三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线。

11.1.3三角形的稳定性

三角形的三条边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性。

四条边及四条边以上的图形都不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形。

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

1.三角形内角和定理

1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180。

※三角形的三个内角中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角，且三角形中最大的内角不小于60。。

2.直角三角形的性质与判定

1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

2.表示法：直角三角形ABC可以写成RL^ABC。

3.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。

11.2.2三角形的外角

1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外A

角。

2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。如图所示，

BCD

ZACD=ZA+ZBo

3.三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角,三个不同顶点处的外角的和叫做三角形

的外角和，三角形的外角和为360。。

※三角形中关于角平分线的重要结论：

A6

BCD/。

BC

®0B'"分别平分（两内角）②呵分别平分（两外知

NABC/ACBOC“BC/BCE③OB、OC分另IJ平分NABC,NACD（―内一夕卜：

“OC=9。。+亚4ZBOC=90°-1ZAABOC=1-AA

2

11.3多边形及其内角和

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11.3.1多边形

1.定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形

如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。

※多边形用表示它的各个顶点的大写字母表示。表示多边形要按顶点的顺序书写，必须按顺时针或逆

时针的顺序排列。

2.多边形相关概念

①边：组成多边形的各条线段

②顶点：相邻两边的公共端点

③内角：多边形相邻两边组成的角

④外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角

⑤对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段

※①从多边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把n边形分成（n-2）

个三角形；

②n边形共有怨条对角线。

3.凸多边形：多边形可分为凸多边形和凹多边形。

画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸

多边形。

4.正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

X“各个角都相等，各条边都相等”是正多边形的两个必备条件，二者缺一不可。

11.3.2多边形的内角和

L多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）xl80°（推导）

Xn边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1,内角和增加180。

2.多边形的外角和等于360°

正多边形的每个外角等于随

n

※①n边形有2n个外角，但n边形的外角和是每个顶点处各取一个外角的和，不是所有外角的和。

②多边形的外角和恒等于360。，与边数的多少没有关系。

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

1.全等形

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全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

※①全等形的形状相同、大小相等。

②两个图形是否全等只与这两个图形的形状、大小有关，与图形所在的位置无关。

③一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋

转前后的图形全等

④两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。

建•全等三角形的有关概念和表示方法

1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2.全等三角形中的对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边

叫做对应边，重合的角叫做对应角。

3.全等三角形的表示：全等用符号“会”表示，读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应

顶点的字母写在对应的位置上。

如图，AABC和4DEF全等，记作^ABC咨人乂

读作“三角形ABC全等于三角形DEF"。其中，

/.A/粗A

对应顶点：点A与点D,点B与点E,点C与点F；CEF

对应边：AB与DE,AC与DF,BC与EF；

对应角：NA与ND,NB与NE,NC与NF.

4.对应元素的确定方法

（1）字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如ACAB之△FDE,则

AB与DE,AC与DF,BC与EF是对应边，NA与ND,NB与NE,NC与NF是对应角；

（2）图形位置确定法：①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角。

（3）图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边

（角）。

（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；全等三角形对应边所对

的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

5.三种常见的全等类型

（1）平移型

（2）翻折型

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DA

（3）旋转型

3.全等三角形的性质

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

※全等三角形的对应元素相等，对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对

应边上的角平分线，周长、面积等。

12.2三角形全等的判定

1.（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）

书写格式：如图，在^ABC和△A'B'C'中,

AB=A'B'

BC=B'C'

AC=A'C'

.'.△ABC咨A'B'C'(SSS)

※在书写两个三角形全等时，要将对应顶点写在对应位置上。

※题目中隐含的相等的边：①公共边；②等边加（或减）等边，其和（或差）仍相等；③由中线定义

得出线段相等。

（2）用直尺和圆规作一个角等于已知角（见教材37页）

2•两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）

注：用“SAS”判定两个三角形全等时，对应相等的三对元素中的角必须是对应相等的两边的夹角,

而不是其中一边的对角。

书写格式：如图，在AABC和△A'B'C'中,

(AB=A'B'

(ZB=ZBZ

(BC=B'C'

.'.△ABC您A'B'C'(SAS)

X“边边角”不能判定两个三角形全等，即两边和一边的对角分别相

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等不能作为判定两个三角形全等的条件。（如图4ABC与4DEG并不全等。）

