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文档简介
广东省三校2025届高中毕业生复习统一检测试题数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线:的左右焦点分别为,,为双曲线上一点,为双曲线C渐近线上一点,,均位于第一象限,且,,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.已知圆锥的高为3,底面半径为,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积与圆锥的体积的比值为()A. B. C. D.3.设,,则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示,俯视图中的两个小三角形全等,则()A.PA,PB,PC两两垂直 B.三棱锥P-ABC的体积为C. D.三棱锥P-ABC的侧面积为5.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合中的元素共有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个6.已知,,,是球的球面上四个不同的点,若,且平面平面,则球的表面积为()A. B. C. D.7.在边长为1的等边三角形中,点E是中点,点F是中点,则()A. B. C. D.8.如图,平面与平面相交于,,,点,点,则下列叙述错误的是()A.直线与异面B.过只有唯一平面与平行C.过点只能作唯一平面与垂直D.过一定能作一平面与垂直9.已知直线与圆有公共点,则的最大值为()A.4 B. C. D.10.已知为实数集,,,则()A. B. C. D.11.已知函数,则()A.1 B.2 C.3 D.412.中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是()A.每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数在上的最小值和最大值分别是_____________.14.已知函数图象上一点处的切线方程为,则_______.15.已知数列的前项和公式为,则数列的通项公式为___.16.若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,则a1=_____,a1+a2+…+a5=____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)若函数在上单调递减,且函数在上单调递增,求实数的值;(2)求证:(,且).18.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若函数的定义域为,求实数的取值范围.19.(12分)已知数列满足且(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.20.(12分)[选修45:不等式选讲]已知都是正实数,且,求证:.21.(12分)已知中,,,是上一点.(1)若,求的长;(2)若,,求的值.22.(10分)如图,在四棱锥中,平面,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】由双曲线的方程的左右焦点分别为,为双曲线上的一点,为双曲线的渐近线上的一点,且都位于第一象限,且,可知为的三等分点,且,点在直线上,并且,则,,设,则,解得,即,代入双曲线的方程可得,解得,故选D.点睛:本题考查了双曲线的几何性质,离心率的求法,考查了转化思想以及运算能力,双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).2.B【解析】
计算求半径为,再计算球体积和圆锥体积,计算得到答案.【详解】如图所示:设球半径为,则,解得.故求体积为:,圆锥的体积:,故.故选:.本题考查了圆锥,球体积,圆锥的外接球问题,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3.A【解析】
根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.【详解】若,,则,可得;若,可得,无法得到,所以“”是“”的充分而不必要条件.所以本题答案为A.本题考查充要条件的定义,判断充要条件的方法是:①若为真命题且为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若为假命题且为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若为真命题且为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若为假命题且为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.4.C【解析】
根据三视图,可得三棱锥P-ABC的直观图,然后再计算可得.【详解】解:根据三视图,可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示,其中D为AB的中点,底面ABC.所以三棱锥P-ABC的体积为,,,,,、不可能垂直,即不可能两两垂直,,.三棱锥P-ABC的侧面积为.故正确的为C.故选:C.本题考查三视图还原直观图,以及三棱锥的表面积、体积的计算问题,属于中档题.5.A【解析】试题分析:,,所以,即集合中共有3个元素,故选A.考点:集合的运算.6.A【解析】
由题意画出图形,求出多面体外接球的半径,代入表面积公式得答案.【详解】如图,取BC中点G,连接AG,DG,则,,分别取与的外心E,F,分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线,相交于O,则O为四面体的球心,由,得正方形OEGF的边长为,则,四面体的外接球的半径,球O的表面积为.故选A.本题考查多面体外接球表面积的求法,考查空间想象能力与思维能力,是中档题.7.C【解析】
根据平面向量基本定理,用来表示,然后利用数量积公式,简单计算,可得结果.【详解】由题可知:点E是中点,点F是中点,所以又所以则故选:C本题考查平面向量基本定理以及数量积公式,掌握公式,细心观察,属基础题.8.D【解析】
