三角函数及解三角形专题十讲义高三数学一轮复习

人教A版数学三角函数及解三角形专题十知识点一二倍角的余弦公式,正弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形,求三角形中的边长或周长的最值或范围,三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系,基本不等式求积的最大值典例1、在①，②，③且这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______.（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若D为边BC的中点，且，求△ABC周长的最大值.拓展练习：在中，内角的对边分别为，且.（1）求A;（2）请从问题①②中任选一个作答（若①②都做，则按①的作答计分）①若，求周长的取值范围；②求的最大值.

典例2、在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在锐角中，内角、、，的对边分别是、、，且______（1）求角的大小；（2）若，求周长的范围．

拓展练习：在锐角中，，______.（1）求角B；（2）求的周长l的取值范围.①且；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.）典例3、在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角所对的边分别是，且__________.（1）求角；（2）若点满足，且线段，求的最大值.

拓展练习：请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①；②；③．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．（1）求角C；（2）若，求△ABC周长的取值范围．知识点二正弦定理解三角形,正弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形典例4、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.（1）求角B的大小；（2）若，D为边上的一点，，且是的平分线，求的面积.

拓展练习：在中，，，分别为角、、的对边，．（1）求；（2）若角的平分线交于，且，，求．典例5、在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，（1）求角B的大小；（2）若AD是BAC的内角平分线，当ABC面积最大时，求AD的长．

拓展练习：记的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求的大小；（2）若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.典例6、在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若角的平分线交于且，求的最小值.

拓展练习：在锐角中，内角的对边分别为，且满足：（1）求角的大小；（2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围．人教A版数学三角函数及解三角形专题十答案典例1、答案：（1）条件选择见解析，证明见解析（2）解：（1）方案一：选条件①.由及正弦定理，得，所以，即，又，，所以或（不合题意，舍去），故△ABC是等腰三角形.方案二：选条件②.由，得，所以，由正弦定理，得，故，所以△ABC为等腰三角形.方案三：选条件③.由及正弦定理，得所以，得，又，，所以或，又，故，所以△ABC为等腰三角形.（2）由（1）知，△ABC为等腰三角形，且.在△ABD中，由余弦定理，得，化简得.设△ABC的周长为l，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以△ABC周长的最大值.拓展练习：答案：（1）（2）见解析解：（1）根据正弦定理，又，，又，；选①由余弦定理得，,，，则，解得，又，周长的取值范围是.（2）选②，,所以，故，，所以当，即，此时,取得最大值.典例2、答案：（1）条件选择见解析，（2）解：（1）选①，由可得，，则，可得，；选②，由可得，即，即，，则，故，；选③，由及正弦定理可得，、，则，所以，，故，，，因此，.（2）由正弦定理可得，则，，，因为为锐角三角形，则，可得，所以，，则，故.拓展练习：答案：（1）.（2）.解：（1）选①，在锐角中,∵,且，∴，即，∵.选②，，∵，∴，∵,.选③，∵，∴由正弦定理可得，∴，∵在中,，∴1，即，∵.（2）由已知，结合正弦定理可得，则△ABC的周长，∵在锐角中,，解得,∴，∴,故的周长l的取值范围为.典例3、答案：（1）.（2）6.解：（1）选①，由及正弦定理可得:,所以，，因为，所以，则,所以故；选②，由及正弦定理可得，所以，，∵，所以，则.如图：（2）点满足，则,故，又，故，即，即，又，所以，当其仅当时取等号，即，故，即得最大值为6.拓展练习：答案：（1）（2）．解：（1）选①，由得：，即，所以，因为，故角；选②，由得：，，所以，因为，，所以，解得：；选③，因为，又因为，所以，∴，∵，∴，∴，因为，所以．（2）根据（1）可知：，又因为，由余弦定理得：，所以，即，当且仅当时取得等号，又因为根据三角形的三边关系有：所以，所以△ABC周长的取值范围为．典例4、答案：（1）（2）解：（1），又，则，即，又，则；（2）由平分，，，则有：，即，在中，由余弦定理可得：，又，则有：，联立，可得：，解得：或(舍去)，故.拓展练习：答案：（1）​；（2）​解：（1）因为，所以，即，即，所以，因为，所以.（2）因为角​的平分线​交​于​，且，由角平分线定理得：，又，即，所以，即，所以，，由余弦定理得，，所以.典例5、答案：（1）；（2）．解：（1）因为，由正弦定理可得，由余弦定理得，又，所以．（2）在中，由余弦定理得，则，即.∵，，∴，当且仅当时，，所以.此时，.在中，，由正弦定理得.拓展练习：答案：（1）（2）解：（1）由正弦定理得，得，因为，所以，即.（2）因为，所以.由余弦定理得，得（当且仅当时，等号成立），即.因为，所以.因为，所以.因为函数在上单调递增，所以，所以，即.故的最小值为.典例6、答案：（1）（2）解：（1），即，即.由正弦定理得，，，故.，，故，又，故，故；（2），设，，根据向量的平行四边形法则：，即，，又，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为.拓展练习：答案：（1）（2）解：（1）因为所以，即所以，所