3•两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）

注：用“ASA”判定两个三角形全等时，对应相等的三对元素中的边必须是相等的两个角的夹边，而不

是其中一角的对边。

书写格式：如图，在AABC和△A'B'C'中，//

（/=

<BC=B'C

Izc=ZC

.'.△ABCmA'B'C'（ASA）

※常见的隐含的等角有：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（或减）等角，其和（或差）仍相

等；④同角或等角的余（或补）角相等；⑤由角平分线的定义得出角相等；⑥由垂直的定义得出角相

等；⑦由平行线得到同位角或内错角相等；⑧实际问题中，''太阳光可以看成是平行的”“光的反射

角等于入射角”等。

4•两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

※①用“AAS”判定两个三角形全等时，要注意边是其中一个角的对边。

②由“ASA”和“AAS”可知，如果两个三角形具备两个角和一条边对应相等，就可以判定其全等。

书写格式：如图，在AABC和△A'B'C'中，A«

fAB=A®

jZB=ZB'—XB.N/_Ac,

（BC=B'C'

.'.△ABC咨A'B'C'（AAS）

总结：

①判定两个三角形全等必须具备的三个条件中，“边”是必不可少的。三个角分别相等的两个三角形不

一定全等

②在两个三角形的六个元素中（三条边和三个角）中，能判定两个三角形全等的组合有4个，分别是

“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”,不能判定两个三角形全等的组合是“AAA”和“SSA”

5.直角三角形全等的判定方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜

边、直角边”或“HL”）

X“HL”是判定两个直角三角形全等特有的方法，对于一般三角形不/人A

适用。

BXNJCB'ZJC'

书写格式：如图，在Rt^ABC和RtZ^A'B'C'中，

CAB=A'B'

（BC=B'C'

第7页共24页

.,.比△ABCmRtA'B'C'(HL)

※①用“HL”证明两个直角三角形全等，在书写时，两个三角形符号前一定要加上“Rt”：

②判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用

12.3角平分线的性质

1.作已知角的平分线(见教材48页)

2.角平分线的性质

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

※①“点”是指角的平分线上任意位置的点。

②“点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度。

3.证明几何问题的一般步骤。

一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即

(1)明确命题中的已知和求证；

(2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；

(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。

※①所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性。在画图时，要考虑是否存在不同的情形，若存在，

则要分别画出图形，再分别进行证明。

②证明过程中的每一步推理都要有依据，切忌想当然。推理的依据可以是已知条件，也可以是已经

学过的定义、定理和公理。

4.角的平分线的判定

角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

第十三章轴对称

13.1轴对称

13.1.1轴对称

1.轴对称图形

1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做

轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。

※①轴对称图形是对一个图形而言的，它是一个图形自身的对称性，它被对称轴分成的两部分能够完

全重合。

②一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条。

③正多边形都是轴对称图形，且正n边形有n条对称轴。

2.轴对称

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1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关

于这条直线(成轴)对称，这条直线叫对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

2.轴对称图形和轴对称的区别与联系

轴对称图形轴对称

关系

图例

▽

区别对象不同一个图形两个图形

意义不同一个形状特殊的图形两个图形之间的特殊关系

对称点位置对称点在这个图形上对称点分别在这两个图形上

不同

对称轴数量一条或多条只有一条

联系(1)都能沿某条直线折叠后互相重合

(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形

沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称

13.1.2线段的垂直平分线的性质

1.线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

2.线段垂直平分线的两个结论

(1)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

(2)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

※三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等。

3.轴对称和轴对称图形的性质

轴对称的性质如果两个图形关于某条直线M

AA'

对称，那么对称轴是任何一八A

对对应点所连线段的垂直平

BB'

分线。N

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轴对称图形的性轴对称图形的对称轴是任何

质一对对应点所连线段的垂直

LJ

平分线。

BB'

※①轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，成轴对称的两个图形也全等，但全等的两个图形不一定