根据异面直线的判定定理、定义和性质,结合线面垂直的关系,对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面,则A,D,B,C共面,则AB,CD共面,与,矛盾,故正确.B.根据异面直线的性质知,过只有唯一平面与平行,故正确.C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知,故正确.D.根据异面直线的性质知,过不一定能作一平面与垂直,故错误.故选:D本题主要考查异面直线的定义,性质以及线面关系,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.9.C【解析】
根据表示圆和直线与圆有公共点,得到,再利用二次函数的性质求解.【详解】因为表示圆,所以,解得,因为直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离,即,解得,此时,因为,在递增,所以的最大值.故选:C本题主要考查圆的方程,直线与圆的位置关系以及二次函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.10.C【解析】
求出集合,,,由此能求出.【详解】为实数集,,,或,.故选:.本题考查交集、补集的求法,考查交集、补集的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.11.C【解析】
结合分段函数的解析式,先求出,进而可求出.【详解】由题意可得,则.故选:C.本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.12.D【解析】
由折线图逐项分析即可求解【详解】选项,显然正确;对于,,选项正确;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列,故错.故选:D本题考查统计的知识,考查数据处理能力和应用意识,是基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
求导,研究函数单调性,分析,即得解【详解】由题意得,,令,解得,令,解得.在上递减,在递增.,而,故在区间上的最小值和最大值分别是.故答案为:本题考查了导数在函数最值的求解中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题14.1【解析】
求出导函数,由切线方程得切线斜率和切点坐标,从而可求得.【详解】由题意,∵函数图象在点处的切线方程为,∴,解得,∴.故答案为:1.本题考查导数的几何意义,求出导函数是解题基础,15.【解析】
由题意,根据数列的通项与前n项和之间的关系,即可求得数列的通项公式.【详解】由题意,可知当时,;当时,.又因为不满足,所以.本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式,其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系,合理准确推导是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.16.80211【解析】
由,利用二项式定理即可得,分别令、后,作差即可得.【详解】由题意,则,令,得,令,得,故.故答案为:80,211.本题考查了二项式定理的应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)1;(2)见解析【解析】
(1)分别求得与的导函数,由导函数与单调性关系即可求得的值;(2)由(1)可知当时,,当时,,因而,构造,由对数运算及不等式放缩可证明,从而不等式可证明.【详解】(1)∵函数在上单调递减,∴,即在上恒成立,∴,又∵函数在上单调递增,∴,即在上恒成立,,∴综上可知,.(2)证明:由(1)知,当时,函数在上为减函数,在上为增函数,而,∴当时,,当时,.∴∴即,∴.本题考查了导数与函数单调性关系,放缩法在证明不等式中的应用,属于难题.18.(1)(2)【解析】
(1)分类讨论,去掉绝对值,化为与之等价的三个不等式组,求得每个不等式组的解集,再取并集即可.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案.【详解】(1)不等式或或,解得或,即x>0,所以原不等式的解集为.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可,又,当且仅当时取等,只需最小值,即.所以实数a的取值范围是.本题考查绝对值不等式的解法,考查利用绝对值三角不等式求最值,属基础题.19.(1);(2)【解析】
(1)根据已知可得数列为等比数列,即可求解;(2)由(1)可得为等比数列,根据等比数列和等差数列的前项和公式,即可求解.【详解】(1)因为,所以,又所以数列为等比数列,且首项为,公比为.故(2)由(1)知,所以所以本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等比数列的前项和,属于基础题.20.见解析【解析】试题分析:把不等式的左边写成形式,利用柯西不等式即证.试题解析:证明:∵,又,∴考点:柯西不等式21.(1)(2)【解析】
(1)运用三角形面积公式求出的长度,然后再运用余弦定理求出的长.(2)运用正弦定理分别表示出和,结合已知条件计算出结果.【详解】(1)由在中,由余弦定理可得(2)由已知得在中,由正弦定理可知在中,由正弦定理可知故本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理,结合三角形熟练运用各公式是解题关键,此类题目是常考题型,能够运用公式进行边角互化,需要掌握解题方法.22.(1)见解析;(2)【解析】
(1)取的中点,连接,根据中位线的方法证明四边形是平行四边形.再证明与从而证明平面,从而得到平面即可.(2)以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,再求得平面的法向量与平面的法向量进而求得二面角的余弦值即可.【详解】(1)证明:如图,取的中点
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