成轴对称。

②成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行（或在一条直线上）或相交于一点，如果相交，交

点一点在对称轴上。

4.尺规作图

（1）经过已知直线外一点作这条直线的垂线。（见教材62页）

（2）作线段的垂直平分线。（见教材63页）

（3）作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴。

1。作对称轴的依据：

如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分

线

2。作对称轴的步骤

①找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；

②连：连接这对对应点；

③作：作出对应点所连线段的垂直平分线；

这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴。

※①找对应点时，一般找图形的顶点或转折点，这样作出的图形更准确。

②关于作对称轴，当两个图形成轴对称时，任意找一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线

即可。而对于轴对称图形，由于对称轴不一定只有一条，所以要注意多角度观察，选取不同类型

的对应点，作出其所有的对称轴。

13.2画轴对称图形

L轴对称变换：

由一个平面图形可以得到与它关于一条直线1对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全形同。

2.轴对称变换的性质

（1）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线1的对称点。

（2）连接任意一对对应点的线段被对称轴平分。

3.画轴对称图形

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几何图形都可以看作由点组成。对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称

点，连接这些对称点。就可以得到原图形的轴对称图形。

画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找、二画、三连”。

1。找：在原图形上找特殊点（如线段端点）。

2。画出各个特殊点关于对称轴的对称点。

3。依次连接各对称点。

※①特殊点对画轴对称图形特别重要，找特殊点时，要把确定图形形状的特殊点找全，否则画出的图

形将不准确或不完整。

②常见的特殊点，除线段的端点外，还有线与线的交点、中点等。

4.关于坐标轴对称的点的坐标规律

（1）点（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）,其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数。

（2）点（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（-x,y）,其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数。

5.在直角坐标系中画出与已知图形关于某直线成轴对称图形的方法

1。计算：计算出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标。

2。描点：根据对称点的坐标描点。

3。连接：按原图对应连接所描各点得到对称图形。

13.3等腰三角形

13.3.1等腰三角形

1•等腰三角形的性质

1.性质1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）

2.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合。（简写成“三线合一”）

等腰三角形的其他性质：

①等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等。

②等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

③等腰三角形底边上的高（或底边上的中线或顶角平分线）上任意一点到两腰的距离相等。

④若等腰三角形的顶角为90。，则此三角形为等腰直角三角形，其两底角均为45。。

2.等腰三角形的判定

判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边”）

13.3.2等边三角形

1.等边三角形的性质

等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。。

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※①等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。

②等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。

③等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互相重合，即“三线合一”；每条边上的中

线和高的长度都相等，且所在的

直线都是等边三角形的对称轴。

2.等边三角形的判定

1.判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

2.判定方法2：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

※等边三角形判定方法的选用：若已知三边关系，一般选用定义判定；若已知三角关系，一般选用判

定方法1;若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定方法2。

3.含30°角的直角三角形的性质

在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

※①该性质是“含30°角的直角三角形”所特有的，一般的直角三角形没有这个性质。

②这一性质与等边三角形联系密切，在等边三角形中作高可得含30°的直角三角形。

③该性质反过来说也成立。直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于

30°o

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法

14.1.1同底数塞的乘法

同底数寨的乘法的性质：同底数基相乘，底数不变，指数相加。

符号表示：am-a11=am+n（m,n都是正整数）。

※①单个字母或数字可以看成指数为1的累，参与同底数暴的乘法运算时，不能忽略指数为1的累。

②同底数寨的乘法的性质也适用于三个及三个以上的同底数嘉相乘，KPam-an-aP=am+n+P（m.n、

p都是正整数）。

③同底数寨的乘法性质可以逆用，即am+n=am.an（m1n都是正整数）。

④在暴的运算中，经常用到以下变形：

（an（n为正偶数）-L、nf（b—a）11（n为正偶数）

I—a11（n为正奇数）l一（b—a）n（n为正奇数）

※①同底数第相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式。

②底数不同时，若能化成相同底数，则先化成相同底数，再利用同底数得的乘法性质计算。

14.1.2暮的乘方

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幕的乘方的意义：累的乘方是指几个相同的易相乘。

幕的乘方的性质：募的乘方，底数不变，指数相乘。

符号表示：（am）n=amn（m,n都是正整数）

※①寨的乘方的性质可推广为[（am）n]P=amnP（m,n,p都是正整数）。

②嘉的乘方性质可以逆用，即a""1=（am）n=gn）m。

③在暴的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式。

14.1.3积的乘方

积的乘方的性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的哥相乘。

符号表示：（ab）n=anbn（n为正整数）。

※①当底数中含有”时，应将其视为“-1”，作为一个因式，防止漏乘。

②积的乘方的性质也适用于三个及三个以上因式的积的乘方，即（abc）n=anbncn（n为正整数）。

③积的乘方的性质可以逆用，即antjn=（ab）n（n为正整数）。

14.1.4整式的乘法

1.单项式与单项式相乘

1.单项式乘法法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数募分别相乘，对于只在一

个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

※①单项式与单项式相乘的结果仍为单项式。

②运用单项式乘法法则进行计算时，不能与合并同类项混淆。

③只在一个单项式里含有的字母，计算时不要遗漏。

2.单项式与单项式相乘的步骤：

（1）确定积的系数，积的系数等于各项系数的积。

（2）同底数募相乘，底数不变，指数相加。

（3）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式。

※①对于三个或三个以上的单项式相乘，单项式乘法法则同样适用。

②单项式乘以单项式，若有乘方、乘法混合运算，应按“先乘方再乘法”的运算顺序进行。

③单项式乘以单项式的结果仍是单项式，对于累的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体进行

运算。

2.单项式与多项式相乘

1.单项式乘多项式法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所

得的积相加。

※多项式中的每一项都包括它前面的符号，积的符号由单项式的符号与多项式各项的符号共同决定。

第13页共24页

2.单项式与多项式相乘的步骤：

（1）利用乘法分配律，转化为单项式乘以单项式。

（2）将单项式与单项式相乘的结果相加。

※①单项式与单项式相乘，实质上是利用乘法分配律将其转化为几个单项式相乘的和的形式

②单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。

3.多项式与多项式相乘

1.多项式乘法法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一

项，再把所得的积相加。

※多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，做到不重不漏。

2.多项式与多项式相乘的步骤：

（1）先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项；

（2）把各乘积相加；

（3）有同类项的要合并同类项；

（4）通常把结果整理成按某一字母的降易排列。

※①多项式乘法法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式。

②多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，若有同类项，一定要及时合并同类项，在合并同类项之

前，积的项数应该是两个多项式的项数之积。

③多项式乘法法则也适用于多个多项式相乘，即按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积与第三个

多项式相乘，依此类推。

4.同底数幕的除法

1.同底数塞的除法的性质：同底数易相除，底数不变，指数相减。

2.符号表示：am4-a11=am-n（a/）,m,n都是正整数，并且m>n）

※①同底数第的除法的性质也适用于三个及三个以上的同底数寨相除，即am+an+aP=am-n-p

（a#0,m、n、p都是正整数，并且m>n+p）。

②同底数寨的除法性质可以逆用，即am-n=am-a11（aWO,m,n都是正整数）。

5•零指数幕

1.零指数幕的性质：任何不等于0的数的0次募都等于1。

2.符号表示：a0=1（aWO）。

※①零指数呆中的底数可以是单项式，也可以是多项式，但不可以是0。

②因为a=0时，a。无意义，所以a。有意义的条件是aWO,科据此确定底数中所含字母的取值范围。

妗.单项式除以单项式

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1.单项式除法法则：单项式相除，把系数与同底数易分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有

的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

2.单项式除以单项式的运算步骤

（1）把系数相除，所得结果作为商的系数；

（2）把同底数募分别相除，所得结果作为商的因式；

（3）只在被除式里含有的字母，要连同它的指数作为商的一个因式。

※①单项式除以单项式时，注意单项式的系数应包括它前面的符号。

②相同的两个单项式相除，结果是1,而不是0。

③不要遗漏只在被除式中出现而除式中没有的字母及字母的指数。

7.多项式除以单项式

1.多项式除以多项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得

的商相加

2.多项式除以单项式的步骤：

（1）多项式的每一项分别除以单项式；

（2）把所得的商相加。

※①多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项。

②计算时，多项式的各项包括它前面的符号，要注意符号的变化。

14.2乘法公式

1•平方差公式

22

1.平方差公式：（a+b）（a-b）=a-bo

语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

2.平方差公式的特点：

①等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

②等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。

※①平方差公式中的字母a,b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可

以用这个公式。

②在运用公式时，要分清哪个相当于公式中的a,哪个相当于公式中的b,不要混淆。

※平方差公式的变化及应用：

变化形式应用举例

1.位置变化(b+a)(—b+a)=(a+b)(a—b)=a2—b2

2.符号变化(—a—b)(a—b)=(—b—a)(—b+a)=(—b)2—a2=b2—a2

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3.系数变化(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2

4.指数变化(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4

5.增项变化(a—b+c)(a—b—c)=(a—b)2—c2

6.连用公式变(a+b)(a—b)(a2+b2)=(a2—b2)(a2+b2)=a4—b4

化

2.完全平方公式

1.完全平方公式：

①（a+b）2=a2+2ab+b2

②（a—b）2—a2—2ab+b2

语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

2.完全平方公式的特点

（1）两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同。

（2）两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间

一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同。

※完全平方公式中的字母a,b可以是单项式也可以是多项式，符合公式的结构特征即可。

3•添括号法则

添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，

括到括号里的各项都改变符号。

14.3因式分解

1.因式分解

因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,

也叫做把这个多项式分解因式。

※①因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成暴的形式。

②分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

2.用提公因式法分解因式

1.公因式：一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

2.公因式的确定：

①确定公因式的系数：当多项式中各项系数都是整数时，公因式的系数是多项式中各项系数的最大公

因数；当多项式中各项系数都是分数时，公因式的系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公

倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数；

②确定相同字母：公因式应取多项式各项中相同的字母；

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③确定公因式中相同字母的指数：取相同字母的指数的最小值作为公因式中此字母的指数；

④确定公因式：由步骤①②③写出多项式的公因式。

※①公因式必须是多项式中各项都含有的公共的因式，只在某一项或某些项中存在而其他项中没有

的因式，不能作为公因式的一部分。

②公因式可以是数，可以是单项式或多项式，也可以是多项式的寨的形式。

③若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式；若多项式

各项中含有相同的多项式因式，

则应将其看成一个整体，不要拆开。

3.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公

因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

※使用提公因式法分解因式时，所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式

中不再含有公因式。

4.提公因式法的一般步骤：

(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；

(2)提公因式并确定另一个因式；用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因

式；

(3)把多项式写成两个因式的积的形式。

※①当多项式首项系数是负数时，一般应先提出“-”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号。

如一X2+2x——(x2—2x)=—x(x—2)o

②多项式有几项，提取公因式后，各项的剩余部分组成的新多项式就有几项，不能漏项。

③当公因式与多项式中某一项相同时，提取公因式后该项剩余的项为“1”，一定不要漏掉。

3.用平方差公式分解因式

1.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

※其中a,b可以是单项式，也可以是多项式。

2.平方差公式的特点：

(1)等号的左边是一个二项式，两项都是平方的形式且符号相反。

(2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和，另一个二项式是这两个数的差。

※当多项式各项有公因式时，要先提公因式，再看能否用平方差公式分解。用平方差公式分解因式时,

注意确定哪些项是公式中的a,哪些是公式中的b。注意因式分解必须进行到每一个多项式因式都不

能再分解为止。

4.用完全平方公式分解因式

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L完全平方式：我们把a?+2ab+b?和a?-2ab+b?这样的式子叫做完全平方式。

2.完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2—2ab+b2=(a—b)2

※①完全平方公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式；

②利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式。

3.完全平方式的特点

(1)等号左边都是二次三项式，其中首尾两项分别是两个数(或两个式子)的平方。中间一项是这

两个数(或这两个式子)的积的2倍，符号正负都可以。

(2)等号右边是这两个数(或这两个式子)的和(或差)的平方。当等号中间的乘积项与首尾两项

符号相同时，等号右边是两数和的平方；当等号左边中间的乘积项与首尾两项的符号相反时，等号右

边是两数差的平方。

4.公式法：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有

特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。

5.因式分解的一般步骤

(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当多项式的各项没有公因式时(或提取公因式

后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；

(2)当不能提取公因式或用公因式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式

或能用公式法的形式，再分解因式；

(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了。

5.x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解〔

(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq推出x2+(p+q)x+pq=(x+p)

(x+q)------------

1xq+1xp=q+p--一次项系数

利用此式，可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。

上述分解因式的过程也可以用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上

角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使

其等于一次项系数。

※当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项的符号相同；当常数项是负数时,

可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项的符号相同。

第十五章分式

15.1分式

1.分式的概念

1.分式：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子］叫做分式。分式J中，A

DD

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叫做分子，B叫做分母。

2.分式必须满足的三个条件：①形如J的式子；②A,B都是整式；③分母B中含有字母。

D

3

※判断一个式子是否为分式，不能将其化简后再判断，只需看原式是否符合分式方程的概念，如旦

m

是分式。

※分式可以看成是两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具

有括号的作用，例如，箫可表示为(x-y)+(x+y),但(x-y)(x+y)是运算式，不是分式，因为它

不符合£的形式。

O

2.分式有意义、无意义的条件

L分式有意义的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B/)

时，分式［才有意义。

D

2.分式无意义的条件：分式的分母为0,即当B=0时，分式J无意义。

※①分式是否有意义，只与分式中分母的值是否为0有关，而与分子的值是否为0无关。

②讨论分式有无意义，一定要针对原分式讨论，不能将分式化简后再讨论。如化简分式W=x+3,

x-3

对x+3讨论，就得到x取任何实

数时分式都有意义，显然错误。实际上xW3时分式才有意义。

3.分式的值为0的条件

分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

※分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式］的值为0的条件是A=o且B和。

D

※分式的值的讨论

⑴餐的值为正数,则卮：或层

⑵若加值为负数，则以:A<0

或

B>0

(3)若3的值为1,则人=8,且BR0

D

(4)若金的值为-1,则人=/，且B#0

4.分式的基本性质

1.分式的基本性质:

基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值

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不变。

式子表示"篝,”篝《和），其中A,B,C是整式

注意事项（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算；

（2）乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式

用途进行分式的恒等边形。

2.分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变两处，分式的值不变。

m―tx―\A—AA-A—p.A—AA—A

用式子表不：自=_g=_万二石或一g二百=万=一万。

※①当分式的分子、分母是多项式时，不要把分子或分母的第一项的符号误认为是分子或分母的符

号。

②若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括起来，再把

分子和分母乘（或除以）同一个不为0的整式。例如口=尹萼，其中mWO。

x+y（x+y）m

5.分式的约分，最简分式

1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

※约分不改变分式的值，但可能改变分式中字母的取值范围，因此在确定分式中字母的取值范围时，

不能进行约分。

2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

3.约分的一般方法

（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式，即分子、分母系数的最大

公约数和分子、分母中的相同字母的最低次哥的乘积。

（2）若分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去。

※①约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分

子和分母都是乘积的形式。

②约分一定要彻底，要约到分子与分母没有公因式为止，即约分的结果必须是最简分式或整式。

5分式的通分

1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分

式，叫做分式的通分。

2.最简公分母：通分时，，一般取各分母的所有因式的最高次嘉的积作公分母，这样的分母叫做最简公

分母。

3.确定最简公分母的一般方法

（1）若各分母是单项式，最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次易和所有不同

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字母及其指数的乘积；

（2）若各分母中有多项式，一般要先分解因式，再按照分母都是单项式求最简公分母的方法，从系

数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母。

※确定几个因式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数。

15.2分式的运算

15.2.1分式的乘除

1.分式的乘除

1•分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

用式子表示：（c_ac

d—b^d°

2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

m—tx—7*—H*—acada,d

用式手表示：--5--=---=—o

bdbcbe

※分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算，若除式（或被除式）是整式，可把它看作分母是1的

“分式”，然后按分式的乘除法则运算。

X（1）分式与分式相乘，①若分子和分母都是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因

式，将结果化为最简分式或整式②若分子、分母是多项式，则先将分子、分母分解因式，再相乘，且

其结果要化为最简分式或整式。

（2）分式和整式相乘，只需把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘，用其结果作为

积的分子，分母不变；当整式是多项式时，同样要先分解因式。

（3）运用分式乘除法法则运算时，运算结果的符号的确定方法与分数的乘除的符号的确定方法相

同，且其结果要通过约分化为最简分式或整式。

2.分式的乘方

分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

用式子表示:件）n=V（n是正整数）。

\b/bn

※①a,b分别表示分子与分母，它们可以是单项式，也可以是多项式。

②分式的乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同：正分式的任何

次赛都为正；负分式的偶次嘉为正，奇次嘉为负。

③分式乘方时，若分式的分子或分母是多项式，应把分子、分母分别看作一个整体乘方，避免出现

类似（£）2=/考的错误。

15.2.2分式的加减

1.分式的加减

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1.同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示2